EVALUATION DE L OPTION DE RACHAT ANTICIPE DANS LES CONTRATS D ASSURANCE-VIE. Première version mars Version actuelle février 1997

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1 AFFI JUIN 997 EVALUATION DE L OPTION DE RACHAT ANTICIPE DANS LES CONTRATS D ASSURANCE-VIE Taoufik CHERIF Isabelle PRAS 2 Première version mars 996 Version acuelle février 997 Résumé L obje de ce aricle es de présener une méhode de valorisaion des opions de Racha Anicipé de conras d assurance-vie dans le cadre d un modèle de diffusion de la courbe des aux du ype Heah, Jarrow & Moron. Ces opions cachées son valorisées comme des différences de flux enre les engagemens financiers de l assureur vis-à-vis de l assuré e les performances des marchés financiers en enan compe d une par des niveaux de aux, e d aure par de la spécificié du comporemen des personnes physiques. La méhode de diffusion uilisée es du ype Richken & Sankarasubramanian avec un modèle HJM à deux variables d éa markoviennes. Ces opions de gesion peuven êre couveres par des opions de marché, du ype opions européennes à barrières acivanes up and in en aux. Produis Srucurés CDC-Marchés 56, rue de Lille Paris 7 SP. 2 CEREG. Universié Paris IX-Dauphine Place du Maréchal de Lare de Tassigny Paris. Pras@eud.dauphine.fr

2 AFFI JUIN 997 Inroducion Le risque de racha anicipé a éé longemps associé au seul risque de crédi hypohécaire. Ce risque es indui par la possibilié laissée au pariculier d exercer un droi de racha de son conra. Ce pariculier déien donc une opion de racha. Le développemen des Morgage Backed Securiies aux Eas-Unis a suscié une liéraure abondane dans ce domaine. Schwarz e Torous ( ) proposen des modèles d évaluaion du risque de racha par des foncions de hasard. Mais ces foncions reposen sur un modèle de diffusion de l immobilier, considéré comme un produi de marché. D Andria, Boulier, Elie (99) e Saada (99) définissen l opion de racha anicipé comme l écar enre un échéancier avec e sans racha anicipé. Les premiers inroduisen une noion de viesse de remboursemen. Saada, comme Gourieroux e Fracho (992) proposen des modélisaion de la durée de vie des conras. Dans une aure approche, Fabozzi (992) défini les principaux faceurs affecan le comporemen de l invesisseur e expliquan la décision de racha anicipé. Ces faceurs peuven êre modélisés à parir de données exisanes par une approche économérique classique -Choi (994)-, non linéaire ou par des maxima de vraisemblance -Gagey, Tacho (99). Les opions de racha anicipé son égalemen présenes dans les conras d assurance-vie. Ces opions cachées, généralemen insuffisammen prises en compe dans la valorisaion des produis d assurance-vie, peuven consiuer un risque significaif en cas de décalage imporan des condiions de marché par rappor à celles prévalan à la dae de consiuion du porefeuille. Les sories anicipées ne seraien, bien enendu, pas rop préjudiciables, si les souscripeurs racheaien leurs conras aux condiions de marché du momen, ou s ils éaien obligés de payer une pénalié de sorie anicipée suffisane. Mais ceci es de moins en moins souven le cas. En effe, la concurrence accrue sur ous les seceurs du marché de l épargne, ainsi que des cliens pariculiers de plus en plus informés e exigeans, poussen souven les assureurs, d une par à garanir des rendemens élevés, y compris en cas de sorie anicipée, e d aure par à baisser les pénaliés habiuellemen dues par le clien dans de els cas, jusqu à les annuler complèemen pour cerains produis. Des rendemens garanis élevés, ainsi que des pénaliés de sorie anicipée peu coûeuses pour le clien ou simplemen inexisanes, auxquels on peu ajouer la fore volailié des marchés e les faibles niveaux des aux acuels, son auan de faceurs de risque pour les compagnies d assurance qui voien leurs marges de manoeuvre e leurs réserves se rérécir au fil du emps. Tous ces élémens expliquen que la valorisaion e la couverure des opions cachées dans les produis commercialisés deviennen une nécessié. Albizzai, Geman (995) propose la valorisaion d un conra d assurance-vie avec une foncion de racha anicipé e en enan compe de l impac fiscal. Cee foncion de racha es calquée sur les données américaines. L acif de référence es le zéro-coupon. La résoluion de l opion es de la forme Black e Scholes (973). Nous nous proposons d inégrer en plus la clause de aux garani, pénaliés e prélèvemen annuels de l assureur. Les acifs de référence son l obligaion acheée à la souscripion du conra par l assuré e les zéro-coupon d échéance le erme du conra, soi ici ans. Nous simulons les compes de résula e bilan compable d un porefeuille fermé. Nous évaluons 3 par des méhodes compables les revenus disribués à l assuré. Nous pouvons définir deux noions. La première es celle de l échéancier qui es la posiion financière de la sociéé sur ce porefeuille fermé jusqu au erme du conra, à oue dae, compe enu des rachas déjà connus en. La seconde noion es la valeur de l opion de racha anicipé qui es la valorisaion de l écar enre les valeurs financières e compables, les valeurs éan équilibrées au erme du conra. La foncion de comporemen a éé esimée à parir de données françaises de 99 à 994. Elle inègre des faceurs de sensibilié au niveau des aux. Sur la période d éude la courbe des aux éan 3 Les aueurs remercien Lauren DUBIEN (CDC New York) e Nahalie CAILLAT (CDC-Marchés e Universié Paris VI) pour leur paricipaion acive dans l implémenaion des modèles de pricing concernés par ce papier. 2

3 AFFI JUIN 997 inversée, le rendemen des produis d assurance-vie éai courammen comparé aux SICAV monéaires. Nous avons donc inégré un faceur dépendan du pibor mois. Les simulaions de aux suiven le modèle Richken e Sankarasubramanian (995) avec une volailié déerminise, soi le modèle de Hull e Whie. Cee opion de gesion doi êre couvere par une opion de marché. Son pay-off doi financer la pere induie par le racha anicipé imprévisible, ici l effe lié au niveau des aux. Ces opions de marché son donc des opions européennes à barrières acivanes en aux up and in. Leurs prix on éé calculés par le modèle de Richken e Sankarasubramanian (995) en enan compe d un effe smile sur les différens niveaux de srikes considérés. Dans une première parie, nous expliquerons le conexe spécifique au méier de l assureur. Nous proposerons ensuie une modélisaion de l échéancier de l assureur e de l opion de racha anicipé, puis le modèle mahémaique reenu. Dans une quarième parie, nous explicierons la modélisaion de la foncion de comporemen. Enfin nous évaluerons l échéancier, l opion de gesion de racha e l opion de marché. Quelques noions sur les produis d assurance-vie. Le cadre réglemenaire Un conra d assurance-vie es un produi d horizon long erme, au moins hui ans, qui rémunère l appor du pariculier avec un aux minimum garani. Le pariculier peu oper pour différenes formes de versemen : prime périodique ou unique. Il a le droi de récupérer son dû (mise iniiale e inérês) -i.e racheer le conra- avan le erme iniialemen prévu. De plus, le conra d assurance-vie confère une fiscalié inéressane à l épargne de l assuré (hormis les avanages des successions). Les primes versées peuven sous ceraines condiions êre déducibles de l impô sur le revenu. Les inérês perçus son pleinemen imposables au aux de 4.9% (35% +% de conribuion sociale + % de prélèvemen social + 3.4% de CSG +.5% de CRDS), si le racha du conra a lieu avan son quarième anniversaire. Ils son imposables au aux de 2.9% (5% +% de conribuion sociale + % de prélèvemen social + 3.4% de CSG +.5% CRDS) enre le quarième e le huiième anniversaire e ne son ampués que du RDS (.5%) au-delà de la huiième année. Depuis le //997, les revenus des conras d assurance-vie en francs son redevables de la CSG e du CRDS à chaque dae d appréciaion de la valeur capialisée. Le conra peu comporer des clauses pariculières, elles que les versemens d une prime supplémenaire à une dae d anniversaire prédéerminée. L assureur perçoi les primes des pariculiers e les place sur les marchés financiers avec un horizon long erme. Le placemen de ces primes se fai dans le cadre de règles prudenielles précises. La loi règlemene la diversificaion des produis consiuan le porefeuille de l assureur (proporion d acions dans les placemens < 65%, proporion de l immobilier< 4%, proporion de prês < %) e des émeeurs (un émeeur ne peu représener plus de 5% du monan des acifs souscris e un immeuble plus de % de la valeur du parc immobilier). Au niveau des conras, l assureur prend des engagemens vis-à-vis des assurés. Ainsi, chaque année l assureur reiendra un aux de valorisaion des conras qui es le maximum enre le aux garani inscri dans le conra e le rendemen corrigé des acifs. Concernan le calcul de ce rendemen, on peu faire les rois remarques suivanes : 3

4 AFFI JUIN 997 Le aux de référence peu êre celui des obligaions uniquemen (le plus souven des OAT ou des obligaions privées à aux fixe) ou celui de l acif général (aux combiné des acions, immeubles, obligaions e prês). Le aux de rendemen reenu es un aux compable. Il prend en compe les plus-values réalisées, les rendemens perçus comme les coupons, dividendes, inérês e loyers. Son évoluion es lissée. Le aux es corrigé pour prendre en compe les frais d inermédiaion e les bénéfices de la compagnie d assurance. Au niveau global, l assureur doi disribuer légalemen chaque année au minimum 85% de ses bénéfices aux assurés. Cee paricipaion aux bénéfices es réparie assez libremen enre les différens ypes de conras e la disribuion peu êre différée pendan cinq années..2 Le risque de l assureur Dans la gesion de son acivié, l assureur fai face à deux risques (non indépendans) majeurs: L évoluion des aux, Les rachas de conras par les pariculiers. En effe, en cas de baisse des aux, le rendemen des acifs, qui es souven majoriairemen des obligaions, es plus faible. Pouran l assureur doi verser des aux garanis minimaux qui peuven êre élevés, provenan de conras anciens signés en période de aux élevés. Les frais de gesion, qui son esseniellemen des frais fixes, deviennen alors relaivemen lourds à porer, dans la mesure où ils son en parie couvers par les rendemens des acifs. La marge de l assureur end à se réduire. En cas de hausse des aux, l assureur pourra honorer aisémen les aux garanis dans les conras en cours. Mais l assuré peu-êre ené de dénoncer (racheer) son conra pour invesir dans un produi plus rémunéraeur son appor iniial augmené des inérês perçus. Ce phénomène de racha es accéléré d une par par l inérê des agens à faire signer de nouveaux conras, e d aure par par l inensificaion de la concurrence dans le seceur de l assurance ; l arrivée de nouveaux enrans comme les banques suscie des poliiques commerciales oujours plus agressives basées sur des produis aux rendemens plus aracifs pour le pariculier. Le racha anicipé es donc un risque imporan pour l assureur. La difficulé d évaluaion de ce risque es que l assuré ne l exerce pas raionnellemen par rappor aux condiions de marché. L assuré «rachèe» son conra en cas de décès, sories dies naurelles, ou de problèmes de liquidié. Dès lors il sorira même si cela ne lui es pas favorable. Les sories anicipées peuven amener l assureur à vendre des acifs pour rembourser le capial e verser les inérês à un momen inopporun sur le marché financier, par exemple lorsque les plus-values poenielles son faibles. En cas de sories favorables pour l assuré, la sociéé d assurance se fragilisera si elle n a pas incorporé ce risque dans ces coûs en puisan dans ses réserves e en s empêchan d en consiuer pour des périodes moins renables. Compe enu de la siuaion presque à maurié du seceur, il devien difficile pour les compagnies d assurance de rembourser les sories de conras par la simple renrée d argen que consiuen les nouveaux enrans. 4

5 AFFI JUIN Modélisaion de l opion de Racha Anicipé Nous allons ou d abord présener la modélisaion héorique de l échéancier de l assureur puis de l opion de racha anicipé. Cee modélisaion permera dans une seconde éape de valoriser cee opion e de déerminer une opion de marché, don les cash-flows couvren ceux de l opion réelle. 2. Les hypohèses reenues Nous nous plaçons dans le cadre d un conra d assurance-vie à prime à versemen unique, avec un aux minimum garani. Les condiions propres aux conras resen générales pour permere d adaper le modèle à chaque ype de conras de cee famille exisan sur le marché français. Le conra es adossé à un acif de ype obligaaire. Le aux de capialisaion pour l année i es donc le maximum enre le aux obligaaire du porefeuille de la sociéé corrigé, réalisé au cours de l année i- e le aux garani. Ce aux garani es souven le aux du Livre A de la Caisse d Epargne. Il peu êre égalemen un pourcenage du TME. Ici nous supposerons que le aux garani es celui du Livre A. Les aux de référence son en décalage d un an, car le aux de capialisaion es un aux compable. Il es donc en vigueur à parir du premier janvier de l année i. Toue personne soran enre deux daes d anniversaire (i e i+) verra son conra racheé à la valeur calculée à la dae d anniversaire i. Nous considérons que le porefeuille des compagnies d assurance es représenaif de l ensemble des produis du marché obligaaire. Ceci es vrai compe enu des sommes invesies par les assureurs sur le marché des OAT. Nous ne iendrons pas compe de l avanage fiscal de la déducion d impô sur le revenu. Ce avanage es difficilemen quanifiable compe enu de la diversié des revenus des souscripeurs. 2.2 L échéancier Le risque pour l assureur es l écar enre le ableau de flux iniialemen prévu lors de la souscripion du conra e l échéancier affecé par les sories anicipées effecivemen consaées. L argen dû aux assurés es provisionné chaque année. Le porefeuille correspondan, sur lequel es adossé le conra, n es pas gelé. L acif correspondan aux sommes provisionnées es oujours invesi par l assureur pour son propre compe. Un risque es donc l écar enre la somme versée à l assuré e l argen gagné sur les marchés financiers. En effe, en cas de vene après une hausse des aux, l acif d adossemen, les obligaions du porefeuille acheées avec l argen déposé par l assuré, ne suffi pas à rembourser le monan dû. L assureur peu donc soi vendre plus d obligaion, au risque de désadosser les conras resans; soi empruner de l argen sur le marché. Nous nous resreindrons à la deuxième possibilié, le choix relève d une décision de gesion. La variable aléaoire de sorie du conra à chaque insan es dépendane de la maurié résiduelle du conra (noée M), de la fiscalié qui indui un sau dans le comporemen (noée fsc), du spread de aux enre le aux de référence, par exemple celui des SICAV monéaires, e le aux servi par le conra (noé 5

6 AFFI JUIN 997 sp). Cee variable aléaoire es un processus noé F i (Sp, M, fsc) pour ou individu i. La foncion de représenaion du comporemen de l ensemble des individus es noée F, pour oue dae. Deux cas de figures se présenen pour l assureur : Le conra n es pas racheé par anicipaion, l assureur devra la somme capialisée à l échéance T. Il recevra chaque année les flux de l obligaion dans lequel il a invesi l argen de l assuré e à l échéance la valeur de l obligaion. Si le conra es racheé en k, l assureur devra la somme capialisée en k. L assureur invesi ous les coupons de l OAT, il n a pas de liquidiés. Il doi donc se financer sur le marché. Déerminons la valeur de l échéancier en k, On défini les noaions suivanes : K le versemen iniial de l assuré TG le aux garani par le conra Tauxservi(j) le aux servi pour l année j, il es déerminé à parir du aux de référence calculé pour l année j (ici celui de l OAT ans) Tauxservi(j)= T pb aux de référencej - µ. Les aux ainsi définis son des aux discres. T pb le aux de paricipaion aux bénéfices µ la par des frais reenus sur les performances compables pour couvrir les frais. T pb e µ son fixés dans le conra. (-x) la par nee de l assuré invesie dans les acifs financiers B(,i) la valeur d un zéro-coupon en o donnan franc en i τ le coupon de l obligaion émise e acheée en = de maurié ans. FF(G) les frais de gesion mensuels du conra FF(S) les frais de gesions spécifiques lors de la sorie de l assuré La discréisaion du emps es faie avec un pas mensuel ( à 2). L échéancier avec RA : - L ensemble des sories anicipées jusqu à la dae k : les sommes dues son emprunées sur le marché jusqu à maurié du conra. La somme due par l assureur à l échéance du conra es k = f ( x) K ( + max( TG, Tauxservi( j))) k 2 j= B(, ) 2 avec f représenan les sories pour le mois par rappor au nombre de conras souscris iniialemen. [k/2] es le nombre d années pleines avan la dae k 6

7 AFFI JUIN 997 La valeur capialisée peu êre reversée seulemen en parie pour pénaliser les sories anicipées rop proche de la souscripion. Tou racha se fai à la valeur du conra à la dernière dae d anniversaire. - La somme due par l assureur au ire des conras resans à l échéance, en supposan que les assurés non soris en dae k reseron jusqu à la fin de leur conra, es : k ( f )( x) K ( + max( TG, Tauxservi( j))) = j= - La proporion α d OAT acheée en k= α = j= ( xk ) B(, j) τ + B(, ) où B(, j) τ + B(, ) représene le prix de marché de l OAT en =. On suppose que l OAT paie son j= premier coupon une année pleine après le démarrage du conra. - La valeur de l acif en k correspond aux coupons déjà ombés de l OAT que l on capialise e les coupons fuurs capialisés e acualisés en k k 2 Bk (, ) τ { + B( j, ) j= Bk (, ) τ + Bk (, ) } B( j, ) k+ j= [ ] 2 - La couverure des frais impués en compabilié analyique (chargemens) aux conras. Cee couverure es réalisée par des empruns sur le marché, la somme due par l assureur à ce ire à oue dae k, compe enu des rachas anicipés enregisrés jusqu en k es donnée par : k i i= = fffs () + ( f) FFG ( ) k 9 FF( G) Bk (, ) + ( fi )[ i k B B + FF( S)] B( k, ) > = = (, 2 ) (, 2 ) Cee couverure des frais perme d évaluer le T pb e µ opimaux pour le conra. La valeur de l échéancier pour le mois k es donnée par la différence enre l acif e le passif de l assureur : 7

8 AFFI JUIN 997 k 2 τ Bk (, ) E (k) = α{ + B( j, ) j= k 2 Bk (, ) τ + Bk (, ) } B( j, ) k+ j= [ ] 2 f ( x) K TG Tauxservi j k ( + max(, ( ))) j= - B B(k,) = (, ) 2 k - ( f )( x) K ( + max( TG, Tauxservi( j))) B(k,) = j= - k i i= = fffs () + ( f) FFG ( ) k 9 FF( G) Bk (, ) + ( fi )[ i k B B + FF( S)] B( k, ) = = (, 2 ) (, 2 ) La valeur de ce échéancier s ajuse au fur e à mesure des rachas anicipés réalisés. Elle reflèe à oue dae k la valeur financière globale, jusqu au erme de l assureur enre ce qui es dû e ce qui es valorisé sur les marchés financiers, en enan compe des sories effecives connues en k. La VAN de l échéancier à l insan k, exprimée en numéraire de la dae de dépar es donc : k E Q [ exp(- r. d) E(k) ] où Q es la probabilié risque-neure sous laquelle les prix acualisés son maringales. 2.3 L opion de racha héorique L assureur observe le coû lié aux nombres de conras racheés, f pour ou mois, e parallèlemen consae la valeur de marché de la proporion d acif équivalene aux sories (f valeur de l acif d adossemen). Nore propos n es pas de calculer un risque inhéren à une prévision erronée des frais (décalage enre le calcul modélisé par le conrôle de gesion e le prélèvemen des conras) ou inhéren à la renabilié aendue par les acionnaires (décalage enre les % des rendemens compables effecivemen prélevés e le rendemen exigé). L acif d adossemen en permean de calculer le seul risque de racha es donc l OAT de la souscripion en valeur financière en ainsi que les revenus déjà perçus en valeur financière sous la forme T pb revenus - µ. Ce risque de racha es donc indui par le décalage enre l acif e le passif e nécessie une couverure de forme opionnelle couvran l écar consaé mensuellemen lorsque le passif es supérieur à l acif. Il es assimilable à un risque de conreparie financière. Le cash-flow de cee opion, pour le mois, es donné par : 8

9 AFFI JUIN 997 Cash-flows = Max(valeur capialisée à payer - f acif d adossemen ; ) avec f la par d assuré soran par rappor aux nombres de conras iniiaux. La valeur capialisée es le monan de provisions mahémaiques dû à l assuré à la dae de racha du conra : f ( x) K ( + max( TG, Tauxservi( j))) D j= Le prix en = de l opion européenne d échéance es donc k O k = E Q [exp(- ru. du) Cash-flow k ] Le prix de l opion (du ype cap) es la somme des opions européennes mensuelles : O T = 2 O = pour un conra de ans. 3 Le modèle mahémaique Pour développer l évaluaion de ces opions, nous avons choisi un modèle de aux du ype Heah, Jarrow e Moron (992). Dans ce modèle, la courbe des aux zéro-coupon de la dae du calcul es une donnée du marché que l on diffuse, en supposan par exemple que les aux spo forwards f,t suiven des processus d Iô du ype : df T, = µ f(, T) d + σ f(, T) dw f, T donné pour ou T () où le drif µ f (,T) e la foncion volailié σ f (,T) on une forme assez générale e peuven par exemple dépendre des niveaux de aux. (W ) es un processus de Wiener sandard, sous la probabilié neure au risque Q. On rappelle que le aux spo forward f,t en de maurié T, es défini par : f T, = - T Log B(,T) où B(,T) es le prix en de franc payé en T. Le aux spo sans risque es alors donné par r = f T,. L inégraion de l équaion précédene donne : 9

10 AFFI JUIN 997 f T, = f, T + µ f ( utdu, ) + σ f ( utdw, ) u Le prix zéro-coupon B(,T) éan défini par B(,T) = exp f ds s,, la réécriure de cee relaion sous la forme ln (B(,T)) = f e l applicaion du lemme d Iô nous perme facilemen d écrire, sous la probabilié Q, l équaion suivane : T T s, ds db(,t) B(,T) T = fd + (, T ) 2 σ B d ( µ (, f T ) du ) d ( σ (, f u ) du ) dw, 2 T Comme par ailleurs, on a r = f, e la diffusion suivane, sous Q, pour B(,T) db(,t) B(,T) = rd+σ (, T) dw B par idenificaion, on en dédui σ B T (, T) = σ f (, udu ) e 2 σ B(, T) = 2 µ f (, udu ) T Le drif µ f (,T) du aux spo forward dans l équaion () es alors donné par : L équaion () es alors équivalene à µ f (,T) = - σ f (,T) σ B (,T) Le prix du zéro-coupon B(,T) es donc donné par df T, = - σ f (,T) σ B (,T) d + σ f (,T) dw

11 AFFI JUIN 997 T T T B(,T) = exp f du, exp ( u, s ) ( u, s ) duds ( u, s ) dsdw u σ f σ B σ f u o ce qui es équivalen à l écriure suivane donnée dans Heah, Jarrow e Moron (992) : B(,T) = B(,T) T T B(, ) exp σ (, ) σ (, ) σ (, ) f u s B u s duds f u s dsdwu o Comme signalée par les aueurs (992), cee équaion es différene de ce que la liéraure présene le plus souven concernan les modèles de aux. En effe, dans plusieurs modèles, on suppose a priori l exisence de variables d éa markoviennes, e la diffusion de la courbe des aux s obien alors par la diffusion de ces variables. Dans le modèle de Heah, Jarrow e Moron, la courbe des prix zéro-coupon B(,T) dépend du chemin (pah-dependen) suivi de la dae de calcul = e l insan. Dans un conexe de volailié sochasique, l évoluion des aux d inérê n es pas markovienne. Richken e Sankarasubramanian (995) proposen une condiion nécessaire e suffisane pour avoir un modèle markovien à deux variables d éa. Ils définissen l évoluion du aux spo e l évoluion d une mesure de la mémoire. En reprenan l équaion du aux forward f T, - f, T - σ f ( ut, ) σ B( utdu, ) = σ f ( utdw, ) u = Λ( T, ) Λ(, T ) reflèe la dépendance au chemin suivi. C es une mesure qui inègre oues les perurbaions du brownien (W ) depuis l origine =. Cee dépendance au chemin suivi peu êre exprimée par une saisique unique commune à oues les mauriés, sans hypohèse supplémenaire, inroduisan un sysème de pondéraion unique pour oues les mauriés. Touefois, pour que ce sysème de pondéraion unique exise, il fau que la foncion de pondéraion soi indépendane de, on obien dès lors Ce qui peu aussi s écrire comme σ f ( ut, ) = σ ( xtdx, ) f σ σ f f ( u, ) ( xdx, ) σ f (u,t) = σ f (u,) K(,T) avec K(,T) une foncion déerminise du emps. On remarque que K(u,T)=K(u,) K(,T). En inroduisan g(,t) = lnk(,t), on peu donc écrire g(u,t)=g(u,)+g(,t). Alors par différeniaion en T, gut (, ) gt (, ) =. T T

12 AFFI JUIN 997 Posons k(t)= gut (, ) T T T gux (, ) e par définiion g(u,t)-g(u,u) = dx = k( x) dx x. Alors K(u,T) = exp (- k( x) dx). T u u u Ainsi, si les volailiés des aux forward son différeniables à leurs daes de maurié, alors la volailié peu s écrire σ f (,T) = σ r (,T) exp (- k( x) dx). Le prix d un zéro-coupon peu alors s écrire sous la forme B(,T) = B(,T) B(, ) exp 2 (, ) () + (, )( (,) ()) β Tφ β T f r 2 T T avec β(,t) = exp( k ( x) dx) du u = 2 φ() σ (,) s ds f Ainsi apparaissen les deux processus : le aux spo r() e le faceur φ() [variance cumulée en ], comme variables d éa pour les déformaions fuures de la courbe des aux. Un exemple d une large classe de modèles vérifian ce qui précède peu êre donné par les modèles don la volailié du aux spo σ r ()= σ f (,) es définie par une expression du ype σ(r()) γ. Le modèle de aux markovien avec volailié sochasique sera obenu par la diffusion des deux processus : dr() = µ r () d + σ r () dw dφ() = [σ 2 r() - 2k() φ()] d avec µ r () = κ() [f(,)-r()] + φ () + σ r () λ() + d d f (, ) e σ r () = σ(r()) γ Le modèle proposé es un modèle qui perme de générer plusieurs modèles classiques. En posan l exposan de la volailié égal à, on rerouve le modèle proposé par Hull e Whie. En posan ce 2

13 AFFI JUIN 997 exposan égal à.5, on rerouve un modèle de Cox, Ingersoll e Ross. Avec une valeur de, on rerouve le modèle de Couradon. 4 La foncion de comporemen Nous avons reenu des rachas sur la période Nous avons considéré le nombre de conras soris sur le nombre de conras resans. Cee définiion du aux de racha perme d évier les aberraions de modélisaion avec des rachas dépassan % du porefeuille iniial. Les aux son annualisés. Présenons graphiquemen le aux de racha par maurié du conra : Racha selon l'âge du conra e avec le sau fiscal la 6ième année 4 2 en % Toal âge du conra Cee présenaion des données observées perme de mere en évidence un effe âge du conra e fiscalié. Les principaux déerminans de la foncion de comporemen son : - le sau fiscal : la période doi êre découpée par période fiscale. Les données obenues son anérieures à 994, la fiscalié appliquée éai alors une imposiion jusqu au sixième anniversaire e une exonéraion au-delà. Il convien donc de différencier -6 ans (imposiion pleine) e +6 ans (exonéraion oale). - l effe âge : Pour ous les porefeuilles, l effe emps a un impac similaire. Pour la première période fiscale, l effe emps se défini par une parabole : peu de gens rachèen en débu de conra, le racha progresse puis diminue à l approche du sau fiscal, puisque chacun a inérê à aendre le sixième anniversaire. Le graphique présenan le aux de racha ou au long des six premières années de la vie du porefeuille créé en 99 perme de visualiser ce effe. 3

14 AFFI JUIN 997 Régression par rappor à la maurié (-6ans) 3,5% 3,% 2,5% 2,%,5%,% 99 Polynomial (99),5%,% -,5% Nous reenons une valeur moyenne des paramères calculés pour ous les porefeuilles par régression. Pour la seconde période fiscale, le racha se défini comme une exponenielle décroissane, après l aene d une meilleure fiscalié, les assurés aenden l absence de fiscalié. Le graphique présenan le aux de racha après les six premières années de la vie du porefeuille créé en 986 perme de visualiser ce effe ans 2,% 5,%,% 5,%,% /5/ 992 /9/ 992 // 993 /5/ 993 /9/ 993 // 994 /5/ 994 /9/ 994 // 995 /5/ 995 /9/ 995 Nous reenons aussi une valeur moyenne des paramères obenus pour ous les porefeuilles par régression. années Ax²+Bx+C a exp(bx) A B C a b 985,77 -,66 986,436 -, ,3 -,24 988,278 -,32 Moyenne,2755 -, ,,73 -, ,5,39 -, ,6,38 -,55 Moyenne -,7,5 -,35 4

15 AFFI JUIN la saisonnalié : La mise en parallèle des évoluions des aux de racha inra-annuels perme de révéler des comporemen saisonniers de racha. racha moyen par mois de l'année civile %,2,,8,6,4, mois civils Moyenne L éude de la saisonnalié sur plusieurs porefeuilles perme de reenir les effes saisonniers moyens mensuels. Les coefficiens reenus son : Janvier Février Mars Avril Mai Juin Moyenne par mois,7894,648874,776975,649668,639578, Moyenne,67262,67262,67262,67262,67262,67262 Dispersion 6,99% -3,34% 6,92% -3,22% -4,72% 3,34% Juille Aoû Sepembre Ocobre Novembre Décembre, ,432567,67588,755298,78638, ,67262,67262,67262,67262,67262,67262,83% -35,56% -9,49% 5,% 4,56% 7,59% - l effe des aux : l évoluion de cerains aux qui son une référence pour l assuré provoquen des variaions de comporemen de racha. Sur la période considérée, le aux de référence éai le aux des SICAV monéaires. Un aux cour erme sera reenu, en comparaison avec le aux ype du conra d assurance-vie (écar enre le Pibor mois e le Taux ans). Le niveau des aux ans seul es aussi un faceur imporan puisqu il condiionne le rendemen de ce ype de produi. Les ess économériques permeen de choisir une combinaison linéaire de ces deux ypes de aux qui s ajoue à l effe emps, de la forme α (Pibor-Taux Long) + +β Taux Long +Χ. Il es imporan de noer que la période correspondane aux données es spécifique avec une courbe des aux inversée e une décroissance des aux longs. De ce fai la comparaison Pibor e Taux Long e la régression avec un niveau de aux long absolu son pariculières à la période d observaion. Variables Pibor mois- Taux ans Taux ans Consane Paramères α=.69 β=.64 χ=-.2 5

16 AFFI JUIN 997 Un aux de racha mensuel a éé défini comme le rappor enre le nombre de conras racheés duran un mois e le nombre de conras resans dans le porefeuille au débu du mois considéré. Les paramères des faceurs on éé esimés à parir des aux de racha mensuels annualisés de 99 à 995 des conras souscris de 985 à 994, par régression en cherchan à minimiser l écar quadraique moyen. Nous obenons les foncions de comporemen suivanes : Pour la première période fiscale ([-.7² ]. Coeffmens + [.69 (Pibor - Taux long) Taux long -.2]) + Pour la seconde période fiscale ([.2755.exp(-.229 )]. Coeffmens +[.69 (Pibor - Taux long) Taux long -.2]) + Les foncions de comporemen reconsiuées son comparées aux sories consaées pour les porefeuilles de 986 e ,% 6,% 4,% en % annuel 2,%,% 8,% 6,% RA réél RA reconsiué 4,% 2,%,% ,% 4,% 2,%,% 8,% 6,% RA réél R A reconsiué 4,% 2,%,%

17 AFFI JUIN 997 Les écars consaés peuven provenir d un décalage de réacion, les assurés ne réagissan pas ous au même momen. Il exise aussi une parie des rachas dis non raionnels qu il es difficile de prendre en compe, hormis ceux inclus dans les effes saisonniers (niveau de confiance des ménages, besoin de liquidié pour raisons personnelles). 5 Simulaions de valeurs de l échéancier 5. Le modèle de aux Pour les simulaions des valeurs de l échéancier, on a choisi de commencer par eser un modèle à volailié déerminise du ype Hull e Whie (Vasicek généralisé). Ce choix s explique noammen par le fai que le marché uilise, pour l évaluaion des opions des modèles du ype Black e Scholes. Ces modèles supposen des prix log-normaux e des aux gaussiens, ce qui es aussi le cas dans le modèle de Hull e Whie choisi. Le aux spo (r ) es supposé suivre, sous la probabilié risque-neure Q, la diffusion suivane : dr() = µ r () d + σ dw avec µ r () = a [f(,)-r()] + φ () + d d f (, ) dφ() = [σ 2-2k φ()] d Pour le calcul de la foncion de comporemen des assurés, il es nécessaire de diffuser le aux pibor (un mois). Nous avons reenu un modèle du même ype que celui qui perme la diffusion de la courbe des aux OAT. Les deux aléas des diffusions seron supposés corrélés, e leur faceur de corrélaion ρ sera supposé consan duran la vie de l opion. Nous obenons ainsi pour les aux pibor : 2 [ ] pib pib pib dr = µ () d + σ () ρdw + ρ dw, où dw e dw, son des processus browniens indépendans. La courbe de marché de aux de swap aux fixe conre pibor sera considérée comme courbe de dépar à la diffusion des aux pibor. Le calage des paramères (a, σ) pour chaque diffusion se fai en minimisan l écar quadraique moyen enre le prix héorique e le prix de marché des opions les plus liquides du ype cap avec un sousjacen de aux. On peu ainsi prendre par exemple des caps sur pibor pour la diffusion de la courbe pibor e des caps sur TEC pour la diffusion de la courbe OAT. N hé o marché Min ( Op Op ) i= i i Le aux servi 7

18 AFFI JUIN 997 Le aux servi reenu es défini par l assureur. C es le rappor enre les revenus perçus des produis de placemens (ici les plus-values réalisées e les coupons perçus) pendan l année compable e la moyenne de l acif enre le débu e la fin de l année compable. Dans nore cas, le bilan es composé à l acif des seules obligaions acheées au débu du conra, majoré régulièremen des coupons. 5.3 Les hypohèses de calcul e résulas Nous avons reenu une courbe des aux de zéro-coupon du 3 février 997 : Maurié /365 / Taux 3.2% 3.7% 3.6% 3.8% 3.2% 3.295% Maurié Taux 3.48% 3.835% 4.25% 4.545% 4.95% 5.23% Maurié Taux 5.48% 5.65% 5.785% 5.865% 6.79% e le même jour la courbe des swaps de pibor Maurié /365 / Taux 3.38% 3.38% 3.38% 3.334% 3.338% 3.342% Maurié Taux 3.356% 3.94% 4.34% 4.72% 4.995% 5.27% Maurié Taux 5.443% 5.67% 5.79% 5.985% 6.35% Pour le modèle de aux, on suppose κ consan, γ es nul. Nous sommes dans le cas de Hull e Whie. Les paramères reenus pour le modèle de diffusion son pour la force de rappel a=.2 e pour la volailié du aux spo e du aux pibor respecivemen σ=2.5%, σ=.6%. La valeur de l échéancier es calculée en jouan sur des paramères de prélèvemen sur les frais (comme µ prélèvemen pour frais ou T pb aux de paricipaion aux bénéfices que nous fixons à 9%) de façon à ce que l échéancier soi équilibré au bou des ans du conra. Ce équilibre es déerminé sans racha anicipé. Forcer la foncion de racha anicipé à zéro n es pas réalise. Mais caler les paramères en uilisan seulemen l effe âge, fiscalié de la foncion de comporemen revien à couvrir impliciemen une parie du phénomène de racha par la arificaion. Nous préférons séparer le problème du calage des paramères de la couverure qui fera l obje d une discussion à par enière. Les paramères son donc calés sans foncion de racha anicipé, ce qui correspond à la valeur en = de l échéancier. La valeur iniiale du conra es fixée à K =5, le aux garani du conra TG = 4.5%, les paramères de prélèvemen pour couvrir les frais à T pb =9% e µ=.7%. Il n y a pas de prélèvemen à la consiuion du conra. Dans nore simulaion, jusqu au deuxième anniversaire, on ne versera que 95% du monan capialisé. D après les hypohèses reenues, nous obenons la foncion de racha suivane : 8

19 AFFI JUIN 997 foncion de racha anicipé,2,,8,6,4, en % de conras iniiaux mois Cee foncion de racha es définie comme le rappor enre le nombre de conras racheés duran un mois e le nombre de conras resans au débu du mois considéré. Or les formules son expliciées en foncion du nombre de conras iniiaux. Soi F le rappor en foncion du nombre de conras resans e f f en foncion du nombre de conras iniiaux, alors par récurrence on obien F = avec F =f. f i = i Nous obenons graphiquemen pour ou, jusqu au erme du conra, les valeurs suivanes de l échéancier : en % du capial iniial Valeur de l échéancier,%,% 7 -,% -2,% ,% -4,% -5,% mois Le coû des rachas anicipés es d'environ 5% à l échéance. Le coû apparaî dès la fin de la première année. Nous observons la rupure fiscale au 72ième mois. La méhode d esimaion de la valeur de l échéancier es la méhode de Mone-Carlo. rajecoires on éé effecuées. Ce nombre de rajecoires es suffisan au regard des ess de convergence du prix de l opion. Les irages on éé effecués selon la méhode anihéique comme méhode de réducion de la variance. 9

20 AFFI JUIN Simulaions de valeurs de l opion héorique de gesion de racha anicipé Le cash-flow de l opion héorique es donc Cash-flows = Max(valeur capialisée à payer - f acif d adossemen ; ) Selon le choix des paramères présenés pour l échéancier, nous obenons la valeur suivane pour les opions européennes : evoluion du prix de l'opion,45%,4% valeur en % du capial iniial,35%,3%,25%,2%,5%,%,5%,% m o is Nous consaons que le profil du prix de l opion de gesion héorique à oue dae jusqu à l échéance du porefeuille es proche du profil de la foncion de comporemen de racha. Le prix peu aeindre.4% pour une maurié donnée. Le prix oal de cee opion héorique es de.69%. 7 Couverure de l opion 7. Naure de l opion de marché L obje de ce paragraphe es de présener une méhode de couverure de l opion de racha anicipé par une opion de marché. Cee opion peu êre approchée soi par un ensemble de caps, de sous-jacen un aux (TEC pour le aux long par exemple) soi par un ensemble de pus européens de sous-jacens une ou plusieurs OAT. Ce ensemble d opions s acive d une par en foncion des niveaux des aux longs ( ans) e d aure par en foncion de l écar aux pibor ( mois)-aux long ( ans), quand elle es posiive. En effe, d après les ess saisiques présenés au paragraphe précéden, les niveaux des aux de ces deux marchés peuven êre reenus comme significaifs dans la foncion de comporemen des assurés. Ces aux expliquen le surplus de sories anicipées par rappor aux sories habiuelles (sories naurelles, sories saisonnières e effe de fiscalié). 2

21 AFFI JUIN 997 Les sories dies habiuelles peuven êre esimées grâce à la foncion de comporemen des assurés, l assureur peu donc relaivemen bien les aniciper e évenuellemen choisir un porefeuille d adossemen qui en ien compe. Ce choix implique l acha d acifs de maurié, de duraion e donc de rendemen plus faible pour l acif général, ce qui peu dans un conexe concurreniel, désavanager l assureur. Dans le cas où ces sories ne se réalisen pas, l assureur peu se rerouver avec des liquidiés à invesir dans de mauvaises condiions de marché. En revanche, le choix d invesir dans des acifs long erme e d acheer des opions de racha anicipé, perme à l assureur d invesir sur un acif général ayan un meilleur rendemen. Mais, la somme invesie par l assureur es égale à la somme des colleces diminuées du prix des opions de racha anicipé. En conséquence, le choix de l assureur va dépendre du rendemen espéré de chacune des deux soluions. Ce rendemen peu dépendre à un momen donné, d une par des paramères de marché sur les acifs financiers, comme l évoluion de la pene de la courbe des aux, e d aure par des paramères sur les opions, comme par exemple les foncions volailiés des aux. Ce choix va aussi dépendre de la confiance que l assureur pore à la foncion de comporemen des assurés, qu il considère dans la valorisaion de ces opions. Le bon choix peu êre un compromis enre les deux soluions. Si l assureur fai le choix de couvrir les risques induis par les sories dies habiuelles indépendanes des niveaux des aux, il va acheer des opions européennes, des pus plain-vanilla sur une OAT de référence, pour des quaniés e des daes d échéance correspondan aux résulas de la foncion de comporemen des assurés. Le aux d exercice de ces opions peu êre le aux forward de l OAT de référence calculé à parir de son aux d acha, de la courbe des aux à cee dae e de la dae d échéance de l opion en quesion. Chaque élémen de l acif de l assureur éan compabilisé à son prix d acha, le pu permean de vendre l acif à son aux forward suffi à couvrir l assureur conre le risque de racha anicipé. Pour les sories supplémenaires, dépendanes des aux, nous nous proposons de les couvrir par des pus «up and in» en aux, qui s aciven sur des niveaux différens de aux e don le nominal es calculé par rappor à la foncion de comporemen des assurés. Nous avons conservé les deux effes modélisés dans la foncion de comporemen. L effe (Pibor - Taux Long) +, même si cela revê moins d imporance avec la courbe iniiale uilisée, a éé conservé par souci de cohérence avec la foncion de racha de l opion de gesion. De plus la probabilié sur un horizon de dix ans de voir la courbe des aux s inverser n es pas négligeable pour un gesionnaire. La barrière pour le niveau absolu des aux longs es dépendane du niveau du aux de référence choisi, qui en éan le aux spo ou les aux forward, relaivise le niveau du aux long. Praiquemen, la parie dépendane des aux, F, de la foncion de comporemen s écri : F, = α (Pibor - Taux Long) + + β Taux Long + C + ε Cee foncion peu êre approchée par une foncion en escalier du ype : F, ~ N x i i= u i Pibor TauxLong + ( + ) > ( ) > u ( i ) N 2 + y i i= vi ( + ) > TauxLong > vi ( ) avec Pib(N +)=Taux Long (N 2 +) = + 2

22 AFFI JUIN 997 Il es cerain que pour les niveaux de aux non aeins par les données hisoriques, les valeurs de la foncion de comporemen ne son pas significaives e ses paramères doiven êre corrigés à la hausse. Cee correcion ne peu évidemmen n êre qu arbiraire e elle doi se décider en éroie collaboraion avec l assureur. On peu choisir un ensemble d'opions de ype cap payan par exemple ous les semesres. Le sousjacen de cee opion peu êre une ou deux OAT de référence (une OAT par période fiscale), ou encore un aux long du ype TEC par exemple. De même, le srike de cee opion, à une dae donnée, peu êre, soi le aux d acha de l OAT au dépar, soi un aux forward à cee dae ou encore un aux moyen (opion pah-dépendan) pour mieux enir compe du aux de rendemen du porefeuille de l assureur. Le cash-flow en de l opion ayan comme sous-jacen une OAT de référence e comme srike le prix de cee OAT pour un aux donné (aux d acha ou forward) es : Cash-flow = Nominal. N ( x i i= u i Pibor TauxLong + ( + ) > ( ) > u ( i ) N2 + y i i= vi ( + ) > TauxLong > vi ( ) ) [OAT (ref) - OAT (marché)] + = N [ x i i= ( u i Pibor TauxLong + - ( + ) > ( ) ( Pibor TauxLong) > u( i) OAT (marché)] + N 2 + ) + y i i= ( vi ( + ) > TauxLong - TauxLong v i > () )) ] [OAT (ref) - Ce qui donne encore Cash-flow = [ x + ( x x ) ( Pibor TauxLlong) + > u( ) i j N2 i= ( y y ) i i TauxLong v i N i= > () ] [OAT (ref) - OAT (marché)] + ( Pibor TauxLong) > u( i) + + y TauxLong v + > ( ) Ce cash-flow es donc celui d une somme de Pus «up and in» en aux (ou «down and in» en prix) écri sur l OAT de référence e de srike ne dépendan pas des barrières acivanes. L acivaion des opions se fai d une par sur le niveau du aux long (le TEC par exemple) e d aure par sur la parie posiive de la différence enre le aux cour (pibor mois par exemple) e le aux long. Le prix en = de cee somme d opions européennes es donné par : C = N = E Q [(exp(- ru. du) Cash-flow ] 7.2 Evaluaion de l opion de marché 22

23 AFFI JUIN 997 L opion doi proéger la parie dépendane des aux de la foncion de comporemen de racha. En calculan les rachas par rappor au nombre de conras resans, l opion de marché voi son nominal évoluer. Afin d assurer la couverure sur le marché, il convien de ravailler en nominal consan e donc en racha par rappor au nombre de conras iniiaux. L acif de l assureur s apprécie chaque année des coupons des OAT acheées à la souscripion du conra par l assuré. Le aux de référence de l acif n es donc plus le seul aux acuariel à la dae d acha de l OAT. Le aux de référence doi enir compe des coupons fuurs, les aux forward de l OAT seron donc reenus. Les aux longs e pibor de référence dans les barrières son les aux uilisés dans la foncion de comporemen. Le Taux Long es le aux zéro-coupon de maurié consane équivalene à l OAT de souscripion du conra par l assuré, ans e le Pibor es le pibor mois. La parie expliquée par les aux a éé recalculée en foncion du nombre de conras iniiaux en aux annualisé. Il en résule une régression avec des paramères e une consane non nuls. La consane es affecée à chaque ype de aux. Un aux long en dessous du niveau minimum garani n engendre pas d effe aux de sorie, donc l expression sera.37 (Tl - 4.5%)=.37 Tl -.68%. Variables Paramères (Pibor mois- Taux Long) +.48 Taux Long.37 Consane -.68 Consane 2.43 A parir de ces paramères nous pouvons écrire les sensibiliés de la foncion de rachas pour ous niveaux de l écar Pibor-Taux Long, quand il es posiif, e du aux long. Cependan hisoriquemen, les régressions son calées pour une ceraine valeur de l écar Pibor-Taux Long e ceraines valeurs du aux long. Sachan que l effe aux n a éé que marginal sur le marché français, les paramères.49 e.33 on éé mulipliés par (+i.75) pour le ième poin de aux non connus hisoriquemen, soi 7 poins pour l écar Pibor-Taux Long e % pour le Taux Long. Des paliers on éé réalisés ous les poins de aux. L escalier majoran la courbe a éé reenu. On obien donc 23

24 AFFI JUIN 997 Effe de l'écar (Pibor-aux long) + sur les rachas,8,6,4,2,,8,6,4,2 Rachas induis par les aux,,2,3,4,5,6,7,8,9 Effe du niveau du aux long sur les rachas,45,4,35,3,25,2,5, Rachas induis par les aux,5,,3,5,7,9 Le nominal reenu es le monan des souscripions au dépar, soi ici 5 francs, qui sera muliplié par les ordonnées des escaliers présenés ci-dessus. Nous avons donc repris des niveaux de barrière cohérens e significaifs avec les simulaions. Ainsi nous avons reenu - quare barrières pour (Pibor - Taux Long) +,,, 2,3 poins - quare barrières pour le Taux Long 6, 7, 8, 9%. Cee barrière de 6% pour le niveau absolu des aux longs sera facilemen acivée compe enu de la courbe des aux uilisée, cependan le nominal qui lui es associé es relaivemen faible. L opion de marché reenue es alors définie comme une somme de pay-off annuels de pus à barrières soi sur le aux long, soi sur l écar Pibor-Taux Long. Son pay-off s écri donc de la manière suivane : 24

25 AFFI JUIN ans + Pu = Nominal(h ) ( Srike(rafwd,T) - PrixOAT(ra,T) ) T = h =6,7,8,9% ( ) + Nominal(h ) Srike(rafwd,T) - PrixOAT(ra,T) h =,,2,3% 2 Taux long h % T 2 (Pibor auxlong) h % + + T 2 9 ans ie Pu = Pu (T, h ) + Pu 2 (T, h 2) T = h =6,7,8,9% h 2=,,2,3% ( ) + ( ) + Pu (T, h ) = Nominal(h ) Srike(rafwd,T) - PrixOAT(ra,T) où Pu (T, h ) = Nominal(h ) Srike(rafwd,T) - PrixOAT(ra,T) Taux long h % (Pibor T + auxlong) T h 2 % Le Nominal(h ) es le nominal reenu pour le aux long avec h =6, 7, 8 ou 9 %. Le Nominal(h 2 ) es le nominal de (Pibor-Taux Long) + avec h 2 =,, 2 ou 3 poins. Trafwd T désigne le aux de rendemen acuariel forward calculé en T la maurié de l opion e ra T désigne le aux de rendemen acuariel de l OAT en T ; ils son calculés de la manière suivane : i= i= flux(i) B(,i) B(,T) flux(i) B(T,i) = - T<i i= flux(i) B(i,T) = flux(i) T>i flux(i) i= ( +ra ) T i= ( +rafwd ) i-t E le srike es le prix de l OAT de souscripion calculé avec un aux de référence égal au aux forward en T, maurié de l opion. T<i T i-t T<i Le produi de couverure doi êre un produi de maurié longue. Nous avons calculé la valeur de l opion de marché pour une maurié semblable à celle de gesion, dix ans. Ces aux son obenus par des simulaions de Mone-Carlo à parir du modèle de Richken. Les volailiés des aux longs e du pibor son des volailiés de Hull e Whie que l on a adapées en foncion des niveaux de barrières e de la ranche de maurié considérée. L opion de marché ien compe d un effe smile. Maurié an 2 ans 3 ans 4 ans 5 ans 6 ans 7 ans 8 ans 9 ans Toal Pu sur le Taux Long

26 AFFI JUIN 997 Pu sur le spread Pu oal * les valeurs de pu son en pourcenage du nominal oal e on éé donc affecées par les nominaux différens pour chaque barrière. Le prix obenu,.6292%, es légèremen inférieur au prix de l opion héorique de gesion (.69%). Cee différence s explique par le fai qu on ne couvre pas ous les rachas anicipés. En effe, l opion de marché ne couvre que la parie des rachas induis par les aux. Elle n es calculée que pour un panel représenaif de barrières. Sa valorisaion es annuelle e non mensuelle comme celle de l opion de gesion. Cependan l effe de ces resricions es compensé par des valeurs forcées des nominaux à chaque niveau de barrière, c es pourquoi l écar observé enre le prix de l opion héorique de gesion e celui de l opion de marché n es que de.68%. Conclusion L accroissemen de la concurrence sur le marché des produis d assurance-vie révèle pleinemen le risque lié au droi pour ou assuré de racheer par anicipaion son conra d assurance-vie. Ce risque es une somme d opions européennes qui reflèe l écar enre la valeur compable due e la valeur financière des acifs d adossemen. Le modèle de aux reenu es celui de Heah, Jarrow e Moron à deux variables d éa markoviennes. Le comporemen des assurés es décri par un processus dépendan de la maurié résiduelle du conra, de la fiscalié applicable e du niveau des aux du marché. Les caracérisiques des conras éudiés son assez générales pour êre applicables à ous les ypes de conras à prime à versemen unique. Cee opion de gesion peu-êre couvere par des opions à barrières acivanes en aux (up and in). Toue cee éude a éé réalisée à parir d acifs obligaaires. Elle pourrai égalemen inégrer des acifs de ype acions. Dans un domaine plus général, cee approche peu êre uilisée pour évaluer les produis bancaires e les fonds communs de créance. Références [AG] Albizzai MO & Geman H (995), «Ineres Rae Risk Managemen and Valuaion of he Surrender Opion in Life Insurance Policies» Journal of Risk and Insurance, pp [BS] Black F & Scholes M (973), «The Pricing of Opions and Corporae Liabiliies», Journal of Poliical Economy, 8 [CNP] Chazo C, Le Naour J & Poiron L (99), «Remboursemen Anicipé», MTF, n 36, pp [C] Choi S (994), 26

27 AFFI JUIN 997 «Improved Prepaymen Modeling for OAS Analysis : Adding a Shor-erm Componen» Journal of Fixed Income, Décembre 994, pp [ABE] D Andria P, Boulier JF & Elie L (99), «Modèle Analyique d Evaluaion des Opions de Remboursemens Anicipés», Finance, Vol.2, 2 pp 7-34 [EVM] El Karoui N, Viswanahan R & Myneni R (99) «Arbirage Pricing and Hedging of Ineres Rae Claims wih Sae Variables», Working paper, Universié de Paris VI and Sanford Universiy [F] Fabozzi F (992) «Facors Affecing Prepaymen Behavior» in Morgage-backed Securiies Markes pp [GF] Gourieroux C & Fracho (992), Tirisaion e Remboursemens Anicipés [GT] Gagey P & Tacho A (99), «Porefeuille de Crédis Hypohécaires : Variaions de Taux d Inérê e Remboursemens Anicipés» Analyse financière, 3 Trim, pp [HK] Harrison JM & Kreps D (979), «Maringales and Arbirage in Muliperiod Securiies Markes», Journal of Economic Theory, 2, pp [HP] Harrison JM & Pliska S (98), «Maringales and Sochasic Inegrals in he Theory of Coninuous Trading», Sochasic Processes and heir Applicaions,, pp [HJM] Heah D, Jarrow R & Moron AJ (992), «Bond Pricing and he Term Srucure of Ineres Rae : a New Mehodologie», Economerica 6 (), pp 77-5 [MS] Mcconnell J & Singh M (994), «Raional Prepaymens and he Valuaion of Collaeralized Morgage Obligaions», Journal of Finance, Vol 49, n 3, pp [P] Paruno G (994), «Morgage Prepaymens : a New Model for a New Era» Journal of Fixed Income, Décembre, pp [RS] Richken P & Sankarasubramanian L (995), «Volailiy Srucures of Forward Raes and he Dynamics of he Term Srucure», Mahemaical Finance, vol.5, pp [S] Saada D (99), «L Opion de Racha Anicipé dans le Cadre d un MBS», Thèse Paris VI, -8 [ST] Schwarz E & Torous W (989), 27