Séries entières. Les séries entières ont donc une forme bien particulière : n!

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1 Séries etières Ds tout ce chpitre, I est u itervlle de Á ou Á tout etier et K désige Á ou  Séries etières et ryo de covergece Défiitios O ppelle série etière (complee) toute série de foctios de terme géérl f où, pour tout etier, l foctio f est de l forme f : Âo z Å z où ( ) est ue suite de  Eemples 2 Les séries etières ot doc ue forme bie prticulière :!z b z c z d z e! z Remrques 3 E prtique, l suite ( ) est souvet ue suite réelle O peut défiir les séries etières réelles comme étt les séries de terme géérl f où, pour tout etier, f est ue foctio de Á ds Á de l forme f (z) = t vec ( ) ue suite deá Les propriétés des séries etières réelles se déduiset de l forme géérle moyet quelques chgemets de vocbulire, comme, pr eemple, remplcer "disque de covergece" pr "itervlle de covergece" Lorsque l suite ( ) est ue suite réelle, o peut cosidérer à l fois l série etière complee z et l série etière réelle t L'utilistio de l ottio t pour l vrible sigifier que ous restreigos u cs réel Les sclires ( ) sot ppelés les coefficiets de l série z Le sclire est le ( )-ième coefficiet de l série ou ecore le coefficiet d'ordre Le sclire est le terme costt de l série Pr covetio, pour z et, o pose z Propriété 4 Si ue série etière (de terme géérl z ) coverge pour u complee z, lors elle coverge bsolumet pour tout complee z vérifit z < z Remrque 5 Cette propriété ' de ses que si z z Frcis Wlziski

2 Démostrtio Si l série umérique z coverge (vec doc z z ), o z lim = E prticulier, o peut ffirmer que l suite ( z ) est borée Il eiste doc ue costte M t telle que, pour tout etier, z d M Pour tout complee z (fié) tel que z < z, o obtiet z z z z z u d z M z z z Puisque z z <, l série de terme géérl M z z coverge et il e est doc de même de l série de terme géérl z Ue relecture de l démostrtio motre que l'o peut réduire les hypothèses de l propriété : Coséquece 6 : Lemme d'abel Soit ue série etière de terme géérl z S'il eiste u complee o ul z tel que l suite ( z ) soit borée lors l série z coverge pour tout complee z vérifit z < z Mis o peut ussi e préciser l coclusio : Coséquece 7 Soit ue série etière de terme géérl z Soit λ u réel vérifit d λ < S'il eiste u complee o ul z tel que l suite ( z ) soit borée lors l série etière z est ormlemet covergete sur le disque fermé de cetre et de ryo λ z c'est-à-dire pour tous les complees z vérifit z λ z Défiitio 8 Soit ( ) ue suite de K L'esemble des réels r t pour lesquels l suite ( r ) est borée est o vide (il cotiet ) L bore supérieure R Á {f} de cet esemble est ppelée ryo de covergece de l série etière z Remrque 9 O peut doc écrire R = sup {r / ( r ) borée} Eemples Le ryo de covergece de z est R = Le ryo de covergece de! z est R = (e effet,! e 2 ) Le ryo de covergece de z est R =! Remrques O e chge ps le ryo de covergece d'ue série etière z e modifit u ombre fii de coefficiets Pr défiitio, les séries z, ( ) z et z ot le même ryo de covergece Pour tout λ, les séries z et λ z ot même ryo de covergece Frcis Wlziski 2

3 Soiet R et R les ryos de covergece respectifs de deu séries z et b z Si o suppose qu'à prtir d'u certi rg b, lors o R R E effet, pour tout réel positif (et même pour tout complee) t, o t b t ) Pr eemple, si o pred = et b = 2, pour tout etier, o bie b L série z pour ryo de covergece et l série (2z) pour ryo de covergece 2 Soiet z et b z deu séries etières O suppose qu'il eiste λ > et µ >, tels que, à prtir d'u certi rg, λ b µ, lors les séries ot le même ryo de covergece C'est otmmet le cs si b 2 Disque ouvert de covergece Propriété 2 Soit ue série etière de terme géérl z Soit R Á {f} le ryo de covergece de cette série Si R =, lors l série e coverge que pour z = Si R = f, lors l série (de foctios) z coverge bsolumet simplemet sur  De plus, cette covergece est ormle (doc uiforme) sur tout esemble boré de  Si R est u ombre réel strictemet positif, lors l série coverge bsolumet sur le disque ouvert B(,R) = {z Â, z R} et l série diverge sur {z Â, z! R} De plus, cette covergece est ormle (doc uiforme) sur tout esemble fermé boré (compct) deb(,r) E prticulier pour le disque fermé {z Â, z d ρ} quelque soit le réel positif ρ < R Démostrtio R est l bore supérieur de l'esemble des réels positifs r tels que l suite ( r ) soit borée Si R =, pour tout complee o ul z, l suite ( z ) e ted ps vers doc ( z ) e ted ps vers L série z diverge (grossièremet) Si R = f, lors, pour tout complee o ul z, pr eemple, l suite ( (2z) ) est borée Puisque z d 2z, d'près le lemme d'abel, l série z coverge bsolumet Si R est u ombre réel strictemet positif, pour tout complee z, o : Si z R, d'près le lemme d'abel, l série z coverge bsolumet Si z! R, l suite ( z ) e ted ps vers : l série z diverge E cs de covergece sur u esemble, si z pprtiet à u sous-esemble boré pr eemple pr u réel positif M, lors, pour tout z, z d M Si l série umérique M est covergete, lors l série (de foctios) z est ormlemet covergete Défiitio 22 Avec les ottios de l propriété précédete, et e suppost que R est u réel strictemet positif, B(,R) = {z Â, z < R} est ppelé disque ouvert de covergece de z Lorsque R = f, o pose B(,R) = Remrques 23 Ds le cs d'ue série etière réelle t de ryo de covergece R L'itervlle ouvert de covergece de l série est ] R,R[ si R Á ou Á si R = f Frcis Wlziski 3

4 Ds le derier cs de l propriété 2, o doc que, si z est u complee vérifit z < R, lors l série umérique z est bsolumet covergete Et, si z est u complee vérifit z > R, lors l série umérique z diverge grossièremet O peut détermier le ryo de covergece e utilist l propriété précédete Pr eemple, ous svos que l série z coverge bsolumet si z < et est grossièremet divergete si z > doc so ryo de covergece est E géérl, o e peut rie dire si z = R Le comportemet de z sur le cercle de cetre et de ryo R peut être quelcoque : covergece e tous les poits du cercle, e u certi ombre ou e ucu Plus précisémet, les seuls poits où il peut y voir semi-covergece de l série sot ceu du cercle z = R Pr eemple, les séries etières réelles, et ot toutes les trois u ryo de t t 2 t covergece égl à Ds Á, t = implique t = ou t = Les séries, ( ), ( ) sot divergetes et les séries, ( ) et sot covergetes 2 2 Ue série etière complee (resp réelle) de coefficiets et de ryo de covergece R o ul est bsolumet covergete, doc covergete, sur so disque (resp itervlle) ouvert de covergece O peut doc bie défiir l somme S(z) = z (resp S(t) = t ) de cette série sur B(;R) (resp sur ] R,R[) Ue série etière z 'est ps écessiremet uiformémet covergete (et, à fortiori, ps ormlemet covergete) sur tout so disque ouvert de covergece Pr eemple, l série etière z est uiformémet covergete sur tout itervlle de l forme [,] où < < mis elle 'est ps uiformémet covergete sur ] ;[ Ue série etière z de ryo de covergece R = e coverge qu'e z = Cette situtio e présete que peu d'itérêt = = 3 Détermitio du ryo de covergece Propriété 3 (Formule d'hdmrt) Soit z ue série etière, et soit R so ryo de covergece O pose lim Á { } / = L Alors, o R = vec l covetio : R = si L = et R = si L = L Démostrtio O z / = / z O v utiliser l règle de Cuchy sur les séries umériques à termes positifs Si L Á, o lim z / = z L # Si z <, o lim et l série (umérique) z coverge bsolumet L z / < # Si z >, o et l série (umérique) z diverge L lim z / > Doc R = L Si L =, pour tout complee z, lim z / = (< ) L série (umérique) z coverge bsolumet Si L =, pour tout complee o ul z, lim z / = (> ) L série (umérique) z diverge dès que z z Frcis Wlziski 4

5 Remrques 32 L formule d'hdmrt s'pplique quelle que soit l série Eemple 33 Soit z l série etière défiie pr, p À, 2p = et 2p = 2p O / = / si est impir et / = si est pir D'où lim / = lim / = lim e l = e = Doc le ryo de covergece de cette série est = Propriété 34 Soit z ue série etière et soit R so ryo de covergece O suppose qu'à prtir d'u certi rg les coefficiets sot o uls Si lim = Á { }, lors R = vec l covetio : R = si λ = et R = si λ = Démostrtio O z z = z O v utiliser l règle de D'Alembert sur les séries umériques à termes positifs Si λ Á, o lim z pour tout complee z z = z # Si z <, o lim z : l série (umérique) z coverge z < # Si z >, o lim z : l série (umérique) z diverge z > Doc R = Si λ =, pour tout complee z, o lim z z = (< ) D'près l règle de D'Alembert, l série (umérique) z coverge Si λ =, pour tout complee o ul z, o lim z z = (> ) D'près l règle de D'Alembert, l série (umérique) z diverge dès que z z Eemples 35 Pour tout réel α, le ryo de covergece de l série α z (et doc de z ) est ( ) E effet, Á, lim = lim = O peut retrouver que le ryo de covergece de l série z est! E effet, lim = lim = lim ( )! = Remrques 36! Si est ue frctio rtioelle de, lors le ryo de covergece de z vut P() E effet, si = lors P( ) Q() P( ) Q() Q() = Q( ) P() = P() Q( ) P( ) Q( ) Et o lim P() = lim = Q() Frcis Wlziski 5

6 Le ryo de covergece R d'ue série etière z eiste toujours E revche, l limite lim peut e ps eister (voir eemple 33) Pour détermier le ryo de covergece, il fudr utiliser lors d'utres méthodes que l propriété 34 Pr eemple, o peut tout simplemet reveir à l forme origile de l règle de D'Alembert U cs clssique est celui des séries etières z lcuires Ce sot des séries qui sot telles que l'esemble des idices tels que = est ifii Pr eemples toutes les séries de l formes : α z 2, α z 2, ou α z! O peut lors utiliser l forme origile de l règle de D'Alembert : # O cosidère le terme géérl u de l série u # O compre l limite évetuelle du rpport u vec Pr eemple, soit l série etière de terme géérl z p où, pour tout etier p, 2p = C 2p et 2p = O peut écrire cette série C 2 z 2 u Si o pose u = C z 2 2, o u = z 2 = C 22 (2 2)! z C 2 =!! z 2 ( )! ( )! (2)! 2 u Doc (2 2)(2 ) u = z ( )( ) 2 = 4 2 z 2 L série coverge si lim et diverge ds le cs cotrire z 2 = 4 z 2 < Doc R = 2 u L démostrtio de l propriété : "si lim (l Á { }), lors " sur les u = l lim u / = l séries umériques est ue coséquece de l formule d'hdmrt et de l propriété 34 E effet, supposos que lim u u = l (l Á { }) O cosidère lors les séries etières et u z u z Les ryos de covergece de ces séries sot respectivemet et l l O obtiet que lim et / = l lim = / l Puisque lim, o / = = lim = l lim / = lim / = l = lim / = l / l 4 Cotiuité et opértios Propriété 4 Soit z ue série etière de ryo de covergece R > Puisque l série est ormlemet covergete sur tout fermé boré (compct) iclus ds so disque ouvert de covergece, l somme de l série S(z) = covergece Démostrtio = z est cotiue sur le disque ouvert de Il suffit de motrer que l somme est cotiue e tout poit de B(,R) Pour tout complee z de B(,R), o peut trouver u complee Z tel que z < Z < R L série z étt ormlemet covergete sur tout boré de B(,R), elle est doc uiformémet covergete sur tout boré de B(,R) e prticulier sur le disque fermé {z Â, z d Z } Cel sigifie que s somme S(z) = z est cotiue sur ce disque fermé {z Â, z d Z } = Elle est doc cotiue e prticulier e z Frcis Wlziski 6

7 Propriété 42 Soiet z et b z deu séries etières de ryos de covergece respectifs R et R Soit ρ le ryo de covergece de l série etière ( b ) z O : ρ = mi(r, R ) si R R ρ R si R = R Pour tout complee z tel que z < mi (R, R ), o ( b )z = z b z Démostrtio Pour tout complee z tel que z < mi (R, R ), les séries (umériques) z et b z sot covergetes Doc, l somme de ces deu séries est covergete De plus, z b z = ( z b z ) = ( b )z O doc ρ mi(r, R ) Si R R, mi(r, R ) = R Pour tout complee z tel que R < z < R, l série (umérique) z coverge et l série (umérique) b z diverge Doc, l somme de ces deu séries ie ( b ) z est divergete Ce qui sigifie que R est le ryo de covergece c'est-à-dire ρ = R = mi(r, R ) Si R R, o trouve de l même fço que ρ = R = mi(r, R ) Remrque 43 Lorsque les ryos de covergece R et R de deu séries sot égu, o e peut ps prévoir le ryo de covergece de l somme des séries Pr eemple, le ryo de covergece des séries z et z est Pourtt leur somme est ulle doc de ryo de covergece f Corollire 44 Soiet z et b z deu séries etières de ryos de covergece respectifs R et R Soiet O et P deu complees Le ryo de covergece r de l série etière ( b )z est supérieur ou égl à mi(r, R ) et, pour tout complee z tel que z < mi (R, R ), o ( b )z = z b z Propriété 45 Soiet z et b z deu séries etières de ryos de covergece R et R Soit r le ryo de covergece de l série etière c z défiie pr c = k b k = p b q À Alors r mi(r, R ) et pour tout complee z tel que z < mi(r, R ), o c z = z b z = = = Remrque 46 k= pq= Puisque c z = p b q pq= z =, l série c z est le produit de Cuchy des séries z ( p z p )(b q z q ) pq= et b z Frcis Wlziski 7

8 Démostrtio Le résultt découle directemet de l propriété du produit de Cuchy des séries E effet, si z < mi(r, R ), les séries (umériques) z et b z sot bsolumet covergetes et doc leur produit (de Cuchy) coverge Rppel 47 Soiet et b deu élémets de K O cosidère les séries etières et! b! ( b) O vu ds le cours sur les séries umériques que l série produit est et que :! ( b) e b = = =! = w = = u = v = b =! =! = e e b Remrque 48 Soit z ue série etière de ryo de covergece R et de somme S L série etière c,2 z défiie pr c,2 = k k = p q pour tout etier est l série produit de l k= série z pr elle-même So ryo de covergece est supérieur ou égl à R et, pour tout complee z, tel que z < R, o c,2 z = z z = (S(z)) 2 = = = pq= Remrquos, de plus, que, si =, o lors c,2 = c,2 = O ussi c,2 z z u z puisque, pour tout etier, c,2 = p q > p q = = = O peut, de l même fço, costruire ue série etière dot l somme est S 3 E effet, l série etière c,3 z défiie pr c,3 = c pour tout etier est l série produit de l série c,2 z p,2 q pr l série pq= z So ryo de covergece est supérieur ou égl à R et, pour tout complee z, tel que z < R, o c,3 z = c,2 z z = (S(z)) 3 = = = O peut cotiuer isi de suite pour costruire pr récurrece les séries etières dot l somme ser S k pour tout etier k t 3 Remrquos que, si =, les k premiers termes de l série etière obteue pour S k serot uls O obtiet ussi que c,k z z Eemple 49 = = k O O pose = z = z Doc est l somme de l série etière dot le coefficiet d'ordre est ( z) = 2 z z p q pq= c'est-à-dire pq= pq= Propriété 4 (compositio) Soiet z et b z deu séries etières de ryos de covergece respectifs R > et > et de sommes respectives S et S O suppose qu'il eiste u réel strictemet positif r tel que r < R et p r p < R R Alors o peut costruire ue série etière de ryo de covergece R t r et de somme S o S p Frcis Wlziski 8

9 Démostrtio Pour tout etier k, soit l série etière de somme S k c,k z Les ryos de covergece de ces séries sot supérieurs ou égu à R Pour tout complee z tel que z d r, o ( S o S)(z) = S (S(z)) = b (S(z)) = b ( p c p, z p ) Pour pouvoir itervertir les sommes ds cette reltio, il fut ue covergece bsolue de l série de terme géérl b c p, z p Or p p b c p, z p > b p c p, z p > b p c p, z p > b p p z p d'près l remrque précédete Doc b c p, z p > b p p r p Puisque p r p < R, o bie covergece bsolue p p D'où ( S o S)(z) = b c p, z p = p b c p, z p pour tout complee z tel que z d r p Eemples 4 Soit b z ue série etière de ryo de covergece R et de somme S Soit z l série etière défiie pr = c Á, = et k = k t2 Le ryo de covergece de cette série est f L somme est défiie sur  pr S(z) = z c S'il eiste u réel strictemet positif r tel que r c d R, lors le ryo de covergece de l série yt pour somme ( S o S)(z) = S (z c) = b (z c) est supérieur ou égl à r Or (z c) k = C c k z k = c c 2 z C c 2 z 2 C 3 c 3 z 3 cz z c'est-à-dire k= b (z c) k = b C c k z k = b c b c 2 z C b c 2 z 2 C 3 b c 3 z 3 b cz b z k= Ce qui doe pour les premiers termes : b (z c) = C b c C b z b 2 (z c) 2 = C 22 b 2 c C 2 b 2 cz C 2 b 2 z 2 b 3 (z c) 3 = C 33 b 3 c C 32 b 3 c 2 z C 3 b 3 cz 2 C 3 b 3 z 3 b 4 (z c) 4 = C 44 b 4 c C 43 b 4 c 3 z C 42 b 4 c 2 z 2 C 4 b 4 cz 3 C 4 b 4 z 4 etc Soit u le coefficiet d'ordre de l série etière dot l somme est S o S C k k= k O doc u = b k c k Soit z l série etière défiie pr 2 = et k = kz2 Le ryo de covergece de cette série est f L somme est défiie sur  pr S(z) = z 2 Le ryo de covergece de l série ( S o S)(z) = S (z 2 ) = b z 2 est supérieur ou égl à tout réel positif r vérifit r 2 d R Ce ryo de covergece est doc R Propriété 42 (iverse) Soit z ue série etière de ryo de covergece R >, de somme s et telle que z Alors o peut costruire ue série etière ω z de ryo de covergece R > et de somme σ telle que, pour tout complee z tel que z < mi (R, R ), o it s(z) σ(z) = Frcis Wlziski 9

10 Démostrtio Pour tout z vérifit z < R, o s(z) = z = z = z = z Si o pose U(z) =, o doc z s(z) = ( U(z)) De plus, U est ue foctio cotiue sur le disque ouvert de covergece B(,R) E prticulier, lim z U(z) = et doc il eiste ue réel strictemet positif r tel que U(z) < dès que z < r Le ryo de covergece de l série etière z est et s somme est défiie pr S (z) = z Nous sommes doc ds les coditios de l'utilistio de l propriété précédete et o peut costruire ue série de somme défiie pr ( S o U)(z) = U(z) Efi, il suffit de multiplier cette derière série pr pour obteir le résultt recherché Remrque 43 Soiet u z et v z deu séries etières telles que u z u v z = Les premiers termes de l série produit de Cuchy sot u v, (u v u v )z, (u v 2 u v u 2 v ) z 2, De fço géérl, pour tout etier o ul, le terme d'ordre est (u v u v u v u v )z O doc u v = et, t, u v u v u v u v = Si o coît les (u ), o peut détermier de proche e proche les (v ) 5 Dérivtio et itégrtio Défiitio 5 O ppelle série dérivée de l série z l série etière de terme géérl ( ) z Remrques 52 Si P = k X k = X 2 X 2 3 X 3 X K[X], lors k= P' = k X k = 2 2 X 3 3 X 2 X = k k X k = (k ) k X k k= k= k= N N Lorsque l'o effectue u chgemet d'idice, o obtiet ( k ) k z k = k k z k Lorsque l somme eiste, ous vos lors ( ) z = = z Eemple 53 = L série dérivée de l série z est l série etière de terme géérl pour t c'est-à-dire, à! ( )! ouveu l série etière de terme géérl z pour t! Propriété 54 Ue série etière et s série dérivée ot le même ryo de covergece k= z k= Frcis Wlziski

11 Démostrtio Soit z ue série etière et ( ) z s série dévirée ( ) / = lim lim Or lim ( ) / / ( ) / = lim ep l ( ) = e = et lim Corollire 55 / = lim / = lim ( / ) / = lim / Soit z ue série etière et soit p u etier o ul ( p)! L série etière ( p)( p ) ( ) p z = z est ppelée série dérivée p-ième! p de l série z et le même ryo de covergece que celle-ci ( p)! Lorsque l somme eiste, ous vos =! p z =! =p ( p)! z p Remrque 56 Ue série etière et ses séries dérivées successives, même si elles ot le même ryo de covergece, peuvet voir des comportemets différets u poits du bord du disque ouvert de covergece Corollire 57 L série z obteue pr "itégrtio terme à terme" de l série z le même ryo de covergece que celle-ci E cs de covergece, ous vos z = = z Défiitio 58 Soit f ue pplictio d'u ouvert : de  ds  et soit z u poit de : f(z) f(z ) O dit que f est dérivble e z si le rpport z z dmet ue limite fiie qud z ted vers z Cette limite, si elle eiste, est lors otée f'(z ) Si f est dérivble e tout poit de :, o dit que f est holomorphe sur : Remrques 59 L'pplictio qui, à z, ssocie f'(z ) est ppelée foctio dérivée et est otée f' Cette défiitio 'est qu'ue etesio de celle coue pour les foctios de Á ds Á O des propriétés idetiques u foctios de Á ds Á E prticulier, vec les hypothèses qui s'imposet : # (f g)' = f' g' # (fg)' = f'g g'f # f g = f g fg g 2 # (g o f)' = f' u (g' o f) Propriété 5 Soit z ue série etière, de ryo de covergece R o ul et de somme S(z) Alors S est ue foctio holomorphe sur so disque ouvert de covergece et, sur cet esemble, S'(z) = ( ) z = = z = Frcis Wlziski =

12 Démostrtio Soiet deu complees différets z et z de B(,R) O suppose z fié et o v fire tedre z vers z S(z) S(z ) O pose g(z) = z z z z ( z z ) (z z ) z O g(z) = z z = z z = z z = z z z C'est-à-dire g(z) = z k k z k= k= O pose h (z) = z k k z, o doc que g est l somme de l série de foctios de terme géérl h Or, o peut supposer que z et z pprtieet à u disque fermé D de cetre O et de ryo r < R O doc h (z) r k r k = r k= Les séries z et z (série dérivée) yt même ryo de covergece, l série r est covergete Doc l série de foctios de terme géérl h est ormlemet covergete sur D E prticulier, s somme est cotiue puisque toutes les foctios h sot cotiues k O doc lim z zo g(z) = lim z zo lim! h k (z) = lim! lim z zo h (z) = lim! h (z ) = lim! k k z = z k= Ce qui sigifie que f'(z ) = z Corollire 5 Soit k= t ue série etière réelle, de ryo de covergece R > et de somme S Alors S est dérivble sur ] R,R[ ou sur Á si R = f et, sur cet esemble, S'(t) = ( ) t = = t Corollire 52 Soit t ue série etière réelle de ryo de covergece R > et de somme S L'pplictio S est de clsse : sur ] R,R[ ou sur Á si R = f, et sur cet esemble : p >, S (p) (t) = ( p)( p ) ( ) p t =! =!! ( p)! = =! p t!! = ( ) ( p ) t p =! ( p)! t p =p Remrque 53 =p Les éocés précédets sigifiet que l somme d'ue série etière est ifiimet dérivble sur so itervlle de covergece De plus, o peut dériver, terme à terme et utt de fois que veut, l somme d'ue série etière, sur so itervlle ouvert de covergece E effet, ds le cs des séries etières, les coditios (e prticulier l covergece uiforme de l dérivée) du théorème de dérivtio des séries de foctios sot vérifiées Eemple 54 Nous svos que t = = ( t) pour tout réel t ] ;[ t O doc t = ( t) 2 =, et, de fço plus géérle, ( t) 2 ( )t 2 = 2( t) 3 = 2 2 ( t) 3 p! p 3, ( ) ( p ) t p = ( t) p p Frcis Wlziski 2 k=! k=

13 % % $ " " C'est-à-dire C p t p = C t p =! = =p =p ( p)!p! t p = ( t) p Corollire 55 Soit z ue série etière de ryo de covergece R > et de somme S S Pour tout etier, le coefficiet est égl à () ()! Corollire 56 " Soiet z et b z deu séries etières de ryos de covergece respectifs R > et R 2 > et de sommes respectives S et S 2 O suppose qu'il eiste u réel strictemet positif ρ mi(r,r 2 ) tel que, z B(,ρ), S (z) = S 2 (z) Alors ces deu séries sot idetiques, c'est-à-dire À, = b Corollire 57 Soit ue série etière réelle de terme géérl, de somme f et de ryo de covergece R o ul " Alors pour tout de ] R,R[ ou de Á si R = f ˆ f(t)dt = = Remrques 58 ˆ f(t)dt est l primitive de f qui s'ule e Il 'y doc ps de terme costt Les utres primitives de f s'obtieet à prtir de " à l série = " " ˆ f(t)dt simplemet e joutt u premier terme O doc ˆ t dt = ˆ t dt = = Ce résultt découle ussi de l covergece uiforme de sur tout fermé boré de ] R,R[ Toute primitive de l foctio f, sur l'itervlle ] R,R[, est obteue pr itégrtio terme à terme Eemple 59 O cosidère l série etière t! qui coverge sur Á vers l foctio epoetielle Pour tout réel, o retrouve doc, ˆ e t dt = ˆ! dt = ( )! =! =! = e Corollire 52 # Soit t ue série etière réelle de ryo de covergece R > et de somme S(t) Sur tout segmet [α,β] iclus ds ] R,R[ ou ds Á si R = f, o peut doc écrire : ˆ $ " = " t dt = t dt = ˆ ( ) = " = t # # # Frcis Wlziski 3

14 6 Foctios développbles e série etière 6 Géérlités Défiitio 6 Soit f ue foctio complee défiie sur u voisige : de l'origie ds  O dit que f est développble e série etière à l'origie s'il eiste ue suite ( ) & de complees tels que, pour tout z de :, f (z) = z Eemple 62 ' = ' Pour tout de ],[, = ( ) 2 2 = f est développble e série etière e, vec u ryo de covergece égl à Mis l'esemble de défiitio de f cotiet strictemet ],[ Toutefois f e peut plus être représeté pr cette série etière e dehors de cet itervlle Remrques 63 U disque ouvert de cetre O est de ryo r > est u voisige de l'origie O dit que l'o développé f e série etière u voisige de O lorsque l'o trouvé u réel ρ > et ue suite ( ) & de complees tels que, pour tout z de B(,ρ), f (z) = z Ds le cs réel, cel doe : Soit f ue foctio défiie sur u itervlle ouvert cotet Développer f e série etière u voisige de reviet à détermier u réel strictemet positif ρ et ue suite ( ) & de réels tels que, pour tout de ] ρ,ρ[, f () = O brège prfois "développble e série etière" pr DSE Avec les ottios précédetes, pour que f soit développble e série etière, il fut que le ryo de covergece R de z soit u mois égl à ρ Il 'est cepedt ps écessire que ρ soit égl à R Plus précisémet, si ρ coviet, lors tout réel strictemet positif ρ' < ρ coviet ecore Le chgemet de vrible = h rmèe le problème e Toute les défiitios et propriétés peuvet doc être doées pour u développemet à l'origie Toutefois, pour ue foctio, être développble e série etière pour tout les poits d'u esemble est ue propriété spécifique que ous verros u peu plus loi 62 Série de McLuri Défiitio 64 Soit Ω u ouvert de Á cotet Soit f ue pplictio de Ω ds K O suppose que f est de clsse : sur u voisige de l'origie L série etière f () () t est ppelée série de McLuri de f! ' = ' = Frcis Wlziski 4

15 Propriété 65 Si f est développble e série etière e, lors f est de clsse : sur u voisige de l'origie L série etière égle à f u voisige de est écessiremet l série de McLuri de f ( C'est-à-dire, il eiste u réel R > tel que, sur ] R,R[, f (t) = f () () t! Démostrtio Cel proviet directemet des corollires 52, 55 et 56 Remrques 66 L'utilistio du corollire 52 et du corollire 55 peut se fire sur les séries complees moyet u chgemet de vocbulire Même s'il est mois utilisé, o doc u résultt similire pour les séries complees : Si f est développble e série etière e, lors f est de clsse : sur u voisige de l'origie et ( il eiste u réel strictemet positif R tel que, sur B(,R), f (z) = f () () z! Le développemet d'ue foctio e série etière, s'il eiste, est uique Si f est développble e série etière, lors (f est de clsse : sur u voisige de l'origie et) f vérifie les coditios du théorème de Tylor Doc f dmet u DL e à l'ordre p quel que soit l'etier turel p L somme S(z) de l série etière z est ue foctio pire (resp impire) si et seulemet si tous les coefficiets de rg impir (resp pir) sot uls Remrque 67 Même si f est de clsse : sur u voisige de l'origie, et même si l série de McLuri de f u ryo de covergece strictemet positif, o e peut ps ffirmer que f est développble e série etière e Pr eemple, soit l'pplictio f défiie pr f : ÁoÁ Å ep 2 si > Å si O bie que f est de clsse : sur u voisige de l'origie E effet, p À, si >, f (p) () est de l forme P u ep O doc, p À, f (p) () = 2 Si f étit développble e série etière, o urit tous les coefficiets uls, c'est-à-dire f = : bsurde = = Rppel 68 (Formule de Tylor vec reste itégrle) Soit ue foctio f défiie sur u itervlle I de Á cotet O suppose que f est ifiimet dérivble f (k) () ( t) sur I Alors, pour tout de I et pour tout etier, f() = R () où R () = k! k ˆ f! () (t)dt Remrque 69 Soiet u réel strictemet positif et f ue foctio de ] ;[ ds K Pour que f soit développble e série etière sur ] ;[, il fut et il suffit que : f soit ifiimet dérivble sur ] ;[ b Pour tout de ] ;[, lim ) ( f() k= f (k) () k! k = Frcis Wlziski 5 k=

16 Propriété 6 Soit Ω u ouvert de Á cotet, et f ue pplictio de Ω ds K O suppose que f est de clsse : sur u voisige de l'origie O suppose d'utre prt qu'il eiste r > et M tels que, ] r,r[, p À, f (p) () M Alors f est développble e série etière e, vec u ryo de covergece u mois égl à r Démostrtio f O, pour tout etier, f () = (k) () k! k! ˆ ( t)f () (t) f dt = (k) () k= k! k R () Pour tout ] r,r[, R () = k=! ˆ ( t) f () (t) dt >! ˆ ( t) f () (t) dt M! ˆ ( t) dt M > ( )! d O lim doc pour tout ] r,r[ * ( )! = lim R * () = Remrque 6 Cette coditio 'est ps écessire, comme le motre l'eemple de f() = Propriété 62 Soiet u réel strictemet positif et f ue foctio de ] ;[ ds K ifiimet dérivble sur ] ;[ f O suppose, de plus, que r ];[ c > / ] r,r[, p À, (p) () d c r p p! Alors f est développble e série etière e, vec u ryo de covergece u mois égl à r Démostrtio f Pour =, o obtiet p À, (p) () d c r p p! f (p) () O doc ] r,r[, p À, p d c p r vec r < p! Doc, ] r,r[, l série (umérique) O R () =! ˆ ( t) f () (t) dt f (k) () k! k est bsolumet covergete O utilist le chgemet de vrible t = u, o obtiet R () =! ˆ ( u) f () (u) du C'est-à-dire R () = ˆ( u) f! () (u) du Doc R () ˆ ( u) f! () (u) du > ˆ ( u) ( )! cr! du > c!r ( ) Et lors, R () c r ( u) ( ) = c r = c r O doc lim R * () = pour tout ] r,r[ ˆ ( u) du Frcis Wlziski 6

17 Eemple 63 O peut utiliser cette crctéristio pour motrer que l foctio epoetielle est développble e série etière e pr f () = e =,! E effet, r Á, ] r,r[, p À, f (p) () = p! e p! er > p! = r rp e r p p! Puisque p! L p p e p 2p, o lim r p e r = p- - p! L suite de terme géérl r p e r est doc borée! Il suffit doc de poser c = sup r p e r p/ p! 63 Développemet e série etière et opértios Corollire 64 Soiet f et g deu pplictios développbles e série etière e de développemet z et b z Pour tous sclires α et β, l'pplictio αf βg est développble e série etière e Le développemet est lors (α βb ) z L'pplictio f g est développble e série etière e Le développemet est lors le produit de Cuchy des séries z et b z Remrque 65 L'esemble des foctios développbles e série etière mui des lois usuelles (,,u) est ue lgèbre Corollire 66 Soiet f et g deu pplictios développbles e série etière à l'origie de développemet respectif z et b z Si f() =, lors g o f est développble e série etière e Le développemet est lors obteu e substitut l série z ds l série b z Propriété 67 Si f est développble e série etière e, et si f(), lors est développble e série etière e f Propriété 68 Soit f ue pplictio développble e série etière e : Les dérivées successives de f sot développbles e série etière e Le développemet de f (p) s'obtiet e dérivt terme à terme p fois celui de f Toute primitive F de f est développble e série etière e Le développemet de F s'obtiet e itégrt terme à terme celui de f Le terme costt étt l vleur de F e Remrque 69 Lorsqu'ue foctio est l'uique solutio d'ue équtio différetielle (muie doc de coditios iitiles), il est prfois possible de détermier l vleur des coefficiets du développemet e série etière de l foctio Frcis Wlziski 7

18 64 Prologemet Défiitio 62 Soit f ue pplictio de Á ds Á développble e série etière sur ] R;R[ pr f () = 2 O peut défiir ue foctio f deâ dsâ sur B(;R) e post f (z) = z = 2 = Eemples 62 2 Puisque, pour tout réel, o e =, o peut poser e z = pour z complee =! =! 2 ( ) 2 ( ) De même, o pose cos(z) = et si(z) = = (2)! z2 = (2 )! z2 Remrque 622 O peut utiliser les propriétés des séries etières pour motrer les propriétés de l'epoetielle complee ou des foctios trigoométriques complees Pr eemple : z,z' Â, e zz3 = e z e z3 Á, e i = cos i si z,z' Â, cos (z z') = cos z cos z' si z si z' et si (z z') = si z cos z' si z' cos z Attetio, pour z complee, o ' ps écessiremet cos z 65 Développemets usuels 2 e = (R = ) =! 2 l() >, = (R = )! = 2 z =! z Â, e z = (R = ) E pret l prtie réelle de ep (i), o obtiet 2 ( ) cos = (R = ) = (2)! 2 E pret l prtie imgiire de ep (i), o obtiet 2 ( ) si = (R = ) = (2 )! 2 E pret l prtie pire de ep (), o obtiet 2 ch = (R = ) = (2)! 2 E pret l prtie impire de ep (), o obtiet 2 sh = (R = ) = (2 )! 2 Å ( ) est solutio de l'équtio différetielle ( ) y' = y O obtiet lors : 2 ( )( ) Á, ( ) = (R = ) =! Avec le cs prticulier =, 2 = ( ) (R = ) = E utilist le chgemet Å, o obtiet 2 = (R = ) = 2 z Frcis Wlziski 8

19 E utilist le chgemet Å 2, o obtiet 4 = ( ) 2 (R = ) 2 = E utilist le chgemet Å 2, o obtiet 4 = 2 (R = ) 2 = Avec le cs prticulier = /2, o obtiet 4 = ( ) 3 (2 ) (R = ) = 2! E utilist le chgemet Å, o obtiet 4 3 (2 ) = (R = ) = 2! E utilist le chgemet Å 2, o obtiet 4 = ( ) 3 (2 ) (R = ) 2 = 2! 2 E utilist le chgemet Å 2, o obtiet 4 3 (2 ) = (R = ) 2 = 2! 2 Pr dérivtio, o obtiet 4 ( p)( p )( ) = pour tout etier p > (R = ) ( ) p = p! Pr itégrtio, o obtiet 4 ( ) 4 ( ) l ( ) = (R = ) = = = (Le développemet précédet est ecore vlble si = ) E utilist le chgemet Å, o obtiet 4 l ( ) = = (R = ) (Le développemet précédet est ecore vlble si = ) Pr itégrtio, o obtiet 4 ( ) rct = (R = ) = 2 2 (Le développemet précédet est ecore vlble si = ±) Pr itégrtio, o obtiet 4 3 (2 ) rcsi = t 2 (R = ) = 2 4 (2) 2 (Le développemet précédet est ecore vlble si = ±) Puisque rccos () = rcsi (), o obtiet (2 ) rccos = t 2 (R = ) 2 = 2 4 (2) 2 Pr itégrtio, o obtiet 4 rgsh = t ( ) 3 (2 ) 2 (R = ) = 2 4 (2) 2 Pr itégrtio, o obtiet 4 rgth = (R = ) = 2 2 Â*, = 4 (R = ) = = E dérivt p fois le développemet, o obtiet 4 Â*, p À*, = (R = ) ( ) p p C p p = Si f est ue frctio rtioelle, 'dmettt ps pour pôle, lors f est développble e série etière e, le ryo de covergece du développemet étt le plus petit module des pôles de f Frcis Wlziski 9

20 66 Foctios lytiques Défiitio 62 Soit f ue pplictio d'u ouvert : de  ds  et soit z u poit de : O dit que f est développble e série etière e z si l foctio qui, à tout h Â, ssocie f (z h) est développble e série etière e C'est-à-dire, si et seulemet si il eiste ue série etière z et u réel ρ > tels que z z < ρ f (z) = (z z ) = Défiitio 62 5 Soit f ue pplictio défiie sur u ouvert : deâ, à vleurs ds  O dit que f est lytique si f est développble e série etière e tout poit z de : Eemples 622 L'pplictio Å ep () est développble e série etière e : Á, ep () = =! 5 ( Plus géérlemet, Á, Á, ep () = ep ( ) ep ( ) = ep ( ) ) =! Doc l'pplictio Å ep() est développble e série etière e tout poit de Á 5 L'pplictio Å f () = est développble e série etière e : ],[, = = Plus géérlemet, soit u élémet de ],[ Alors : 5 5 = = = = = = ( ) ( ) Le ryo de covergece du développemet précédet est O doc que f est développble e série etière e tout poit de ],[ Remrques 623 O défiit idetiquemet les foctios lytiques réelles : Soit f ue pplictio défiie sur u ouvert U deá, à vleurs dsá O dit que f est lytique si f est développble e série etière e tout poit de U Les propriétés des foctios lytiques découlet directemet des propriétés des foctios développbles e série etière à l'origie Corollire 624 Soit f ue pplictio lytique sur u ouvert : de  Alors f est ifiimet dérivble sur : 5 De plus, pour tout poit z de :, il eiste u réel R > tel que, sur B(z,R), f (z) = f () (z ) (z z )! Justifictio Soit f l foctio qui, à tout h Â, ssocie f (z h) Nous svos (remrque 66) que f est de clsse : sur u voisige de l'origie et qu'il eiste u réel 5 () strictemet positif R tel que, sur B(,R), f (h) = () h De plus, o () () = f () (z ) et h = z z =! f f Frcis Wlziski 2 = 5

21 Corollire 625 Toutes les dérivées successives d'ue foctio lytique sot des foctios lytiques Corollire 626 L somme, le produit, le quotiet et l compositio de foctios lytiques (sur des esembles qui permettet ces opértios) sot des foctios lytiques Propriété 627 Si f est développble e série etière e, et si le ryo de covergece de ce développemet est strictemet positif, lors f est lytique sur so disque ouvert de covergece Démostrtio Soit z ue série etière de ryo de covergece R > et de somme f qui vérifie doc, pour tout z 6 de B(,R), f (z) = z = Soit z u poit de B(,R) et h u complee tel que z h B(,R) 6 O f (z h) = (z h) k = C k z h k = 6 = k= Pour obteir u développemet e série etière de f (z h), il fut pouvoir réordoer les termes de l double somme Il suffit doc que l série de terme géérl k Or k= C k z h k = k= C k z k h k = ( z h ) k= k C k z h k soit bsolumet covergete Puisque les séries etières z et z ot même ryo de covergece, l'bsolue covergece est obteue si z h < R c'est-à-dire si h < R z Ds ce cs, f (z h) = 6 = k= k Pour =, o C k z h k = k= 6 C k z k h k = = k Pour =, o C k z h k = (C z C h) k= k= k Pour = 2, o C k z h k = 2 (C 2 z 2 C 2 z h C 22 h 2 ) k= k Pour = 3, o C k z h k = 3 (C 3 z 3 C 3 z 2 h C 32 z h 2 C 33 h 3 ) k= p k C k z h k k = p7 lim 6 k= C k z h k = k Pour = p, o C k z h k = p (C p z p C p z p p 2 h C p z p 2 h 2 p 3 C p z p 3 h 3 C pp h p ) k= p p 6 6 D'où f (z h) = p7 lim 6 k= k C k z =k h k = k= k C k z =k O bie u développemet e série etière de f e z 6 k O peut remrquer que b k = =k C k z = (voir corollire 52) et o retrouve le résultt du k! f(k) (z ) corollire 623 h k Frcis Wlziski 2