Séries de Fourier 12-1

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1 Séres de Fourer 1-1 Sommare 1. Applcato de classe C 1 par morceaux Applcato de classe C 1 par morceaux Applcato -pérodque C 1 par mcx pérato sur les applcatos C 1 par mcx 1. Sére de Fourer de f, -pérodque.1. Coeffcets de Fourer Sére de Fourer Covergece d ue sére de Fourer f de classe C 1 par mcx, -pérodque f cotue, C 1 par mcx, -pérodque Deux exemples Espace Vectorel C (R) Espace vectorel C (R) Norme et produt scalare sur C (R) Famlle orthogoale Formule de Parseval Petts complémets Quelques valeurs utles Sommato de séres umérques Somme d ue sére trgoométrque Complémets Avec Maple Les mathématces du chaptre Les séres de Fourer sot des séres de foctos pérodques. L obet est de décomposer u sgal pérodque e somme de sus et cosus de fréqueces égales à, et multples de, la fréquece du sgal de base. Ce chaptre commece par ue parte techque sur les applcato de classe C 1 par morceaux. 1. Applcato de classe C 1 par morceaux 1.1. Applcato de classe C 1 par morceaux sur [a,b] Défto : f défe sur [a,b] est de classe C 1 par morceaux sur [a,b] { a, a 1,..., a a = a < a 1 < < a = b tels que : {1,,...,} f = f ]a 1,a [ la restrcto de f à ]a 1,a [ est prologeable sur [a 1,a ] e ue applcato de classe C 1 otée f Remarquos que f est écessaremet cotue par morceaux mas pas écessaremet cotue! De plus, l faut be observer que le fat d être de classe C 1 par morceaux e déped pas de la subdvso, l sufft que celle c exste. E pratque, l sufft de vérfer que le graphe de f alle amas à l f et admette pas de tagete vertcale. Pour cela, o fera oblgatoremet u graphe de la focto sur u peu plus d ue pérode. 1.. Applcato -pérodque de classe C 1 par morceaux sur R Défto : f, -pérodque, est de classe C 1 par morceaux sur R pour a R, f est de classe C 1 par morceaux sur [a,a + ] C est le type de foctos qu o recotrera das ce chaptre. La pérode sera d alleurs le plus souvet π pérato sur les applcatos C 1 par mcx héorème : La somme, le produt par ue costate et le produt de applcatos de classe C 1 par morceaux sur [a,b] sot de classe C 1 par morceaux sur [a,b]. Démostrato : Sas fare la démostrato das le détal, sgalos qu l sufft de predre ue subdvso qu covet pour les deux applcatos. c Chrstophe Cagaert Lycée Colbert 59 ourcog

2 1 - Séres de Fourer. Sére de Fourer d ue applcato -pérodque Pour ue applcato f, -pérodque, o va pouvor détermer la sére de Fourer de f. Das u deuxème temps, l va fallor détermer s la sére de Fourer de f coverge et, de plus, quelle est sa somme. Ce e sera pas touours f (x) e tous pots Coeffcets de Fourer d ue applcato -pérodque cotue par morceaux Das les séres de Fourer, assez souvet, o a de formule pour f que das u certa tervalle, o vellera doc à utlser cette formule que sur cet tervalle... a/ Applcato -pérodque Défto : f : R K, -pérodque, cotue par morceaux sur R. pose, avec ω = π, a = 1 / / f (t) dt N, N, a = b = / / / / f (t) cos ωt dt = f (t) s ωt dt = + + f (t) cos ωt dt f (t) s ωt dt Ce sot les coeffcets de Fourer de f. Et a est la valeur moyee de f. Be sûr, s f est à valeurs réelles, les coeffcets de Fourer de f sot réels. b/ Applcato π-pérodque Quad f est π-pérodque, les coeffcets sot : a = 1 π f (t) dt π π N, N, a = 1 π b = 1 π π π π π f (t) cos t dt = 1 π f (t) s t dt = 1 π +π +π f (t) cos t dt f (t) s t dt Das le cas où f est pare ou mpare, o peut travaller sur ue dem-pérode, mas pas mporte laquelle : [ mpératvemet, ]. c Chrstophe Cagaert Lycée Colbert 59 ourcog

3 Séres de Fourer 1-3 c/ Applcato π-pérodque et pare Das le cas où f est pare et π-pérodque, a = 1 π π f (t) dt N, a = π π f (t) cos t dt N, b = d/ Applcato π-pérodque et mpare Das le cas où f est mpare et π-pérodque, N, a = N, b = π π f (t) s t dt e/ Coeffcets de Fourer complexes S cela est plus facle, o peut calculer c = a = 1 + f (t) dt c = 1 + f (t) e ωt dt = a b pour N S f est à valeurs réelles, a et b sot réels, et doc : a = Re (c ) et b = Im (c ).. Sére de Fourer assocée à ue applcato -pérodque cotue par morceaux a/ Applcato -pérodque Défto : f : R K, -pérodque, cotue par morceaux sur R, o appelle sére de Fourer de f, la sére S( f )(t) = a + (a cos ωt + b s ωt) avec : ω = π S f est pare, l y a pas de terme e sus, tads que s f est mpare, l y a pas de terme e cosus. b/ Applcato π-pérodque Das le cas où f est π-pérodque, S( f )(t) = a + (a cos t + b s t) c Chrstophe Cagaert Lycée Colbert 59 ourcog

4 1-4 Séres de Fourer 3. Covergece d ue sére de Fourer : théorèmes de Drchlet Les théorèmes de covergece, délcats à motrer, serot adms. Re assure que la sére de Fourer coverge e tous pots. E u pot où la sére de Fourer coverge, re assure que S( f )(t) = f (t) f de classe C 1 par morceaux, -pérodque héorème : f de classe C 1 par morceaux sur R, -pérodque la sére de Fourer de f coverge e tous pots, et est de somme S( f )(t) = f (t + ) + f (t ) où f (t + ) et f (t ) sot les lmtes à drote et à gauche de f. E tous pots où f est cotue, o a : S( f )(t) = f (t). Il y a qu aux pots où f est dscotue qu l rsque d y avor S( f )(t) = f (t). fera doc u graphe de la focto sur u peu plus d ue pérode pour repérer les pots de dscotuté, vor s la valeur au pot est la dem-somme des lmtes à drote et à gauche, et vérfer de toutes faços le caractère C 1 par morceaux sur R de f. f (t + ) + f (t ) S, e u pot de dscotuté, o a pas f (t) =, alors, o cosdère ue applcato f égale à f partout où elle est cotue et f f (t + ) + f (t ) (t) = là où f est dcotue. Comme l y a qu e quelques pots que f et f sot dfféretes, elles ot la même sére de Fourer. Par coséquet, la sére de Fourer de f a pour somme f. 3.. f cotue, de classe C 1 par morceaux sur R, -pérodque héorème : f cotue et de classe C 1 par morceaux sur R, -pérodque la sére de Fourer de f coverge e tous pots, et : S(f)(t)=f(t). De plus, les séres a et b coverget. Ef, β f (t) dt peut se calculer e tégrat terme à terme la sére de Fourer de f. D autre part, ous avos u théorème d ucté du développemet e sére de Fourer : héorème : Sot f cotue, somme d ue sére trgoométrque e tous pots, t R, f (t) = a + (a cos ωt + b s ωt) Alors, cette sére est la sére de Fourer de f. Cec permet doc parfos de trouver le développemet e sére de Fourer par des moyes détourés comme par exemple des développemets e sére etère e e t et e t Deux exemples Nous allos observer la covergece des séres de Fourer de deux applcatos de classe C 1 par morceaux sur R, l ue cotue, l autre dscotue. c Chrstophe Cagaert Lycée Colbert 59 ourcog

5 Séres de Fourer 1-5 a/ f cotue Sot f pare, π pérodque, valat π t sur [,π]. Le calcul de la sére de Fourer est smple. Les b sot uls, 4 les a k auss et les a k+1 valet. As la sére de Fourer est : π (k + 1) S( f )(x) = 4 π k= 1 cos (k + 1) x (k + 1) s téresse c aux sommes partelles : S p+1 ( f )(x) = 4 π p k= 1 cos (k + 1) x (k + 1) e dspose c d ue formule explcte de f (t) que sur [,π]. vellera avec so à e pas utlser cette formule e dehors de cet tervalle! vot sur la fgure 1, page suvate, quelques sommes partelles de la sére de Fourer de f. peut vor que la covergece de la sére de Fourer vers la focto est rapde. Quelques harmoques suffset, u grad ombre apporte re de plus. b/ f dscotue Sot g mpare, π pérodque, valat 1 sur ],π[. Elle vaut doc e et e π. Le calcul de la sére de Fourer 4 est smple. Les a sot uls, les b k auss et les b k+1 valet. As la sére de Fourer est : π (k + 1) S(g)(x) = 4 π k= 1 s (k + 1) x k + 1 s téresse c aux sommes partelles : S p+1 (g)(x) = 4 1 s (k + 1) x π k + 1 vot sur la fgure, page 7, quelques sommes partelles de la sére de Fourer de g. vot c que la dscotuté etraîe ue covergece beaucoup plus lete et qu l faut u grad ombre d harmoques pour recoper avec précso le sgal. p k= 4. Espace Vectorel C (R) des applcatos cotues, -pérodques 4.1. Espace vectorel C (R) héorème : C (R), l esemble des applcatos cotues, -pérodques, R R est u espace vectorel réel. Démostrato : C est claremet u sous-espace vectorel de C (R,R) pusque C (R) est o vde, ue combaso léare d applcatos -pérodque est -pérodque. 4.. Norme et produt scalare sur C (R) héorème : Sur C (R) : f,g = 1 1 La orme assocée est : f = + + f (t)g(t) dt f (t) dt est u produt scalare. c Chrstophe Cagaert Lycée Colbert 59 ourcog

6 1-6 Séres de Fourer p = p = p = 4 p = 8 Fgure 1 Sommes partelles de la sére de Fourer pour ue applcato cotue c Chrstophe Cagaert Lycée Colbert 59 ourcog

7 Séres de Fourer 1-7 p = p = p = 4 p = 8 Fgure Sommes partelles de la sére de Fourer pour ue applcato dscotue c Chrstophe Cagaert Lycée Colbert 59 ourcog

8 1-8 Séres de Fourer S les applcatos sot smplemet cotues par morceaux, f,g = 1 / / f (t)g(t) dt est ue forme bléare symétrque postve. Démostrato :, est claremet bléare symétrque, par léarté de l tégrale. f, f = 1 f, f = + + Cette applcato est : f (t) dt, la forme quadratque est postve. f (t) dt =, o applque le théorème des 3 codtos à : t f (t). 1. postve,. cotue, 3. d tégrale ulle sur [, + ], doc t [, + ], f (t) =, doc f (t) = et comme f est -pérodque, t R, f (t) = et doc f =., est doc be bléare symétrque, défe postve, c est u produt scalare Famlle orthogoale héorème : La famlle { (t cos ωt) N, (t s ωt) N } est orthogoale pour ce produt scalare. Démostrato : Il faut vérfer que ces applcatos sot à orthogoales. 1 cos ωt cos pωt dt = 1 cos ( + p) ωt + cos ( p) ωt dt = ( = p) 1 s ωt s pωt dt = 1 cos ( p) ωt cos ( + p) ωt dt = ( = p) 1 cos ωt s pωt dt = 1 s ( + p) ωt + s (p ) ωt dt = 1 [ ] cos ( + p) ωt cos (p ) ωt + = + p p a fat ce derer calcul quad = p mas le résultat est le même quad p = car le deuxème s dsparat drectemet Formule de Parseval héorème : f : R K, -pérodque, cotue par morceaux sur R, alors : 1 / f (t) dt = 1 / + f (t) dt = a + 1 ( ) a b + 1 / S la focto est réelle : f (t) dt = 1 + f (t) dt = a / π S, de plus, f est π-pérodque, f (t) dt = 1 +π π π π ( ) a + b f (t) dt = a + 1 va doer ue terprétato géométrque pour les applcatos à valeur réelle. Sot : E = Vect (1, cos ωt, cos ωt,..., cos ωt, s ωt, s ωt,..., s ωt) ( ) a + b c Chrstophe Cagaert Lycée Colbert 59 ourcog

9 Séres de Fourer 1-9 dot ue base orthoormale est : ( 1, cos ωt, cos ωt,..., cos ωt, s ωt, s ωt,..., ) s ωt La proecto orthogoale f sur E est doc : p ( f ) (t) = f,1 1 + Et doc, la orme de cette proecto sur E est : p ( f ) = f,1 + f, cos kωt + ( 1 + = f (t) dt) + ( 1 + = f (t) dt) + f, cos kωt cos kωt + f, s kωt s kωt ( 1 ( 1 + f, s kωt f (t) cos kωt dt) + + f (t) cos kωt dt) + ( 1 ( 1 + f (t) ) s kωt dt + = a + 1 a k + 1 b k vot be que la formule de Parseval est la lmte d ue égalté de ormes. Les 1 1 veet du fat que les cosus et sus e sot pas de orme 1 mas de orme. ) f (t) s kωt dt 5.1. Quelques valeurs utles 5. Petts complémets oublera pas que pour Z, e π = ( 1), e π =, cos π = ( 1), s π = 5.. Sommato de certaes séres umérques Les sére de Fourer permettet de calculer faclemet la somme de certaes séres umérques. cosdère doc : f (t) = a + (a cos t + b s t) d u coté et u d u autre. (cas de la pérode π) = S les u ressemblet aux a ou aux b. Alors, o obtet la somme e preat ue valeur partculère de t. Le plus souvet, o essaye,π, π... S les u ressemblet aux a ou aux b. (avec e plus u module s ls e sot pas réels) Alors, o obtet la somme e utlsat la formule de Parseval Somme d ue sére trgoométrque sat parfos que : f (t) = a + (a cos ωt + b s ωt), ce résultat ayat été acqus sas le théorème de Drchlet. ( obtet parfos u tel résultat e utlsat des séres etères e e ωt et e ωt.) S f est cotue, o a be la sére de Fourer de f. S f est pas cotue, re e prouve qu l s agt de la sére de Fourer de f. Pour arrver au résultat, l éocé vous gude... peut par exemple prouver que cette sére trgoométrque peut s tégrer terme à terme sur ue pérode, ce qu revet à l verso de sges et. Alors l orthogoalté des cos ωt et s ωt permettra de coclure qu o a be la sére de Fourer de f. c Chrstophe Cagaert Lycée Colbert 59 ourcog

10 1-1 Séres de Fourer 6.1. Avec Maple 6. Complémets S o veut calculer des coeffcets de Fourer avec Maple, l e faudra pas oubler, s o veut que Maple pese à smplfer certas résultats de lu précser que est u eter par > assume(,teger); Il faudra de plus sas doute demader ces smplfcatos, par exemple par > ormal(a()); s a() est u des coeffcets de Fourer. 6.. Les mathématces du chaptre Rema Berhard Rappelos ce grad mathématce allemad, auteur de ombreux travaux sur les séres trgoométrques... Fourer Joseph C est ce fraças qu, à uste ttre, a lassé so om au chaptre... Drchlet Gustav Ce mathématce allemad a auss lassé, à uste ttre, so om aux codtos suffsates de covergece... Parseval Marc L égalté de Parseval est be due à ce mathématce fraças. c Chrstophe Cagaert Lycée Colbert 59 ourcog