ANALYSE DU COMPORTEMENT DE FLAMBAGE DES PLAQUES MINCES STRATIFIEES EN MATERIAUX COMPOSITES PAR LA METHODE DES ELEMENTS FINIS

Transcription

1 Courrer du Savor N 9, Mars 9, pp.9-5 NYSE U COMPOREMEN E FMGE ES PQUES MINCES SRIFIEES EN MERIUX COMPOSIES PR MEOE ES EEMENS FINIS EOU I & MROUK ESSINI éparemen de Géne Cvl, Unversé Moamed Kder sra,.p 45 R.P. 7 ISKR lgére E-mal; aa@caramal.com éparemen de Géne Mécanque, Unversé Moamed Kder sra,.p 45 R.P. 7 ISKR lgére RÉSUMÉ Un élémen fn quadrlaère pour l analse du flambage des plaques mnces srafées en maérau composes a éé proposé. élémen es une combnason d un élémen membranare so-paramérque lnéare e d un élémen recangulare de aue précson de pe erme ransformé. poèse de Krcoff a éé adopée ben qu en général les déformaons de csallemen ne soen pas néglgées dans le cas des plaques e des coques en maérau composes. On a supposé que l poèse es vérfée dans caque couce, ce qu reven évdemmen à supposer qu elle l es pour oue l épasseur de la plaque. Pour la consrucon des marces de rgdé e géomérque, le prncpe de varaon de l énerge poenelle de déformaon a éé ulsé. es résulas sasfasans on éé obenus dans les cas sorope e ansorope auss ben en fleon qu en flambage, pour dfférenes géoméres de plaques. MOS-CE : fleon, flambage, composes, srafés, élémen fn SRC: quadrlaeral fne elemen for e analss of buclng of n lamnaed plaes s proposed. e elemen s a combnaon of a lnear soparamerc membrane elemen and a g precson recangular erme, ransformed elemen. e eor of Krcoff s adoped. loug n case of lamnaed plaes and sells, e searng srans are mporan. I was supposed a e Krcoff eor s ceced for eac laer, erefore wll be ceced for all e plae. For e consrucon of rgd and geomercal marces, e prncple of varaon of e sran poenal energ was used. Good resuls ave been obaned n e soropc and ansoropc cases eer n bendng or n buclng, for varous geomeres of plaes. KEYWORS: bendng, buclng, composes, lamnaed, fne elemen INROUCION es srafés composes rouven un grand nérê dans une varéé de srucures complees, comme ceu adopés en aéronauque, auomoble e cvles. a concepon de ce pe de srucures nécesse de mere en place des ouls de modélsaon du comporemen mécanque de plus en plus sopsqués e prenan en compe les spécfcés de ces maérau. es méodes numérques e noammen la méode des élémens fns son ndspensables pour le dmensonnemen des srucures composes complees. En fa de nos jours, un grand nombre de codes d'élémens fns en compe des srafés compose. Cependan l'analse du comporemen des plaques srafées rese oujours un problème de recerce ouver, comme conséquence de leur comporemen complee. En effe, en plus de leur comporemen généralemen ansorope e la présence d'mporanes déformaons de csallemen ransverse, vennen s'ajouer les paramères de couplage eenson-fleon. a plupar des nvesgaons enreprses sur les plaques srafées, son dévouées à la déermnaon des conranes, des déformaons ou des déplacemens d'orgne fleonnelle. analse des srucures au comporemen d nsablé es mons fréquene en dép de l mporance du pénomène ms en évdence par la rupure en servce de nombreuses srucures monumenales. es srucures composes mnces (plaques srafées) qu son largemen ulsées de nos jours, devennen nsables lorsqu'elles son sujees à des cargemens de naure mécanque ou ermque e flamben dans la zone élasque. Par conséquen, le flambage présene une rès grande mporance lors de la concepon de ce pe de srucures. Unversé Moamed Kder sra, lgére, 9

2 . a & al. Pluseurs éores sur les plaques srafées on éé proposées dans la léraure. On peu les classer en ros caégores. a premère es la éore classque des srafés () (7) basée sur l'poèse de Krcoff, e qu néglge les déformaons de csallemen ransverse e suppose que la normale au feulle moen rese normale après déformaon. En adopan cee éore, on suppose que l'poèse de Krcoff es vérfée dans cacune des couces. Cela reven évdemmen à supposer que cee poèse es vérfée globalemen dans oue l'épasseur de la plaque. Une elle approce se jusfe s la plaque es mnce, les couces son composées de maérau assez peu dfférens, e possèden des modules de csallemen ransverse du même ordre de grandeur que les aures modules. Une aure condon pour que cee approce donne de bons résulas es que le cargemen e les condons au lmes n'occasonnen que peu de fleon dans le srafé. a deuème caégore concerne celles de pe Ressner- Mndln éendue au plaques srafées (3) (7) où l'on remplace le srafé par une plaque ansorope omogène équvalene. Ces éores ennen compe des effes du csallemen ransverse e nrodusen parm les déplacemens nconnus les roaons des normales. es éores du premer ordre, comme celles adopées par Ressner e Wne (3) (5), consdèren les roaons des normales consanes dans oue l'épasseur de la plaque e posulen une cnémaque lnéare dans le sens de l'épasseur. On rouve auss des éores des d'ordre supéreures basées sur l'appromaon non lnéares des déplacemens. ans la rosème caégore, les modèles son basés sur l'approce par couce. Ce son des modèles sopsqués qu permeen des éudes locales, noammen à l'nerface des couces. en évdemmen, le nombre de varables dépend du nombre de couces, ce qu augmene le volume des calculs. ans le présen raval qu es une conrbuon à l analse des plaques mnces srafées en maérau composes, on a éable une approce d'un élémen fn quadrlaéral pour le flambage mécanque ou ermque. élémen proposé es une combnason d un élémen membranare quadrlaéral soparamérque e d un élémen plaque recangulare de pe erme de premer ordre, ransformé pour s adaper formes générales des plaques mnces. a formulaon es basée sur le prncpe de l énerge poenelle mnmale en adopan la éore de la premère caégore de' éore classque des srafés', basée sur l'poèse de Krcoff. ans le cas général des plaques srafées, on applque la éore de Ressner-Mndln éendue au plaques srafées composes du fa que l effe de csallemen so d une grande mporance. Cependan dans la présene éude, le csallemen ransverse a éé néglgé. Cela se jusfe par le fa que les couces soen assez mnces, denques e possédans des modules de csallemen ransverse de même ordre de grandeur que les aures modules. Cee poèse es évdemmen supposée vérfée pour oue la plaque, d auan plus que lors de l analse du flambage élasque, la fleon es fable. a comparason des résulas avec ceu obenus analquemen ou avec ceu obenus par d aure pe d élémens enan compe du csallemen ransverse, a monré l effcacé de cee approce dans le cas des plaques mnces. FORMUION ES ÉÉMENS FINIS. Relaons cnémaques e camp du déplacemen selon la éore classque des srafés basée sur la éore de Krcoff (7), s'écr : u(,,z) u (,) - z w, v(,,z) v (,) - z w, [] w(,,z) w (,) avec u, v, w son les déplacemens du plan moen d'une plaque. e camp des déformaons ncluan les grandes déformaons (7) (8) es donné par : z z [] z où : u v v u w w w. o de comporemen En adopan la éore classque des srafées, les forces e les momens son lés au déformaons à m-plan e au courbures par la relaon marcelle suvane (7) : [3] [4]

3 nalse du comporemen de flambage des plaques mnces srafées en maérau composes par la méode des élémens fns N N N M M M En noan par σ les conranes dans le plan, alors : N M σ dz σ zdz [5] es rgdés eensonnelles, de couplage e fleonnelle d un srafé, son défnes par : b j j j Q Q Q j j j dz zdz z dz Fgure : Repère local e repère global a z 3 vec Q j désgnan les coeffcens d élascé d une couce dans le repère global (,, z) du srafé fasan un angle θ avec le repère local (,,3) (fgure). θ [6] [7] θ.3 escrpon de l'élémen quadrlaéral 'élémen proposé es une combnason d un élémen quadrlaéral so paramérque membranare e d un élémen plaque recangulare de grande précson de pe erme de premer ordre. élémen possède 4 nœuds à 8 degrés de lberé cacun. es coordonnées carésennes e nrnsèques ans que les composanes du déplacemen à m-plan noées u e v dans le plan e w dans le sens ransversal, son monrées sur la fgure (w,w,,w,,w,, ) - Elémen de référence 4 (u,v,w,w,, w,, w, w,, w, ) (,,3,4) Elémen réel Fgure : Coordonnées e déplacemens des noeuds de l'élémen avec 3 degrés de lberé 'énerge poenelle de déformaon de l'élémen es donnée par (8) : où U ( { } [ ]{ } { } [ ]{} l l l {} [ ]{ } {} [ ]{} { }[ ] l nl N )dd { } { u, v, u v } l,,, { nl } {(w, ), (w, ),.(w, )(w, )} { } { w,, w,,.w,} { N } { N, N, N }, 3 [8]

4 . a & al. es foncons d'nerpolaon des coordonnées e des déplacemens à ravers l'élémen son données respecvemen par (5) : (,) N (,), (,) N (,). (,,3,4) [9] u(,) N (,)u, v(,) N (,).v (,,3,4) [] N (, ) ( )( ) [] 4 e déplacemen ors plan de l élémen de référence es eprmé comme le produ des polnômes erme du er ordre undmensonnel [7] w w w [] ( 6 ( 6 ( 6 ( 6 ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) [3] ) ) e passage de l'élémen recangulare de référence à l'élémen quadrlaéral réel nécesse les opéraons de ransformaon suvanes : w w w w [4] lors, les foncons d nerpolaon de l élémen réel s'écrven : w w ww θ θ θ w w θ θ [5] w θ θ θ θ θ [6] 'éa des déplacemens mène à un élémen de 3 degrés de lberé avec 8 degrés de lberé par nœud so : w w, (,, 3,4) [7] {} q u v, w,,,,, w e son des varables non essenelles. En subsuan les polnômes d'nerpolaon dans l'équaon de l'énerge, on oben : [ S] [ ][ S] [ S ][ ] S U {} q S [ ][ S ] S [ ] S J dd {} q {[ G] N [ G] }{} q J dd [8] où : { } [ ]{ q } l {} [ S ]{} q w N N N N [ G]{} q [ N ] S [S ] e [S ] des marces de composanes, qu relen respecvemen les déformaons membranares lnéares e les courbures de l'élémen au veceur des déplacemens {q} [G] es une marce 3 composanes, qu rele le veceur [/, /] au veceur déplacemen {q} J es le déermnan de la marce jacobéenne.

5 nalse du comporemen de flambage des plaques mnces srafées en maérau composes par la méode des élémens fns.4 nalse du flambage En se basan sur le prncpe de l énerge poenelle mnmale, la premère varaon perme d obenr l epresson de la marce de rgdé élémenare. [ S] [ ][ S] [ S] [ ][ S ] [ S ] [ ][ S ] [ S ] [ ][ S ] e K J dd [9] ans la plupar des problèmes de flambage des plaques, la déermnaon en avance de la dsrbuon des conranes à ravers la plaque n'es pas nécessare. Cependan dans le cas général e lorsque les conranes son non unformémen dsrbuées à ravers la plaque, noammen lorsque la plaque renferme des ouverures ou sub une varaon non unforme de empéraure, l sera nécessare de déermner la dsrbuon des effors membranares comme premère éape dans cee analse. { N } ([ ][ S ] [ ][ S ]){ q} [] e veceur des d»placemens élémenares {q} es obenu en résolvan l équaon : [K G ]{X} {F} [] ou {F] es le veceur force global obenu en soumean la plaque à un cargemen membranare e {X]} es le veceur des déplacemens global. annulaon de la deuème varaon de l énerge poenelle de déformaon, perme d obenr le problème de valeurs propre suvan : [K G ]{Δ} λ [K σ ] {Δ} [] λ la carge non dmensonnelle de flambemen e {Δ} représene le veceur modal e [K σ ] es la marce géomérque globale qu es l assemblage des marces géomérques élémenares [K σ e ]. Cee marce es donnée par : e [ σ ] [ G] [ N][ G] K J dd [3] es composanes des marces K G e K σ son calculées par l négraon numérque de Gauss en ulsan pons 3 RÉSUS NUMÉRIQUES E ISCUSSION 3. Flambage e présen élémen a éé esé pour l éude du comporemen du flambage pour dfférens cas. es résulas obenus son comparés à ceu donnés par des références dsponbles dans la léraure. a premère éude consse en des plaques carrées soropes de coé a 6 e d épasseurs,5 ;,375 e,5. es plaques son smplemen appuées sur les quare côés e soumses à une compresson undreconnelle. es propréés d sorope son : E 4 6, ν,3 es plaques son subdvsées en, 44, 66 e élémens. es valeurs des carges crques calculées par le présen élémen, celles calculées analquemen à l ade de l équaon de moseno (4) e celles obenues en ulsan l'élémen sell 63 du ogcel d élémens fns NSYS (), son monrées sur le ableau e sur les fgures 3 e 4. es résulas on monré la rapdé de la convergence de l élémen e sa précson par comparason au résulas analques noammen. a deuème éude es fae sur des plaques carrées srafées en maérau compose, smplemen appuées, de coé a 6 e d épasseurs oales,3,,355 e,48. es plaques son composées de pluseurs couces denques, avec dfférens angles d orenaon des fbres 'θ'. a confguraon du srafé es [9/θ/-θ]s avec θ prenan les valeurs 5, 3 e 45 degrés respecvemen. es propréés d ansorope des couces son E 549, E 953, ν,3 e G 347 (). es plaques son subdvsées en, 44, 66 e élémens comme pour la premère éude. es valeurs des carges crques calculées pour dfférens paramères par le présen élémen, celles calculées analquemen à l ade de l équaon de Wne (7) e celles calculées en ulsan l élémen de référence Sell 99 du ogcel NSYS (), son rassemblées dans les ableau, 3 e 4. es résulas monren dans ce cas auss la rapdé de convergence e la précson de la soluon obenue par ce élémen par comparason à celle obenue analquemen e celle obenue par NSYS. Cela nous nce à ulser ce élémen pour une éude paramérque du flambage mécanque ou ermque des plaques mnces srafées en maérau composes. 3

6 . a & al. ableau : Carges crques ( 3) pour plaques soropes Mallage présen élémen nal NSYS Réf Réf [] [3],5,375,5 5,83 9,65 46,58 6,5,94 5,4 6,7,69 5,8 6,767,85 5,6 6,6,383 5,685 6,77,84 5,4 ableau 3 : Carge crque d une plaque carrée smplemen appuée pour θ 3 Mallage présen élémen NSYS nalque REF.[] REF.[7],3,355,48,95 7,6 7,79,445 8,97,494,478 9,9,494,489 9,3,595,49 9,43,66,4 8,469 9,95,59 9,6, ableau 4 : Carge crque d une plaque carrée smplemen appuée pour θ 45 Ncr ( 3 ) Présen raval nalque,3,355 Mallage présen élémen ,65,43,484 5,89 8,99 9,4,5,56 9,8 9,4 NSYS REF.[],476 8,73 nalque REF.[7],67 8, NSYS,48 4,573,66,547,7,75,47, Nombre d'élémens Fgure 3 : Varaon de la carge crque en foncon du nombre d'élémen (.5) Ncr ( 3 ) Présen raval NSYS nalque Nombre d'élémens Fgure 4 : Varaon de la carge crque en foncon du nombre d'élémen (.5) ableau : Carge crque d une plaque carrée smplemen appuée pour θ 5,3,355,48 Mallage présen élémen ,8 7,88 9,37,3 8,44,883,3 8,478,975,34 8,49,7,34 8,497,4 NSYS REF.[],47 7,977 8,874 nalque REF.[7],34 8,57,9 4 CONCUSION Un élémen fn quadrlaéral pour le flambage des plaques mnces srafées en maérau composes a éé proposé. élémen es une combnason d un élémen membranare soparamérque e d un élémen recangulare à aue précson de pe erme, ransformé pour le cas général de fleon. es marces de rgdé e géomérque on éé déermnées en se basan sur le prncpe d énerge poenelle mnmale. es résulas obenus on éé comparés avec des soluons de problèmes dsponbles dans la léraure pour dfférens cas. élémen a monré une bonne précson de résulas, noammen dans le cas de l analse du comporemen au flambage des plaques plus mnces. IIOGRPIE [].J.M. Ferrera e al, nalss of compose plaes usng ger-order sear deformaon eor and a fne pon formulaon based on e mulquadrc radal bass funcon meod, Composes: Par 34 (3) [] Calvn. usn, buclng of smmerc lamnaed fberglass renforced plasc (FRP) plaeses, Maser of Scence n Cvl Engneerng, Unvers of Psburg, (3) [3]. Engrand e J. ordas, Calcul des coques en maérau mulcouces e sandwces par la méode des élémens fns, RECERCE EROSPIE, nnée 973 n (Mars-vrl) pp 9-8 4

7 nalse du comporemen de flambage des plaques mnces srafées en maérau composes par la méode des élémens fns [4] F. urcco, E. Sacco, med-enanced fne elemen for e analss of lamnaed compose plaes, In. J. Numer. Me. Engng. 44, (999). [5] G. a, G. ouzo, (98), Une présenaon de la méode des élémens fns, Malone S. Edeur Pars e les presses de l Unversé aval Québec [6]. Kardesuncer, Edor n CIEF,. Norre, Projec Edor, Fne elemen andboo, Mc. Graw, ll [7] J.-M. erelo, Maérau composes, Edon EC e OC, Pars, 3 e édon. [8] en-wen Cen and e-y Cen, ermal buclng analss of lamnaed clndrcal plaes b e fne elemen meod, Compuer and srucures vol.34 N pp 7-78 (989). [9] O. C. Zenewez e fne elemen meod. McGraw ll, ondon (977). [] Pal. G. ergan and Xu Wang, Quadrlaeral plae bendng elemens w sear deformaons,, compuer and srucures vol. 9 N- pp [] P. ardeur e J.. aoz Evaluaon d un nouvel élémen fn pour l analse saque ou dnamque des plaques composes, ECGM-3 ordeau, MRS 989. [] Renard Plner and eepu S.Josep, med fne elemen for plae bendng w eg enanced sran modes, Commun.Numer.Me.Engng ;7 : (OI:./cnm.46). [3] S. moseno and S.Wonows Kreger, eor of plaes and sells, nd Edn. McGraw ll, New Yor (959). [4] S. moseno, eor of Elasc Sabl, McGraw- ll, New Yor. (96). [5] Ve ung Nguen, Modélsaon globale e locale des srucures mulcouces par élémens fns de plaque, èse de docora, Ecole Naonale des pon e caussées, 4. 5