UN AUTRE PARADOXE : équation horaire du mouvement d un point

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1 UN AUTRE PARADOXE : équaion horaire du mouvemen d un poin. - INTRODUCTION La relaivié resreine es l obje de nombreu paradoes comme on a pu le consaer dans d aures ees proposés dans ce dossier. La majorié d enre eu es due à une approche rop imprécise e se soluionne en définissan avec soin les différenes grandeurs uilisées. On va encore le consaer ici.. - ENONCE DES PROBLEMES A L ORIGINE DU PARADOXE Dans un référeniel galiléen (R d origine O e d aes,y,z, un poin M se déplace sur l ae des a la viesse v consane.. En uilisan la ransformaion de Lorenz déerminer les coordonnées (, de ce poin M dans son référeniel propre (R. On considère que lorsque O passe en O nous avons 0.. On considère le poin M fie par rappor à M e siué sur l ae des à la disance δ de M disance mesurée dans (R. Déerminer l équaion du mouvemen de M dans le référeniel (R iniial. Dans un référeniel galiléen (R d origine O e d aes,y,z, un poin M es au repos au poin δ. (R se déplace sur l ae des à la viesse -v consane par rappor à un aure référeniel galiléen (R. On considère que lorsque O passe en O nous avons 0.. En uilisan la ransformaion de Lorenz déerminer les coordonnées (, de ce poin M dans le référeniel (R.. Déerminer l équaion du mouvemen de M dans le référeniel (R iniial 3. ETUDE DU PREMIER PROBLEME 3. - COORDONNEES DE M DANS (R Appliquons les ransformaions de Lorenz (TL pour le poin M enre les deu référeniels : v ' ' ( ( βc β Dans (R nous avons. En remplaçan dans la première équaion nous obenons ' 0, ce qui es conforme à l hypohèse que M occupe l origine de son référeniel propre (R. c Pour nous avons : ' ( βv c ( β ( β On appellera l heure marquée par l horloge aachée à M dans son référeniel de repos (R. La définiion es la même pour. On appellera l heure marquée par l horloge au repos dans (R devan laquelle passe M alors que la sienne marque. La définiion es la même pour. On rappelle que lorsque les origines O e O coïnciden.

2 Dans son repère propre les coordonnées de M son : M ' ' EQUATION HORAIRE DE M DANS (R A parir des epressions précédenes associées au TL pour passer de (R à (R on va obenir : ( ' ( ' + βc' + β' Or les coordonnées de M dans (R son :[le emps de M es synchrone de celui de M dans (R ] Remplaçons dans l epression de les quaniés e par leur valeur : c ( δ + βc' ( δ + ( βc δ + βc Comme βc v nous avons avec la première équaion donnan : v 4. - ETUDE DU SECOND PROBLEME 4. - COORDONNEES DE M DANS (R Comme précédemmen appliquons les TL au coordonnées de M dans (R pour avoir celles dans (R. ( δ + βc' ( ' + β' En iran de la première on obien en foncion de en remplaçan dans la seconde.. - EQUATION HORAIRE DE M DANS (R Sachan que β v/c e /( β / on obien finalemen : ' ' δ δ + v β δ v + δ ( β v ' 5 COMPARAISON DES RESULTATS On obien donc deu epressions différenes pour l équaion horaire de M. D une par, paran de l équaion horaire du mouvemen de M dans (R on ( ' βδ c ( [ δ + βc( βδ c ] c

3 passe par les TL pour obenir les coordonnées de M dans son référeniel propre (R. On inrodui alors un poin M qui es au repos dans (R e disan de δ de M. Toujours en s appuyan sur les TL, on obien finalemen l équaion horaire de M dans (R. On obien alors : v Pour la seconde epression nous parons des coordonnées de M dans (R e, en appliquan les TL du mouvemen de (R par rappor à (R à la viesse v le long de l ae O, nous obenons : v La différence apparaî dans l abscisse à l origine (pour 0 : δ dans le premier cas e δ/ dans le second. Or il semble bien que les problèmes posés soien ideniques, même si leur formulaion es un peu différene : M es au repos à la même posiion δ dans (R e les deu référeniels (R e (R on le même un mouvemen relaif. On peu donc se poser deu quesions : quelle es la bonne epression pour e où se cache l erreur de raisonnemen dans le calcul précéden? En relisan aenivemen les calculs on consae une différence dans l epression de, emps marqué par l horloge aachée à M e au repos dans (R lorsqu il occupe la posiion. Premier calcul - résula pariel ( : Second calcul - résula pariel ( : Considérons le diagramme de Lorenz suivan : ' ' βδ c

4 Il représene les lignes d univers des poins M e M au repos dans le repère (R e avec M M δ dans (R. A l insan dans (R l horloge de (R en face de M marque e celle en face de M marque >. On a : v + ( Or dans le riangle M M H : cos( α M H M M δ ( cos( α sin ( α β ( δ cos( α δ β δ Finalemen : v On obien alors l epression finale rouvée pour la première parie. Cependan elle ne peu pas convenir car, comme on le voi bien sur le diagramme de Lorenz, l équaion horaire de M dans (R es obenue en ajouan à abscisse de M la disance qui sépare M de M. Or cee disance n es pas calculée dans (R d une manière correce c es à dire en déerminan la posiion de M e celle de M dans (R au même insan de ce référeniel. Considérons mainenan le diagramme de Lorenz suivan :

5 Il représene encore les lignes d univers des poins M e M au repos dans le repère (R e avec M M δ dans (R mais on a choisi de posiionner les poins M e M au même insan de (R : Dans le riangle M M H on peu écrire : cos( α cos( α M H v sin + ( M M ( α ( β δ ( δ cos( α δ β δ Finalemen : v Cee epression es la bonne car elle es éablie en considéran la posiion de M à l insan à laquelle on ajoue la disance M M mesurée à l insan. Or nous avons, par consrucion du diagramme,. Donc l équaion horaire de M à n impore insan du référeniel (R es donnée par : v CONCLUSION Là encore on consae qu il es facile de créer un paradoe en relaivié resreine. Comme pour d aures déjà éudiés celui-ci émerge de deu oublis : la simulanéié n es plus une qualié absolue des événemens e la mesure d une disance ne peu êre perinene que si la posiion de chacune des erémiés du segmen es déerminée au même insan dans le référeniel d éude. Pierre MAGNIEN 0 juille 04

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