ISFA Université Lyon 1 β WINTER & Associés γ RÉSUMÉ

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1 Allocaio d acifs selo le crière de maximisaio des fods propres écoomiques e assurace o-vie : préseaio e mise e œuvre das la réglemeaio fraçaise e das u référeiel de ype Solvabilié Frédéric PLANCHET Pierre-E THÉOND α ISFA Uiversié Lyo β WINTE & Associés γ ÉSUMÉ Le crière de maximisaio des fods propres écoomiques (MFPE) vise à choisir l allocaio d acifs qui opimise, sous l opéraeur espérace, la valeur de la sociéé d assurace rapporée à ses fods propres compables Ce crière es préseé das le cadre d ue sociéé d assurace o-vie simplifiée Il es esuie mis e œuvre das le cadre de la réglemeaio fraçaise acuelle puis d ue réglemeaio ispirée des ravaux e cours sur le fuur référeiel prudeiel europée Solvabilié Alors que das la réglemeaio fraçaise, le iveau des fods propres e déped pas direceme de l allocaio d acifs, il e va aureme das u référeiel du ype Solvabilié puisque le capial cible doi corôler le risque global de la compagie auquel coribue l allocaio d acifs La mise e œuvre du crière de MFPE passe alors par la déermiaio du couple allocaio d acifs / fods propres qui es soluio d u programme de corôle sochasique Au fial, ue illusraio umérique perme d aalyser les coséqueces de la mise e place du ouveau référeiel prudeiel Solvabilié sur les iveaux de provisios echiques e de fods propres de la sociéé puis d illusrer l impac du chageme de référeiel sur l allocaio déermiée par le crière de MFPE Efi l effe d ue mauvaise spécificaio de l acif sur l allocaio déermiée par le crière de MFPE es illusré MOTS-CLEFS : Allocaio d acifs, crière de maximisaio des fods propres écoomiques, assurace o-vie, probabilié de ruie, solvabilié Joural of Ecoomic Lieraure Classificaio: G, G & G3 Ce ravail a fai l obje d ue préseaio lors du XXXVI e colloque ASTIN de Zürich, sepembre 5 Frédéric Plache es Professeur associé de Fiace e d Assurace à l ISFA (Uiversié Lyo Frace) e acuaire associé chez WINTE & Associés Coac : fplache@wier-associesfr α Pierre Thérod es éudia e docora, chargé de cours e assurace à l ISFA e acuaire coseil chez WINTE & Associés Coac : pherod@wier-associesfr β Isiu de Sciece Fiacière e d Assuraces (ISFA) - 5, aveue Toy Garier Lyo cedex 7 γ WINTE & Associés 43/47 aveue de la Grade Armée 756 Paris e 8 aveue Félix Faure 697 Lyo - -

2 ABSTACT The ecoomic equiies maximizaio crierio (MFPE) leads o he choice of fiacial porfolio, which maximizes he raio of he expeced value of he isurace compay o he capial This crierio is preseed i he framework of a o-life isurace compay ad is applied wihi he framework of he Frech legislaio ad i a lawful coex ispired of he works i progress abou he Europea projec Solvecy I he Frech regulaio case, he required solvecy margi does o deped of he asse allocaio I is quie differe i he Solvecy framework because he arge capial has o corol he global risk of he compay Ad he fiacial risk akes par of his global risk Thus he ecoomic equiies maximizaio crierio leads o search a couple asse allocaio / equiies which solves a sochasic program A umerical illusraio makes i possible o aalyze he cosequeces of he iroducio of a Solvecy framework o he echical reserves ad he equiies of a o-life isurace compay ad o he opimal allocaio due o he ecoomic equiies maximizaio crierio Fially, he impac of a misspecificaio of he risky asse model o he opimal allocaio is illusraed KEYWODS: Asse allocaio, ecoomic equiies maximizaio crierio, o-life isurace, rui probabiliy, Solvecy Joural of Ecoomic Lieraure Classificaio: G, G & G3 - -

3 Iroducio Jusqu alors das le disposiif prudeiel fraçais e, plus largeme, das de ombreux disposiifs europées, la solvabilié des sociéés d assurace es assurée par ue série de provisios au passif e des coraies sur les suppors admissibles pour les placemes à l acif E effe, les placemes so soumis à diverses règles prudeielles aya pour bu d assurer leur sécurié E pariculier, leur répariio géographique e ere les différees classes d acifs, leur dispersio e leur cogruece (cohérece de la moaie das laquelle ils so libellés avec celle das laquelle sero payées les presaios) répode à des règles srices Ce mode de focioeme a pour coséquece direce que les problémaiques de déermiaio des fods propres, d ue par, e d allocaio d acifs, d aure par, so disices E effe, das la cadre de la réglemeaio européee acuelle, le iveau miimal des fods propres (l exigece de marge de solvabilié) do doi disposer u assureur déped uiqueme 3 du iveau des provisios echiques e assurace vie e du iveau des presaios e des primes e assurace o-vie Le proje Solvabilié (cf COMMISION EUOPÉENNE [3], [4] e AAI [4]) e cours d élaboraio modifie profodéme ces règles e iroduisa comme crière explicie de déermiaio du iveau des fods propres le corôle du risque global supporé par la sociéé Ce risque devra oamme êre quaifié au ravers de la probabilié de ruie Aisi, la déermiaio de l allocaio d acifs se rouve de fai iégrée das la démarche de fixaio du iveau des fods propres, la srucure de l acif impaca direceme la solvabilié de l assureur U cerai ombre de ravaux s aache à défiir des approches sadards pour la déermiaio du capial de solvabilié (cf AAI [4] e DJEHICHE e HÖFELT [5]) Das ces approches la srucure de l acif es ue doée e les aueurs s aache à déermier le iveau miimal de capial qui corôle le risque global de la sociéé Nous proposos ici u poi de vue aleraif das lequel les ieracios ere le iveau du capial cible requis e l allocaio so explicieme prises e compe e où l o cherche à déermier direceme u couple capial / allocaio d acifs La moivaio de cee approche es qu il ous apparaî préférable das ce ouveau coexe de déermier de maière cojoie le iveau du capial e la maière d allouer ce derier, du fai des fores ieracios que Solvabilié idui à ce iveau Pour cela ous allos uiliser le crière de maximisaio des fods propres écoomiques (MFPE) iiialeme élaboré das des problémaiques d assurace vie das PLANCHET e THÉOND [4b] Ce crière revie à déermier le couple capial / allocaio d acifs qui maximise la valeur iiiale de la firme (exprimée e pourceage des fods propres réglemeaires) lorsque celle-ci es mesurée sous l opéraeur espérace Ce crière perme d obeir ue allocaio do la déermiaio e déped pas d u crière subjecif el que le iveau de la probabilié de ruie L allocaio déermiée es esuie cofroée ex pos à de els idicaeurs de maière à la calibrer e à valider so respec des coraies réglemeaires Cf ar 33-6 du Code des assuraces Cf ar 33- e suiv du Code des assuraces 3 Le calcul de l exigece de marge de solvabilié iègre égaleme la réassurace des sociéés - 3 -

4 Après avoir préseé u modèle simplifié de sociéé d assurace sur laquelle ous allos ravailler, ous repreos la défiiio d allocaio opimale au ses du crière de MFPE e l explicios, e pariculier, d abord das le cadre de la réglemeaio fraçaise puis d u référeiel de ype Solvabilié Nous illusros esuie la mise e œuvre de ce crière das le cas d ue sociéé d assurace couvra deux ypes de risques dépedas e deva composer so porefeuille fiacier parmi u acif risqué (do le redeme es modélisé par u processus de Lévy simple) e u acif sas risque Provisios echiques e iveaux de fods propres miimaux so déermiés das les deux référeiels prudeiels ; puis le crière de MFPE codui à ue allocaio d acifs das le cadre de la réglemeaio fraçaise e u couple capial cible / allocaio d acifs das le référeiel de ype Solvabilié Efi l impac d ue mauvaise spécificaio de l acif sur les résulas obeus es examié Modélisaio de la sociéé d assurace Ue sociéé couvre sur ue période 4 risques qui egedrero sur cee période les moas de siisres S,, où S correspod à la charge de siisres de l esemble des polices de la S i brache i do la focio de répariio sera oée Cee modélisaio es pas resricive das la mesure où la variable aléaoire (va) S i peu représeer les presaios effeciveme versées sur la période ou leur valeur acualisée e fi de période Nous feros l hypohèse que le verseme des presaios a lieu e fi de période Nous supposeros égaleme que l assureur e souscri pas de ouveau cora e cours de période e que oues les surveaces de siisres so coues e fi de période E débu de période, coforméme à la réglemeaio, l assureur a doé ses provisios echiques d u moa Parallèleme l assureur dispose d u iveau de fods propres E L qui doi êre supérieur au iveau miimum de fods propres réglemeaires F i Nous supposeros que l assureur place le moa E + L das m acifs fiaciers A = A,, A m avec les proporios =,, ) Pour simplifier les oaios, ous poseros, sas pere 5 ( m {, m} E ( ) de gééralié, pour ou j,, A = e = Nous oeros Ω l esemble des choix de porefeuille admissibles au regard de la réglemeaio j Das le cadre de la législaio fraçaise acuelle, le calcul de e déped uiqueme de S = S,, S, alors que sous u référeiel du ype Solvabilié, E es égaleme focio de, A,, m j= j 6 L E ( ) A m 4 Les documes de ravail de la Commissio européee privilégie ue approche moo-périodique pour l appréciaio de la solvabilié 5 O suppose doc implicieme que les règles de placeme so ideiques pour les acifs e représeaio des provisios echiques e pour les acifs associés aux fods propres 6 Sous réserve de l uilisaio d u pricipe de primes e dépeda que des lois des S i - 4 -

5 E fi de période, l assureur doi payer le moa de presaios S ressource de m j A j j= ( L + E ) aléaoires S e A so idépedas = S i i= Il dispose comme Das la suie, ous feros l hypohèse que les veceurs Das la suie Φ désigera la focio de répariio de la loi ormale cerée réduie N ( ;) 3 Crière de maximisaio des fods propres écoomiques Après avoir irodui de maière géérale le crière de maximisaio des fods propres écoomiques, ous éudios sa mise e œuvre das le cadre de la réglemeaio fraçaise acuelle d ue par, puis d u référeiel de ype Solvabilié d aure par 3 Préseaio géérale E S i Si ] e fi de période Par i= i= ailleurs e à la même dae, ses ressources sero cosiuées par ses provisios echiques, ses E espérace, l assureur devra débourser [ S ] = E = E[ m j A j j= fods propres e les produis fiaciers qu ils o egedrés, soi ( L + E ) E espérace, l acif de l assureur e fi de période aeidra doc le moa m m E ( L + E ) j Aj = ( L + E ) j E[ A j ] j= j= m Das la suie ous oeros Λ = S i j Aj i= j= la charge des presaios acualisée au aux de redeme du porefeuille fiacier e = Σ L + E Λ Σ peu s ierpréer comme la valeur (aléaoire) du surplus au erme acualisée au aux de redeme de l acif ( ) Défiiio : Nous appelleros «fods propres écoomiques» l espérace de ce surplus acualisé E [ Σ ] = E [ E + L ] e «provisio écoomique» la quaié E [ ] Λ Proposiio : Pour ou Ω, placer e débu de période la quaié E[ Λ selo l allocaio perme d êre, e espérace, capable de payer les presaios e fi de période Démosraio : La focio iverse éa covexe sur ] ;+ [, l iégalié de Jese assure E X > ( E X ) e doc que pour oue variable aléaoire X à valeurs sriceme posiives, [ ] [ ] E m [ Λ ]* E j Aj E Si j= i= Λ puisque A e S o éé supposés idépedas ] - 5 -

6 E Σ peuve s ierpréer comme ue valorisaio, sous l opéraeur espérace, de la compagie e L assureur peu rechercher à maximiser cee valorisaio e référece aux capiaux de la sociéé par le biais de so allocaio d acifs, i e à choisir le porefeuille qui maximise la quaié Aussi les fods propres écoomiques [ ] φ ( ) [ Σ ] = E, () E i e le rappor ere la «valeur écoomique» de la sociéé e ses fods propres compables * Défiiio : Ue allocaio es opimale au ses du crière de maximisaio des fods * propres écoomiques (MFPE) si es soluio du programme d opimisaio sup φ O oe que l esemble des soluios soluios du programme ( L [ Λ ]) { ( )} { E Ω Ω * de sup { φ( ) } coïcide avec l esemble des Ω sup E } Le erme E e peu qua à lui êre élimié puisque l assureur doi disposer d u iveau de fods propres E E e que E peu dépedre de (ce sera oamme le cas das le référeiel de ype Solvabilié préseé ifra) Proposiio : Si les variables aléaoires e * S i so idépedaes, es i= m j A j j= * opimale au ses du crière MFPE si, e seuleme si, es soluio du programme m d opimisaio sup E L E A j S i E j Ω j= i= La démosraio de ce résula es immédiae Das la suie, o supposera que l assureur dispose du iveau miimal de fods propres réglemeaires e doc que E E = 3 Mise e œuvre das le cadre réglemeaire fraçais La réglemeaio fraçaise impose d évaluer les provisios echiques brache par brache Elle précise 7 que ces provisios correspode à la «valeur esimaive des dépeses ( ) écessaires au règleme de ous les siisres surveus e o payés» Aussi le moa à provisioer e débu de période au ire de la brache i sera l espérace de Par ailleurs S i 7 Cf ar 33-6 du Code des assuraces - 6 -

7 , = ] l escompe des provisios es prohibé 8 de sore que l o a i {, }, L i E[ S i = i L i= L e Das le cadre de la réglemeaio acuelleme e vigueur, marge de solvabilié 9» e es idépeda de, A,, où γ es le aux de chargeme des primes, que ous supposeros commu à oues les braches Das ce modèle moo-périodique e e appliqua la réglemeaio acuelle e vigueur, l allocaio opimale au ses du crière de MFPE e déped doc que des caracérisiques des placemes fiaciers appelos que lorsqu il es mis e oeuvre das u modèle mulipériodique el que das le cas d u régime de reiers (cf PLANCHET e THÉOND [4b]), la srucure du passif es iégrée par le biais du profil espéré des flux fuurs Le problème α m d opimisaio à résoudre s écri alors if E E[ Flux ( k) ] j A j( k), qui es ue Ω k = j= gééralisaio aurelle du crière préseé supra Am E es appelé «exigece de E effe, le iveau de l exigece de marge de solvabilié es uiqueme focio des siisres passés e des primes ecaissées : l assureur calcule doc séparéme l exigece de marge selo les méhodes à parir des primes d ue par e des siisres d aure par, puis reie la plus grade des deux valeurs Nous supposeros ici que l exigece de marge de solvabilié es calculée à parir des primes E l absece de réassurace, la méhode à parir des primes cosise à reeir le moa 8% mi{ ΠS, 5 M } + 6% max{ ΠS 5 M, } où Π S désige le moa oal des primes commerciales ecaissées Das la suie, ous supposeros aisi que = % γ, () E 8 * + ( ) E [ S ] Das ce coexe, le passif de la sociéé iègre i la dépedace qui peu exiser ere les braches, i les risques liés aux placemes e, a foriori, les risques acif-passif L idépedace de E par rappor à, A,, A m perme d éablir rivialeme la proposiio suivae Proposiio 3 : Das le cadre réglemeaire fraçais, ue allocaio es opimale au * ses du crière de maximisaio des fods propres écoomiques si es soluio du m programme d opimisaio if E Ω j A j j= * 8 À l excepio de braches à rès log développeme elles que l assurace resposabilié civile e assurace cosrucio par exemple 9 Cf ar L334- du Code des assuraces Cf Direcive européee /3/CE - 7 -

8 Das la siuaio raiée ici, le fai que le crière de MFPE e dépede que de l acif es doc la coséquece d ue par du fai que la marge de solvabilié e déped pas de, e d aure par que le modèle cosidéré es moo-périodique 33 Mise e œuvre das u référeiel de ype Solvabilié Le proje Solvabilié vise à iroduire des ouils de gesio de la solvabilié globale de la sociéé d assurace E ermes quaiaifs, il s agira esseielleme : de déermier, pour chaque brache, u iveau de provisios echiques qui iègre la dagerosié du risque appréciée par ue mesure de risque ; de déermier u iveau de «capial cible» qui corôle, avec ue fore probabilié, ous les risques supporés par la sociéé sur u horizo fixé Das la suie, ous supposeros que pour chaque brache, l assureur doi provisioer, e débu de période, le moa qui lui perme de faire face à ses egagemes de payer e fi de période les presaios egedrées par cee brache das 75% des cas Cela revie à provisioer, pour chaque brache i, la Value-a-isk (Va) à 75% du risque S i escompée au aux d iérê sas risque sur la période r Nous supposeros, sas pere de gééralié, que la période es de durée Défiiio 3 : La Value-a-isk (Va) de iveau α associée au risque X es doée par Va X, α = if x Pr X x α ( ) { [ ] } Pour chaque brache i, o aura doc r ( S, ) e i = Va i 75% (3) L Par ailleurs, ous supposeros que le «capial cible» es déermié de elle maière que l ereprise soi capable, e fi de période, de faire face à ses egagemes evers ses assurés avec ue probabilié de 99,5% Formelleme cela sigifie que E es le plus pei moa qui rempli la codiio E m Pr ( L + E ) j Aj Si 99, 5% (4) j= i= Doc E + es la Va à 99,5% de Le iveau du capial cible es doc égal à L E Λ = if E Pr Λ 5 r Va ( Si, 75% ) e 99, % E i= (5) Nous e discuos pas ici des différees mesures de risque possibles i de leur periece das le cadre du proje Solvabilié ; ATZNE e al [999] ou ecore DHAENE e al [4a] fourisse ue préseaio complèe sur ce suje - 8 -

9 Cee expressio ous perme d observer qu à la différece de la marge de solvabilié, le capial cible es focio de la dépedace sochasique ere les différees braches e des risques liés aux placemes fiaciers 4 Applicaio du crière de MFPE Das cee parie, ous allos mere e œuvre le crière de MFPE das le cas d ue sociéé d assurace qui couvre deux risques S e S e qui doi composer so porefeuille fiacier parmi deux acifs e A A Après avoir comparé les bilas obeus das les deux sysèmes prudeiels, ous comparos les allocaios obeues par le crière de MFPE e leur sesibilié à l évoluio de différes paramères 4 Modélisaio des risques La compagie suppore deux ypes de risque : les risques de passif liés à la siisralié egedrée par so porefeuille de coras d assurace e les risques de placemes Par aure ces deux ypes de risques so différes aussi bie das la maière do ils affece l assureur que das le piloage qui peu êre mis e œuvre pour les corôler Aisi, à la différece des risques de siisres, les risques de placemes e se muualise pas mais l assureur peu les corôler par sa poliique d ivesisseme 4 isques des siisres Nous supposeros que les deux risques S e S couvers par la sociéé d assurace so disribués selo des lois log-ormales LN ( µ, σ ) e LN ( µ, σ ) Noos C α la copule de Frack qui sera supposée modéliser la dépedace ere ces deux risques Le héorème de Sklar (cf PLANCHET e al [5] pour ue iroducio à la héorie des copules) ous idique que la loi du couple ( S, S ) peu s écrire, de maière uique, [ S s, S s ] C ( F( s ), F ( )) α s Pr =, (6) où : e, les focios de répariio respeciveme de e S, so elles que F F S s µ S i i ;, σi ( )( ) = + α αu αu e e u, u l α e i [ l s] = Φ Pr pour { } C ( ) α La copule de Frack perme de disposer d ue srucure de dépedace qui perme, selo la valeur de α, de modéliser des risques idépedas ( α ), avec ue dépedace égaive ( α codui à la copule de la bore iférieure de Fréche) ou avec ue dépedace - 9 -

10 posiive ( α + codui à la copule de la bore supérieure de Fréche) La srucure de dépedace iduie par cee copule es illusrée par le graphe suiva,7,5,3,,9,,8,7,6 u,4,,,,,4,6 u,8,,5 Fig - Desié de la copule de Frack de paramère Pour les applicaios umériques, ous uiliseros les paramères suivas : µ = 5, 99 σ =, 377 α = µ = 3, 84 σ =, 374 γ =, 5 Noos que α = correspod à des risques do la dépedace es posiive Comme il es pas possible d explicier par ue formule direceme uilisable la loi d ue somme de va log-ormales, ous uiliseros les echiques de Moe Carlo 3 pour obeir la focio de répariio empirique de cee somme Cepeda, e praique, il apparaî souve souhaiable de dimiuer le ombre de variables à simuler, dès lors il peu êre iéressa d uiliser des approximaios de leur loi Par exemple, DHAENE e al [5] propose d approximer S c par la comoooic upper boud S de S défiie par où U es ue va de loi uiforme sur [ ; ] { µ + σ Φ ( U )} = c S exp i i i=, (7) Cee approximaio perme oamme de disposer de formules fermées pour calculer des Value-a-isk ou ecore des Tail-Va So uilisaio requier éamois de mesurer l erreur d approximaio commise Ce poi e sera pas développé plus ava das le prése ravail Les paramères so e fai choisis pour que l espérace de la charge siisre pour le risque soi égale à 5 e à 5 pour le risque 3 E pariculier, la dépedace ere les deux charges de siisres sera iégrée à l aide du résula décri e aexe - -

11 Le graphique suiva présee la disribuio de la charge oale de siisres obeue pour cee modélisaio du passif avec les paramères idiqués supra % 75% Va à 75% Somme des Va à 75% des deux braches 5% Espérace 5% % Fig - Disribuio de la charge oale de siisres O remarque e pariculier que la somme des Va à 75 % es supérieure à la Va à 75 % de la somme des risques bie que la dépedace ere les risques soi posiive O rappelle e effe que la Value-a-isk es pas ue mesure de risque cohéree au ses de ATZNE e al [999] car elle es pas sous-addiive 4 isques des placemes Nous supposeros que l assureur doive composer so porefeuille fiacier parmi deux acifs A e A Pour fixer les idées, ous supposeros que A es ue acif risqué e A u bo de capialisaio Nous supposeros que le cours de l acif risqué sui u processus à sau défii par ( µ σ ) N A ( ) = exp + σb + U k, (8) k = où : es u mouveme browie ( B ) ( ( N ) ( ) ( k ) ( B = ) N es u processus de Poisso d iesié λ = U es ue suie de variables aléaoires idépedaes ideiqueme = U k ) N (,σ u ) disribuées de loi ue loi ormale Les processus B, N e U so muuelleme idépedas Le choix de cee modélisaio es moivé par la voloé de permere de quaifier l icidece de la présece de saus sur la probabilié de ruie e, par-là, sur le iveau du capial de solvabilié Aussi après avoir éudié ce processus à saus, ous reviedros das le paragraphe 44 au cas classique du mouveme browie géomérique Les saus so ici, das u souci - -

12 de simplicié, supposés symériques e e moyee uls ; des modèles plus élaborés à saus dissymériques peuve égaleme êre proposés (cf AMEZANI e ZENG [998]) Noos Ψ la ribu egedrée par les B, N pour s s s e U } pour j ; B es u mouveme browie sadard par rappor à la filraio Ψ, N es u processus adapé à cee même filraio De plus pour ou > s, N N es idépeda de la ribu Proposiio 4 : Pour ou >, Démosraio : Soi Pr A( ) x = Pr k = + = Pr = Pr x [ A( ) x] x >, o a N [ ] U + ( µ σ ) k N = k = + = k = U U k k + + s k { k N Ψ s ( µ σ ) ( λ ) + l x λ Pr = Φ e = σu + σ! + σb ( µ σ ) + σb l x l x, N ( µ σ ) + σb l x Pr [ N = ] = puisque les processus N, B e U so muuelleme idépedas Par ailleurs, les processus U k k= k= U k e σ éa idépedas e gaussies, leur somme es égaleme gaussiee : B ( σ u + σ + σb ~ N ; ) Efi comme N es u processus de Poisso d iesié λ, pour ou >, la v a N es disribuée selo ue loi de Poisso de paramère λ e doc λ [ ] ( λ ) = e Pr N =! Lorsque λ = (cas de l absece de saus) o rerouve la loi log-ormale usuelle du browie géomérique Das le cas gééral, l expressio de la proposiio 4 perme d approcher la disribuio de l acif e e coserva qu u ombre fii de ermes das la somme, Par ailleurs, ous supposeros qu à la dae, le bo de capialisaio A vau r A ( ) = e, (9) où r es le aux d iérê sas risque, supposé cosa sur la période éudiée, uilisé pour escomper les provisios das le paragraphe 33 Pour les applicaios umériques, ous uiliseros les paramères suivas : µ =, 6 σ =, 5 r =, 344 λ =, 5 σ u =, - -

13 Les saus sero doc d espérace ulle e, e moyee, il e surviedra u oues les deux périodes Par ailleurs le aux sas risque r a éé pris de maière à ce que le aux d escompe discre soi de 3,5 % Efi ous feros l hypohèse que Ω = [ ; ] [ ; ] so ierdies à l assureur, ce qui sigifie que les vees à découver 4 MFPE das la réglemeaio fraçaise Das u premier emps, ous allos ous iéresser à ce qui se passe das la réglemeaio fraçaise das laquelle le iveau miimal de fods propres e déped pas du choix de porefeuille e doc das laquelle le problème d opimisaio iègre pas, lorsque l o e cosidère qu ue période, la variabilié des flux de siisres 4 Bila iiial Das le cadre de la réglemeaio fraçaise, l assureur va doer ses provisios echiques e débu de période du moa L = E [ S ] + E[ S ] Le moa de ses fods propres E sera supposé êre égal à la marge de solvabilié E soi : E = 8% * ( + γ) E ( S + S ) Avec les modélisaios de siisres reeues supra, le passif de l assureur es doc déermié par L E = exp µ = E σ + =, 8 σ + exp µ + σ exp µ + + exp µ ( + γ) + σ () Avec les paramères sélecioés, le bila e de la sociéé es résumé das le ableau ifra BILAN (réglemeaio fraçaise) E = 4 4, E + L, = 4 4 L L = 5 = 5 4 Allocaio opimale ( ) Das le cadre de la réglemeaio fraçaise, o a vu que l allocaio =, es opimale au ses du crière de MFPE si es soluio du programme d opimisaio Ω [( A + ( ) A ) ] if E - 3 -

14 La proposiio suivae doe la codiio écessaire e suffisae pour que ce programme d opimisaio ai ue soluio o riviale 4 Proposiio 5 : Le programme o riviale if E [( A ) ] [ ] + ( ) A ; * ] [ ) ( ) ( ) si, e seuleme si, < µ < r + σ + λ exp σ exp σ ( ; adme ue uique soluio [ ] r Démosraio : Cee démosraio va s ariculer e deux éapes Das u premier emps ous allos déermier E [ A p ( ) pour ou réel p Ce résula ous permera d explicier ue ] codiio sur les paramères des modèles d acifs Eape : Soi, o a : ( µ, σ, σ, λ) r pour que ;, u N p σ p [ A ] p µ p B p U E ( ) = E exp + σ + k Les ermes k = aléaoires de l expoeielle so idépedas ce qui ramèe le calcul au produi de N E [ exp{ pσb }] e E exp p U k k = Pour ou, es ue v a de loi N ; doc > B ( ) p σ E [ exp{ pσb }] = exp Par ailleurs o a vu (cf la démosraio de la proposiio 4) que ( λ ) N + λ E exp p Uk = e E exp p Uk k= =! k= Comme les saus so gaussies e cerés, p σ E exp p U = u k exp k = e doc + N λ λ p σ E exp p U = u k e exp = exp λ exp p σu = k =! Ce qui perme d obeir p [ ] σ p σ E A ( ) = exp p µ + + λ[ exp( p σ ) ] u u * u ] [ ( ) { [ ( ) ] } Eape : La focio objecif das le cas réglemeaire fraçais s écri φ( ) = E ( e r + X ) avec X = A r () e O a doc φ [ ] ( ) = E X ( e r + X ) * [ ] 4 L expressio aalyique du miimum es e revache délicae à obeir e les calculs umériques sero meés par des echiques de simulaio - 4 -

15 e φ 3 [ ] r ( ) = E X ( e + X ) O e dédui rivialeme que la focio objecif es covexe : ( ) > φ φ r r µ r ( ) = e E ( X ) = e ( e e ) e φ r r () = E [ A ( A e )] = E[ A e ] E[ A ] Cee derière expressio se calcule à l aide du résula de l éape puisque Par ailleurs r σ [ ] = µ + 3σ + λ u σ E A e exp r e u e E [ A ] = exp{ µ + σ + λ( e ) } Ce qui ous perme d écrire φ σ σ () = exp r µ + 3σ + λ e u exp µ + σ + λ e u La focio φ es sriceme covexe sur [ ; ], elle aei doc u uique miimum sur φ φ ] ; [ si ( ) < e () >, i e si r < µ < r + σ + λ( exp{ σu } exp{ σu } ) O peu vérifier que les paramères ( µ, σ, σ, λ) soluio o riviale : r choisis e 4 so els qu il exise ue, u r µ < r + σ + λ [ exp( σ ) exp( σ ) ] u u, 344 <, 6, 9 Cee proposiio perme d éablir que si µ < r, l assureur cosacrera l iégralié de so porefeuille fiacier au bo de capialisaio E revache si ( exp{ σ } exp{ σ } ) µ > r + σ + λ u u, provisios echiques e fods propres sero exclusiveme ivesis das l acif risqué [ ] Le graphique suiva présee l évoluio de la quaié ( A + ( ) A ) de E e focio - 5 -

16 97,5% 97,% 96,5% 96,% 95,5% % % 4% 6% 8% % Fig 3 - Provisio écoomique exprimée e pourceage de la provisio réglemeaire e focio de Cee focio a u miimum o rivial pour =, 39 La sociéé maximisera doc ses fods propres écoomiques si elle place so acif iiial pour 39, % e acios 43 Probabilié de ruie Afi de mesurer le iveau de prudece associé à l allocaio fourie par le crière de MFPE, il es aurel de déermier la probabilié de ruie qui lui es associée Aussi ous allos ous iéresser à la probabilié que l assureur e puisse payer les presaios e fi de période Nous supposeros que la sociéé es e faillie e fi de période si S m ˆ > E + L A j j j= ( ) À chaque allocaio, il es possible d associer le iveau de probabilié de ruie par π() défii m π( ) = Pr S > ( E + L ) j A j () j= L expressio aalyique de π() es complexe, mais cee gradeur peu êre aiséme approchée umériqueme par des echiques de simulaio 5 Le graphique suiva repred l évoluio de la probabilié de ruie e focio de la par d acifs ivesie e acios 5 La méhode d obeio des réalisaios de S es décrie e aexe - 6 -

17 4% % % 8% 6% 4% % % % % 4% 6% 8% % Fig 4 - Probabilié de ruie e focio de Avec u iveau de fods propres iiial égal à la marge de solvabilié, la probabilié de ruie de l assureur e fi de période es miimale (,4 %) lorsqu il a placé ses provisios e ses fods propres pour 4,3 % e acios L allocaio opimale au ses du crière de MFPE (39, %) correspod qua à elle à ue probabilié de ruie de l ordre de 3,9 % 43 MFPE das u référeiel du ype Solvabilié Das la cadre d u référeiel de ype Solvabilié, comme le iveau miimal de fods propres déped de l allocaio d acifs, la mise e œuvre du crière MFPE passe,das u premier emps, par la mise e lumière de la relaio lia l allocaio e le capial cible ; puis par la déermiaio du couple capial cible / allocaio qui maximise le rappor ere les fods propres écoomiques e le capial cible 43 Bila iiial ~ ( i i ) [ ] i S = i x Φ σ Comme S LN µ, σ, i l x µ Pr e doc Va (, 75% ) exp µ + σ Φ (, 75) i i { } S () = i i Ce qui ous perme au passage de vérifier que si les charges siisres so disribuées selo des lois log-ormales, l uilisaio de la Va pour déermier le iveau des provisios es cohéree avec ue approche marke value margi qui cosiserai à predre exp{ σi Φ ( p) σi } comme coefficie de majoraio de l espérace E effe, la logormalié de la charge siisres perme d exprimer, par le biais d u coefficie e dépeda que de, la Va e focio de l espérace puisque σ i - 7 -

18 ( { σ } ) E[ S ] ( S, p) = + exp σ Φ ( p) Va i i i i (3) Comme = i= r ( S i, ) e L Va 75%, le iveau oal des provisios echiques es doé par { µ r + σ Φ (, 75) } = 48, , = exp i i =, i= L (4) O peu oer que la faible variabilié du risque S codui, das ce référeiel, à u iveau de provisios pour ce risque (48,55) iférieur à celui obeu das la réglemeaio fraçaise acuelle (5) La siuaio es iverse pour le risque S Au global, le chageme de référeiel prudeiel codui à augmeer les provisios echiques de 3,6 % E appelos que le iveau du capial cible déped des risques de passif comme des risques de placeme puisqu il es soluio du programme d opimisaio { Pr [ Λ E + L ] 99, %} if E 5, (5) qui adme ue uique soluio car la disribuio sous-jacee es absolume coiue Ce programme peu se réécrire S + S if E Pr A + ( ) A, 5% (6) E + L Comme ous avos supposé que l évoluio des acifs éai idépedae de la siisralié, o S + S s a Pr A + ( ) A = Pr A + ( ) A fs ( s) ds, où f S E + L E + L désige la desié de la v a S = S + S O a démoré (cf proposiio 4) que Pr A + ( ) A E s + L = + = l ρ Φ ( s) ( µ σ ) σ u + σ e λ λ, (7)! s r ρ s e E + L où ( ) = ( ) ( s) ( µ σ ) Comme + k l ρ λ λ Φ e fs( s) ds es pas simple à calculer, ous avos = σ + k! u σ choisi de résoudre umériqueme ce programme d opimisaio e simula des réalisaios de S = S + Pr Λ E + à parir de la moyee empirique des S puis e esima [ ] L - 8 -

19 + = ( s ) ( µ σ ) l ρ k λ λ Φ e où s k désige ue réalisaio de la variable aléaoire S σu + σ! La méhode d obeio des réalisaios de S es décrie e aexe E praique ous avos développé la somme jusqu à = 7 bie que le ciquième erme de la suie soi déjà égligeable deva la somme des précédes Cee méhode ous perme d obeir la courbe suivae qui représee le iveau du capial =, cible e focio de l allocaio sraégique ( ) % % 4% 6% 8% % Fig 5 - Capial cible e focio de la par ivesie e acios Cee focio a u miimum o rivial pour = 6,% avec u capial cible de 6,7 Pour cee allocaio, le passif de l assureur s élève à 67,4 core 4,4 das le cadre réglemeaire fraçais Le passif peu aeidre 368,99 pour u acif iégraleme composé d acios 43 Allocaio opimale Das u référeiel de ype Solvabilié, l allocaio ( ) crière de MFPE si es soluio du programme d opimisaio =, es opimale au ses du où φ ( ) = i= sup [,] { φ ( )} r ( exp { µ i r + σi Φ (, 75) } exp { µ i + σi } E ( A + ( ) e ) ) E, ( ) [ ] (8) (9) Les codiios du premier ordre de ce programme so délicaes à explicier du fai de la présece du erme au déomiaeur de la focio objecif Aussi ous avos cherché à E - 9 -

20 résoudre umériqueme ce problème qui, avec les paramères uilisés, possède ue uique soluio sur ] ;[ Pour ue allocaio = (, ) fixée, le moa du capial cible a éé déermié e 43 ; il rese doc à faire varier l allocaio opimale, puis à calculer pour chaque allocaio la valeur de la focio objecif Le graphique suiva repred l évoluio du rappor ere les fods propres écoomiques e le fods propres réglemeaires selo la par iiialeme ivesie e acif risqué A 5% % 5% % 5% % % 4% 6% 8% % Fig 6 - Graphe de ϕ O cosae que la focio objecif présee u maximum sur ] ; [ Si l assureur souhaie maximiser ses fods propres écoomiques, il devra composer so porefeuille fiaciers de 5,4 % d acios e débu de période Pour réaliser cee allocaio, les acioaires devro fourir u capial réglemeaire de 6,6 Pour cee allocaio e ce capial, la sociéé sera valorisée, sous l opéraeur espérace, à 75,7 La probabilié de ruie défiie e 4 es évidemme égale à,5 % puisque le capial cible a éé déermié de maière à corôler la ruie avec cee probabilié 44 Impac de la prise e compe des saus de l acif risqué Das u référeiel de ype Solvabilié das lequel le capial cible es focio du risque global de la compagie, la modélisaio des risques impace direceme les variables d iérês L obje de ce paragraphe es de mere e évidece l impac de la prise e compe des saus de l acif risqué par rappor au classique mouveme browie géomérique Pour cela ous avos déermié das la siuaio où σ u =, i e lorsqu il y a pas de sau, la relaio lia la par ivesie e acios e le iveau du capial cible - -

21 % % 4% 6% 8% % Fig 7 - Capial cible e focio de la par ivesie e acios lorsque σ u = Le iveau du capial cible es miimal lorsque l acif es iiialeme composé de 8 % d acios (core 6, % précédemme) X L évoluio du capial cible e focio de la par ivesie e acios perme de mesurer le risque global de la compagie puisqu il es déermié de maière à corôler la probabilié de ruie à,5 % Or pour ue même par ivesie e acios, le iveau du capial cible es sysémaiqueme iférieur lorsque l acio sui u mouveme browie géomérique que das le cas où so redeme évolue selo le processus de Lévy meioé e 4 La graphique suiva repred l évoluio du rappor ere le capial cible lorsque l o pred e compe les saus e le capial cible lorsqu ils e le so pas 6% 5% 4% 3% % % % 9% % % 4% 6% 8% % Fig 8 - appor ere le capial cible lorsque les saus so pris e compe e lorsqu ils e le so pas Ce rappor es évidemme égal à % lorsque le porefeuille es uiqueme composé du bo de capialisaio X e il aei plus de 5 % lorsque l iégralié des fods propres e des provisios so placés das l acif risqué L iroducio d u risque supplémeaire sur - -

22 l acif risqué a pour coséquece d augmeer cosidérableme le iveau du capial cible Ceci peu avoir ue grade coséquece das le cadre du proje Solvabilié puisque comme la variabilié des acifs es difficile à mesurer, l uilisaio par deux compagies d assurace de modèles d acifs revoya le même redeme espéré mais avec des volailiés différees peu coduire à ue disorsio des codiios de cocurrece par le biais de la déermiaio du capial cible 5% % 5% % % % 4% 6% 8% % Fig 9 - Graphe de ϕ lorsque σ u = Le crière de MFPE codui à ue allocaio opimale de,4 % d acif risqué core 5,4 % précédemme La prise e compe du risque supplémeaire modélisé par les saus du redeme de l acif risqué codui à revoir eeme à la baisse l allocaio opimale selo le crière de MFPE 5 Coclusio Das ce aricle ous avos préseé le crière de maximisaio des fods propres écoomiques qui cosise à composer so porefeuille fiacier de maière à maximiser le rappor ere l espérace de la valeur acualisée au aux de redeme du porefeuille fiacier des flux fuurs pour l acioaire e les fods propres réglemeaires Cee sraégie a éé adapée das le cas d ue sociéé d assurace o-vie soumise au droi fraçais puis das celui d ue même sociéé mais soumise à u référeiel prudeiel de ype Solvabilié das lequel le iveau des fods propres réglemeaires déermié par rappor au risque global que suppore la compagie Elle a éé esuie mise e œuvre pour ue sociéé couvra deux risques dépedas e deva effecuer so choix de porefeuille das u marché fiacier composé d u acif risqué do le redeme sui u processus de Lévy e d u bo de capialisaio sas risque Das u premier emps ous avos pu morer l impac sur les élémes du passif du chageme de référeiel prudeiel avec, das ore exemple, ue augmeaio des provisios echiques Esuie l allocaio opimale selo le crière de maximisaio des fods propres écoomiques a éé déermiée - -

23 Au fial le crière proposé es séduisa car il se fode sur u crière objecif qui e requier pas la déermiaio d u paramère «subjecif» el que le iveau d ue probabilié de ruie par exemple Par ailleurs, ous meos e évidece le fai que das ue approche de ype «solvabilié» le choix du modèle d acif peu impacer de maière r-s sesible le iveau du capial écoomique ; e pariculier, les résulas obeus doe à peser que, das ue approche prudee, il covie d iégrer les évoluios discoiues de l acif, celles-ci aya oues choses égales par ailleurs u impac for sur le iveau du capial Ce poi pariculier fai acuelleme l obje de ravaux Aexe : Simulaio des réalisaios de la charge siisres Les réalisaios de la charge siisres S o éé obeues par les echiques de Moe Carlo, à parir de la méhode des disribuios codiioelles qui perme de simuler des v a do la dépedaces es modélisée par ue copule Cee méhode des disribuios codiioelles cosise à simuler 6 idépedamme deux réalisaios de v a de loi uiforme sur ; puis d uiliser la rasformaio suivae : v, [ ] v u = v u = C u ( v ) C C u u = Pr F ( S) u F ( S) = u = C u, u u où ( ) [ ] ( ) Das le cas de la copule de Frack uilisée das ce ravail, cee derière expressio se calcule aalyiqueme : ( u ) exp( αu )( exp( αu ) ) ( α) + ( exp( αu ) )( exp( αu ) ) C u = exp De plus cee focio s iverse aalyiqueme puisque : C u ( u ) ( exp( α) ) u ( u ) exp( αu ) = l + α u + Efi la charge oale de siisres simulée es obeue par s ( u ) + F ( ) u = F 6 Pour les illusraios umériques, les simulaios de réalisaios de va o éé obeues à parir du gééraeur du ore mélagé préseé das PLANCHET e THÉOND [4a] - 3 -

24 Bibliographie AAI [4] A global framework for isurer solvecy assessme wwwacuairesorg ATZNE PH, DELBAEN F, EBE JM, HEATH D [999] «Cohere measures of risk», Mahemaical Fiace 9, 3-8 COMMISSION EUOPÉENNE [3] «Cocepio d u fuur sysème de corôle prudeiel applicable das l Uio européee ecommadaio des services de la Commissio», MAKT/59/3 COMMISSION EUOPÉENNE [4] «Solvecy II Orgaisaio of work, discussio o pillar I work areas ad suggesios of furher work o pillar II for CEIOPS», MAKT/543/3 DHAENE J, VANDUFFEL S, TANG QH, GOOVAETS M, KAAS, VYNCKE D [4] «Solvecy capial, risk measures ad comoooiciy: a review», esearch epor O 46, Deparme of Applied Ecoomics, KULeuve DHAENE J, VANDUFFEL S, GOOVAETS M, KAAS, VYNCKE D [5] «Comoooic approximaios for opimal porfolio selecio problems», Joural of isk ad Isurace 7, DJEHICHE B, HÖFELT P [5] «Sadard approaches o asse & liabiliy risk», Scadiavia Acuarial Joural 5, 5, METON C [976] «Opio pricig whe uderlyig sock reurs are discoiuous», Joural of Fiacial Ecoomics 3, 5-44 PLANCHET F, THÉOND PE, JACQUEMIN J [5] Modèles fiaciers e assurace Aalyses de risque dyamiques, Paris : Ecoomica PLANCHET F, THÉOND PE [4a] «Simulaio de rajecoires de processus coius», Belgia Acuarial Bullei 5, -3 PLANCHET F, THÉOND PE [4b] «Allocaio d acifs d u régime de rees e cours de service», Proceedigs of he 4 h AFI Colloquium, -34 AMEZANI CA, ZENG Y [998] «Maximum likelihood esimaio of asymmeric jumpdiffusio processes: applicaio o securiy prices», Workig paper - 4 -