Correction des exercices du livre La Gestion d Actifs Quantitative

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1 Correcion des exercices du livre La Gesion d Acifs Quaniaive Thierry Roncalli 15 Novembre 2011 Ce documen présene les correcions 1 des exercices du livre : Thierry Roncalli, La Gesion d Acifs Quaniaive, Economica, 2010 ce livre es cié sous la référence [TR-QAM] par la suie. Table des maières 1. L indexaion alernaive Filre de Kalman lorsque le brui de l équaion de mesure es corrélé avec le brui de l équaion d éa Régression linéaire sans consane Méhode généralisée des momens Modèles srucurels à composanes inobservables Méhode de While Calcul de PnL e de MM d un swap de variance Les sraégies opionnelles Consrucion d un backes Consrucion de porefeuilles diversifiés Consrucion de porefeuilles efficiens Dérivaion des équaions de récursion du filre de Kalman Consrucion d une posiion de carry rade Bêa d un porefeuille Maximum de vraisemblance des modèles Probi e Logi Consrucion de porefeuilles ilés Idenificaion d un modèle espace-éa Calcul d un indice d acions Roll d une posiion de fuures Processus fracionnaire e sraégie d invesissemen long/shor Sraégie volailiy arge e indice propriéaire Calcul du raio de Sharpe Déerminaion d un porefeuille de marché Allocaion sraégique, allocaion acique e modèle de Black-Lierman Gap risk e méhode CPPI Comparaison du filre de covariance de Kalman e du filre d informaion Le coefficien bêa Le raio de Sharpe Variaions auour de la fronière efficiene Les sraégies de aux Concenraion e diversificaion d un porefeuille La régression linéaire sous conraines Risk budgeing e modèles facoriels Les programmes Gauss qui on servi à résoudre numériquemen ces exercices son disponibles à l adresse suivane : 1

2 1. L indexaion alernaive 1. Les indices de pondéraion alernaive son des indices don les poids son différens de ceux définis par la capialisaion boursière. On disingue généralemen deux familles d indices alernaifs. La première concerne l indexaion fondamenale fundamenal indexaion alors que la seconde correspond à l indexaion basée sur le risque risk-based indexaion. Ces indices son apparus dans les années 2000 à la suie des fores criiques concernan les indices marke-cap : biais momenum, fore exposiion aux bulles, concenraion du porefeuille, absence de règles d allocaion pour diversifier le risque. 2. L indexaion fondamenale considère que la bonne mérique pour pondérer les acions es leur valeur économique e non leur capialisaion boursière. C es donc une sraégie die value. Les poids dans l indice son donc proporionnels à des raios financiers qui poren sur la valeur compable des capiaux propres book value, l excéden bru d exploiaion ebida, la valeur du dividende dividend yield, ec. TR-QAM, page Les sraégies mv, erc, mdp e 1/n son définies aux pages e de TR-QAM. 4. On monre que le porefeuille ERC es soluion du problème d opimisaion suivan : x c = arg min x Σx n i=1 ln x i c s.c. 1 x = 1 0 x 1 avec Σ la marice de covariance e c une consane défini a poseriori. C es donc un problème de variance minimale sous une conraine supplémenaire n i=1 ln x i c. Celle-ci s inerprèe comme une conraine de diversificaion. Si c = n ln n, on obien le porefeuille équipondéré, c es-à-dire le porefeuille le moins concenré en erme de poids. Le porefeuille ERC es donc un porefeuille de variance minimale en imposan une diversificaion minimale. 5. On en dédui que la marice de covariance es : Σ = 1,000 1,000 0,750 0,000 1,000 4,000 1,500 0,000 0,750 1,500 2,250 0,000 0,000 0,000 0,000 6, Pour chaque porefeuille, on calcule le poids x i de l acif i, la volailié marginale associée xi σ x, la conribuion en risque absolue σ i x = x i xi σ x e relaive σ i x /σ x. Toues ces quaniés son exprimées en pourcenage. Voici les résulas pour le porefeuille mv : i x i xi σ x σ i x σ i x /σ x 1 74,26 9,14 6,79 74,26 2 0,00 10,16 0,00 0, ,38 9,14 1,13 12, ,37 9,14 1,22 13,37 On vérifie que la volailié marginale es la même pour ous les acifs qui on un poids sricemen posiifs TR-QAM, page 134. Pour le porefeuille erc, on obien : i x i xi σ x σ i x σ i x /σ x 1 36,60 7,07 2,59 25, ,30 14,14 2,59 25, ,40 10,61 2,59 25, ,70 12,50 2,59 25,00 2

3 Les résulas pour le porefeuille mdp son : Pour le porefeuille 1/n, on obien finalemen : i x i xi σ x σ i x σ i x /σ x 1 33,71 6,32 2,13 20, ,85 12,65 2,13 20, ,47 9,49 2,13 20, ,97 15,81 4,26 40,00 i x i xi σ x σ i x σ i x /σ x 1 25,00 6,15 1,54 13, ,00 14,53 3,63 32, ,00 10,06 2,52 22, ,00 13,98 3,49 31,25 Encadré 1 Déerminaion des porefeuilles 1/n, mv, erc e mdp le sigma = ; le rho = ; rho = xpndrho; cov = rho.* sigma.* sigma ; nasses = rowscov; Bounds = 0~1; {x,vol,recode} = Qprog_Min_Variancecov,ones1,nAsses,1,0,0, Bounds.* onesnasses,1; {vol,mr,r,rc} = Compue_Risk_Conribuionx,cov; resul_mv = 100*x~mr~r~rc; {x,vol,mr,r,rc} = Compue_ERC_Porfolio0,cov; resul_erc = 100*x~mr~r~rc; {x,vol,mr,r,rc} = Compue_MDP_Porfolio0,cov; resul_mdp = 100*x~mr~r~rc; x = onesnasses,1/nasses; {vol,mr,r,rc} = Compue_Risk_Conribuionx,cov; resul_ew = 100*x~mr~r~rc; prin fosa100*cov,"%lf",3,3; prin fosaresul_mv,"%lf",3,2; prin fosaresul_erc,"%lf",3,2; prin fosaresul_mdp,"%lf",3,2; prin fosaresul_ew,"%lf",3,2; 3

4 2. Filre de Kalman lorsque le brui de l équaion de mesure es corrélé avec le brui de l équaion d éa 1. On inrodui le processus γ = γ 1 avec γ 0 = 1. Une aure écriure du modèle espace-éa es : y = Z α + d γ + ϵ α = T α 1 + c γ + R η γ = γ 1 On obien alors : avec : { y = Z α α = T α 1 + R η Z = Z d I α = α γ, T = T c , R = R ϵ I η η = ϵ 2. On reprend les noaions de TR-QAM page 349. Les équaions de récursion du filre de Kalman son données à la page 350 de TR-QAM. Si on applique celles-ci au modèle 1, on a : avec : On pose : a 1 = T a 1 P 1 = T P 1T y 1 = Z a 1 v = y y 1 F = Z P 1 Z a = a 1 + P 1 Z P = I m P 1 Z a 0 = a Q Q C = C H e P0 = + R Q R F 1 v F 1 Z On suppose que la marice P 1 es de la forme : P 0 V P = V 0 W P 1 P On en dédui que V = R C e W = H. On obien donc : a 1 = T a 1 + c P 1 = T P 1 T + R Q R y 1 = Z a 1 + d v = y y 1 F = Z P 1 Z + 2Z R C + H a = a 1 + P 1 Z + R C F 1 v P = P 1 P 1 Z + R C F 1 Z P 1 + C R 1 4

5 3. Régression linéaire sans consane 1. On a : e : Y = y 1. y n, X = x 1,1 x 1,K... x n,1 La somme des carrés des résidus ϵ ϵ es 2 : On a : x n,k ϵ N 0, σ 2 I n ϵ ϵ = Y Xβ Y Xβ, β = = Y β X Y Xβ β 1. β n = Y Y β X Y Y Xβ + β X Xβ = Y Y 2β X Y + β X Xβ ˆβ OLS = arg min ϵ ϵ = arg min Y Y 2β X Y + β X Xβ = arg min 1 2 β X X β β X Y, ϵ = ˆβ OLS es donc la soluion du programme quadraique avec Q = X X e R = X Y TR-QAM, page a On considère qu il y a une consane dans les variables explicaives. On noe X = 1 X avec X la marice des exogènes qui ne conien pas de consane. On pose aussi : β0 β = La condiion de premier ordre du programme quadraique précéden es : On en dédui que : β Q ˆβ = R X X ˆβ = X Y { 1 1 ˆβ X ˆβ = 1 Y X 1 ˆβ 0 + X X ˆβ = X Y Si les résidus son cenrés, on doi vérifier que 1 ˆϵ = 0 ou encore : 1 Y ˆβ 0 1 ˆβ X = 0 ϵ 1.. ϵ n Or on a 3 : 1 Y ˆβ 0 1 ˆβ X = 1 Y 1 ˆβ0 1 1 ˆβ X = 1 1 ˆβ X ˆβ 1 ˆβ0 1 1 ˆβ X = race 1 1 ˆβ 0 + race 1 X ˆβ 1 ˆβ0 1 1 ˆβ X = race 1 ˆβ0 1 + race 1 ˆβ X 1 ˆβ0 1 1 ˆβ X = 1 ˆβ ˆβ X 1 ˆβ0 1 1 ˆβ X = 0 2. Comme Y Xβ es un scalaire, on a Y Xβ = Y Xβ = β X Y. 3. On uilise ici le fai que race a = a si a es un scalaire e que race AB = race BA si la muliplicaion maricielle BA es définie. 5

6 L inclusion d une consane dans X perme donc de cenrer les résidus. En revanche, s il n y a pas de consane dans X, il n y a aucune raison que les résidus soien cenrés. b Pour que les résidus soien cenrés, il fau ajouer la conraine 1 ϵ = 0. On a : 1 ϵ = 1 Y 1 Xβ La conraine s exprime donc de la façon suivane : Le programme d opimisaion devien : 1 Xβ = 1 Y ˆβ = arg min 1 2 β X X β β X Y s.c. 1 X β = 1 Y On a encore un programme quadraique avec Q = X X, R = X Y, A = 1 X e B = 1 Y TR-QAM, page 79. c Pour ransformer le problème implicie précéden en problème explicie, on considère la paramérisaion TR-QAM, page 126 : β = Cγ + D avec C la base orhonormale associée au noyau de la marice A = 1 X e : D = A A A B = X 11 X X 11 Y avec A A l inverse de Moore-Penrose de la marice A A. Comme β es de dimension K 1, les marices C, γ e D son de dimensions respecives K K 1, K 1 1 e K 1. La foncion objecif devien : f β = 1 2 β X X β β X Y = 1 2 Cγ + D X X Cγ + D Cγ + D X Y = 1 γ C X XCγ + D X XCγ + γ C X XD + D X XD 2 γ C X Y D X Y = 1 2 γ C X XC γ + γ C X XD C X Y D X XD D X Y On en dédui donc que : ˆγ = C X XC 1 C X Y XD e : ˆβ = C C X XC 1 C X Y XD + D La soluion analyique des moindres carrés ordinaires pour cenrer les résidus lorsqu il n y a pas de consane consise donc à : i. calculer C la base orhonormale associée au noyau de la marice 1 X ; ii. calculer D = X 11 X X 11 Y ; iii. en déduire ˆβ = C C X XC 1 C X Y XD + D. 6

7 3. a Si on inclu une consane dans la régression, cela revien à modéliser le rendemen des hedge funds comme la somme d une composane α e d une composane β TR-QAM, page 361. D un poin de vue de la réplicaion des hedges funds, il n es pas possible cependan de répliquer la composane α. On peu donc envisager d omere la consane dans la régression. Dans ce cas, cela revien à expliquer une parie de l alpha par du bêa. Dans ce dernier cas, on aura donc des posiions léveragées par rappor à celles obenues avec le modèle de régression avec consane. b Pour saisfaire les conraines UCITS, il ne fau pas excéder un levier de 2, c es-à-dire que la somme des valeurs absolues des exposiions ne doi pas dépasser 200%. Le programme d opimisaion devien 4 : ˆβ = arg min 1 2 β X X β β X Y s.c. { 1 Xβ = 1 Y K k=1 β k 2 On n a plus un programme quadraique puisque l on a une conraine foremen non-linéaire K k=1 β k 2. On considère donc un programme augmené avec TR-QAM, pages : β k = β + k β k avec β + k 0 e β k 0. On noe : β = I I β + = Γβ β Sous cee forme, la conraine UCITS s exprime facilemen : 1 β 2. On obien donc un programme quadraique en β : avec : X Q = X X X X X X X ˆβ = arg min 1 2 β Qβ β R Aβ = 1 Y s.c. 1 β 2 0 β X, R = Y X Y e A = 1 X 1 X On en dédui que la soluion saisfaisan la conraine UCITS es : ˆβ = Γ ˆβ 4. On peu omere la conraine poran sur les résidus cenrés. 7

8 4. Méhode généralisée des momens 1. Soi X LN µ, σ. Pour m 1, on a : E [X m ] = x m 1 σx 2π exp ln x µ dx σ On considère les changemens de variable y = σ 1 ln x µ e z = y σ. On obien : E [X m 1 ] = exp mµ + mσy exp 12 2π y2 dy = exp mµ [Φ y] + 1 exp 1 2π 2 y2 + mσy dy 1 = exp mµ + exp 2 m2 σ 2 1 exp 12 y 2π mσ2 dy 1 = exp mµ + exp 2 m2 σ 2 1 exp 12 2π z2 dz 1 = exp mµ + exp 2 m2 σ 2 [Φ z] = exp mµ + 12 m2 σ 2 On en dédui que : E [X] = e µ+ 1 2 σ2 E [ X 2] = e 2µ+2σ2 var X = E [ X 2] E 2 [X] = e 2µ+2σ2 e 2µ+σ 2 = e 2µ+σ2 e σ2 1 Pour uiliser la méhode GMM, on doi donc spécifier les momens empiriques suivans TR-QAM, pages 278 : h,1 µ, σ = x e µ+ 1 2 σ2 h,2 µ, σ = x e µ+ 1 2 σ2 2 e 2µ+σ 2 e σ2 1 Le programme Gauss correspondan es donné dans l encadré 2, alors que l encadré 3 présene les résulas. Sur ce exemple, on a ˆµ GMM = 5,06 e ˆσ GMM = 0, On a u = y x β e : E [u ] = 0 E [ u 2 ] = σ 2 E [u x ] = 0 Les deux premiers momens cenrés son donc TR-QAM, page 279 : h,1 θ = y x β h,2 θ = y x β 2 σ 2 8

9 Encadré 2 Programme d esimaion GMM d une loi-lognormale n = 1000; x_ln = exp5 + rndnn,1; sv = 1 2; proc H_LNhea; local mu,sigma,m1,m2,m; mu = hea[1]; sigma = sqrhea[2]^2; m1 = expmu * sigma^2; m2 = exp2 * mu + sigma^2 * expsigma^2-1; M = zerosn,2; M[.,1] = x_ln - m1; M[.,2] = x_ln - m1^2 - m2; repm; endp; {hea,sderr,mcov,qmin} = reggmm0,0,&h_ln,sv,0,0; Encadré 3 Résulas du programme d esimaion GMM d une loi-lognormale =============================================================================== reggmm - Generalized Mehod of Momens 10/12/ :10 am =============================================================================== Toal observaions: 1000 Missing observaions: 0 Usable observaions: 1000 Valid cases: 1000 Number of parameers: 2 Number of unresriced parameers: 2 Number of momens: 2 Degrees of freedom: 998 Value of he crierion funcion: Parameers esimaes sd.err. -saisic p-value P P Covariance marix: inverse of he negaive Hessian. 9

10 Le veceur des paramères θ = β, σ éan de dimension K 1, on doi uiliser d aures momens pour idenifier le modèle si K > 2. On uilise donc les condiions d orhogonalié e on a TR-QAM, page 280 : h,k+2 θ = y x β x,k Si les résidus son hééroscédasiques var u = σ αz, le deuxième momen devien : h,2 θ = y x β 2 σ αz Conrairemen au modèle précéden qui es sur-idenifié 5, celui-ci es juse idenifié puisque la dimension de θ = β, σ, α es K a Avan de donner les deux premiers momens cenrés du modèle obi, on va éudier les momens de la disribuion normale ronquée e censurée. i. Soi X N µ, σ e X = X X x la variable aléaoire ronquée à gauche. L expression de la densié de X es : ϕ x µ σ f X x = σ 1 Φ x µ σ On pose α = σ 1 x µ. On a 6 : [ ] 1 E X = x 1 1 Φ α x σ 2π exp 1 2 x µ dx 2 σ 1 1 = µ + σy exp 12 1 Φ α α 2π y2 dy 1 = µ ϕ y dy + σ [ ϕ y] α 1 Φ α α = µ + σλ α avec λ α l inverse du raio de Mills : λ α = ϕ α 1 Φ α On a : [ ] 1 E X2 = x Φ α x σ 2π exp 1 2 x µ dx 2 σ 1 = µ + σy 2 1 exp 12 1 Φ α α 2π y2 dy 1 = µ 2 ϕ y dy + 2µσ [ ϕ y] α 1 Φ α + σ2 y 2 ϕ y dy α α = µ 2 σ 2 + 2µσλ α + [ yϕ y] α 1 Φ α + ϕ y dy = µ 2 + 2µσλ α + σ αλ α On en dédui que : [ ] [ ] var X = E X2 E 2 X = µ 2 + 2µσλ α + σ αλ α µ 2 2µσλ α σ 2 λ 2 α = σ 2 1 δ α 5. On a K + 2 momens pour K + 1 paramères. 6. On considère le changemen de variable y = σ 1 x µ. α 10

11 avec : ii. On noe mainenan : δ α = λ α λ α α { X si X x Ỹ = y si X < x Ỹ es une aléaoire censurée à gauche. On a : ] ] E [Ỹ = Pr {Y = y } E [Ỹ X < x + Pr {Y y } E [X X x ] [ ] = Φ α y + 1 Φ α E X = Φ α y + 1 Φ α µ + σλ α On a aussi : 2 E [Ỹ ] ] = Pr {Y = y } E [Ỹ 2 X < x + Pr {Y y } E [ X 2 ] X x [ ] = Φ α y Φ α E X2 = Φ α y Φ α µ 2 + 2µσλ α + σ αλ α On noe β = σ 1 y µ. On en dédui que : 2 var Ỹ = E [Ỹ ] [ ] E 2 Ỹ car : = Φ α y Φ α µ 2 + 2µσλ α + σ αλ α Φ 2 α y 2 2Φ α 1 Φ α µy + σy λ α 1 Φ α 2 µ 2 + 2µσλ α + σ 2 λ 2 α = Φ α 1 Φ α y 2 + Φ α 1 Φ α µ 2 + 2Φ α ϕ α µσ + ϕ α α ϕ α + 1 Φ α σ 2 2Φ α 1 Φ α µy 2Φ α ϕ α σy = Φ α 1 Φ α y µ 2 2Φ α ϕ α y µ σ + 1 Φ α 1 + λ α α ϕ α σ 2 = Φ α 1 Φ α β 2 σ 2 2Φ α ϕ α βσ Φ α 1 δ α λ α ϕ α + λ 2 α σ 2 = σ 2 1 Φ α Φ α β 2 2Φ α λ α β + 1 δ α λ α ϕ α + λ 2 α = σ 2 1 Φ α 1 δ α + β λ α 2 Φ α Φ α λ 2 α λ α ϕ α + λ 2 α = λ 2 α Φ α 1 Φ α + 1 = 0 iii. Afin de bien illusrer la différence enre la roncaure e la censure, on a reporé sur les graphiques 1 e 2 les densiés correspondanes [ ] de X e [ Ỹ ] lorsque µ = 2, σ = 3 e y = x = 1. À ire d illusraion, on a E X = 3,7955, E X2 = 18,3864, σ X = 1,9952, ] ] 2 E [Ỹ = 2,7627, E [Ỹ = 11,9632, e σ Ỹ = 2,0810. iv. On peu donc mainenan donner les deux premiers momens cenrés du modèle obi y = max 0, x β + u avec u N 0, σ 2. On a µ = x β e y = 0. On en dédui que : h,1 β, σ = y 1 Φ α x β + σλ α h,2 β, σ = h 2,1 β, σ σ 2 1 Φ α 1 δ α + α λ α 2 Φ α avec α = x β /σ, λ α = ϕ α / 1 Φ α e δ α = λ α λ α α. 11

12 Figure 1 Densié de la variable aléaoire ronquée X Figure 2 Densié de la variable aléaoire censurée Ỹ 12

13 b Les encadrés 5 e 6 présenen le programme de la méhode simulée des momens TR-QAM, page 283, ainsi que les résulas. À ire de comparaison, on repore le programme GMM dans l encadré 4. Avec la méhode GMM, on obien ˆβ GMM = 1,06 e ˆσ GMM = 0,48. Avec la méhode simulée des momens, on a des esimaions proches puisque ˆβ SMM = 1,01 e ˆσ SMM = 0,53. Encadré 4 Programme d esimaion GMM du modèle Tobi rndseed ; n = 1000; x_obi = rndun,1; bea = 1; u = 0.5 * rndnn,1; y = bea * x_obi + u; y_obi = y.* y.> 0; sv = 1 1; proc H_TOBIT_GMMhea; local bea,sigma,alpha,mu,phi,lambda,dela,m1,m2,m; bea = hea[1]; sigma = sqrhea[2]^2; mu = bea.* x_obi; alpha = - mu./ sigma; Phi = cdfnalpha; lambda = pdfnalpha./ 1 - Phi; dela = lambda.* lambda - alpha; m1 = Phi.* Phi.* mu + sigma.* lambda; m2 = sigma^2.* 1 - Phi.* 1 - dela + alpha - lambda^2.* Phi ; M = zerosn,2; M[.,1] = y_obi - m1; M[.,2] = y_obi - m1^2 - m2; repm; endp; {hea,sderr,mcov,qmin} = reggmm0,0,&h_tobit_gmm,sv,0,0; 13

14 Encadré 5 Programme d esimaion SMM du modèle Tobi proc H_TOBIT_SMMhea; local bea,sigma,y_smm,y_obi_smm,m1,m2,m; bea = hea[1]; sigma = sqrhea[2]^2; rndseed 123; y_smm = bea.* x_obi + sigma * rndnn,1; y_obi_smm = y_smm.* y_smm.> 0; m1 = meancy_obi_smm; m2 = sdcy_obi_smm^2; M = zerosn,2; M[.,1] = y_obi - m1; M[.,2] = y_obi - m1^2 - m2; repm; endp; {hea,sderr,mcov,qmin} = reggmm0,0,&h_tobit_smm,sv,0,0; Encadré 6 Résulas de l esimaion SMM du modèle Tobi =============================================================================== reggmm - Generalized Mehod of Momens 10/12/ :07 am =============================================================================== Toal observaions: 1000 Missing observaions: 0 Usable observaions: 1000 Valid cases: 1000 Number of parameers: 2 Number of unresriced parameers: 2 Number of momens: 2 Degrees of freedom: 998 Value of he crierion funcion: Parameers esimaes sd.err. -saisic p-value P P Covariance marix: inverse of he negaive Hessian. 14

15 5. Modèles srucurels à composanes inobservables 1. a On uilise la représenaion espace-éa canonique donnée à la page 349 de TR-QAM. Pour le modèle M1, on a Z = 1, α = µ, d = 0, H = σε, 2 T = 1, c = 0, R = 1 e Q = ση. 2 Pour µ 1 1, d β = 0, H = σ 2 ε, T =, 0 1 le modèle M2, on obien Z = 1 0, α = 0 σ 2 c =, R 0 = I e Q = η 0 0 σζ 2 QAM, page 355 : y = 1 0 µ 0 + µ β = β µ 1. L écriure espace-éa es donc la suivane TR- β 1 + ε η b Ces processus son inégrés d ordre 1. On doi donc rouver leur forme saionnaire pour en déduire leur densié specrale. Pour le modèle M1, on a TR-QAM, page 401 : 1 L y = µ + ε µ 1 + ε 1 = µ µ 1 + ε ε 1 = η + 1 L ε Il es éviden que η +1 L ε es saionnaire, on en dédui donc que la forme saionnaire de y es S y = 1 L y. Comme les processus η e ε son indépendans, la densié specrale associée es donc 7 : ζ Pour le modèle M2, on a : 2πf Sy λ = σ 2 η + 1 e iλ 2 σ 2 ε = σ 2 η + 1 cos λ + i sin λ 2 σ 2 ε = σ 2 η + 1 cos λ i sin λ 2 σ 2 ε = ση cos λ + i sin λ 2 σε 2 = ση cos λ 2 + sin 2 λ σ 2 ε = σ 2 η cos λ + cos 2 λ + sin 2 λ σ 2 ε = σ 2 η cos λ σ 2 ε 1 L y = µ + ε µ 1 + ε 1 = µ µ 1 + ε ε 1 = β 1 + η + ε ε 1 1 L y n es pas saionnaire puisque le processus β es inégré d ordre 1. On a : 1 L 2 y = 1 L β 1 + η + ε ε 1 = β 1 β 2 + η η L 2 ε = ζ L η + 1 L 2 ε C es donc la somme de rois processus saionnaires indépendans, on en dédui que la forme 7. On uilise le fai que les foncions cos e sin son respecivemen paire e impaire, que cos 2 x + sin 2 x es égal à 1 e que le module du nombre complexe a + ib es a 2 + b 2. 15

16 saionnaire de y es S y = 1 L 2 y. On remarque que 8 : g λ 1 L 2 = 2 1 cos λ g λ 1 L = 4 1 cos λ 2 On en dédui donc que TR-QAM, page 401 : f Sy λ = σ2 ζ cos λ σ2 η cos λ 2 σ 2 ε 2π c On a représené des densiés specrales des modèles M1 e M2 sur le graphique 3 lorsque σ ε = σ η = σ ζ = 1. On voi que celles-ci son confondues pour les basses fréquences e que la différence enre les deux processus vien de la dynamique sur les haues fréquences. 2. a µ es une endance sochasique, β es une composane AR1 que l on peu assimiler à une composane de reour à la moyenne si ϕ < 0 e γ es une composane saisonnière sochasique. Si σ ω = 0, on a : γ s γ 1 + γ = 0 Comme γ s γ + γ +1 = 0, on a : γ +1 = γ s γ = γ s+1 On a donc une composane saisonnière déerminise de période s. Par exemple, si s = 4, on obien : γ +1 = γ 3 = γ 7 =... γ +2 = γ 2 = γ 6 =... γ +3 = γ 1 = γ 5 =... γ +4 = γ = γ 4 =... Le processus se répèe donc oues les quares périodes. Si σ ω 0, on a γ s γ 1 +γ = ω e γ s γ + γ +1 = ω +1. On a donc : γ +1 = ω +1 γ s γ = ω +1 ω γ s+1 = γ s+1 + ω +1 ω 8. Une aure façon de rouver ce résula es de remarquer que 1 L 2 = 1 2L + L 2. On a donc : g λ 1 L 2 = 1 2e iλ + e iλ 2 2 = 1 2e iλ + e 2iλ 2 = 1 2 cos λ + cos 2λ + i 2 sin λ sin 2λ 2 = 1 2 cos λ + cos 2λ sin λ sin 2λ 2 = 1 4 cos λ + 4 cos 2 λ + 2 cos 2λ 4 cos λ cos 2λ + cos 2 2λ + 4 sin 2 λ 4 sin λ sin 2λ + sin 2 2λ = 6 4 cos λ + 2 cos 2λ 4 cos λ cos 2λ + sin λ sin 2λ = 6 4 cos λ + 2 cos 2λ 4 cos λ 2λ = 6 8 cos λ + 2 cos 2λ = 4 8 cos λ cos 2λ = 4 8 cos λ cos 2 λ sin 2 λ = 4 8 cos λ + 4 cos 2 λ = 4 1 cos λ 2 16

17 Figure 3 Densié specrale des modèles M1 e M2 On en dédui que : E s+1 [γ +1 ] = E s+1 [γ s+1 + ω +1 ω ] = γ s+1 On a donc monré que γ es une composane saisonnière sochasique. b On a : On a aussi : On en dédui que : z = 1 L 1 L s y = 1 L s η + 1 L 1 L s β + 1 L 1 L s ε + 1 L 1 L s γ 1 L 1 L s γ = γ γ 1 γ s γ s 1 = γ γ s γ 1 γ s 1 = ω ω 1 ω 1 ω 2 = ω 2ω 1 + ω 2 = 1 L 2 ω 1 L 1 L s y = 1 L s η + 1 L 1 L s β + 1 L 1 L s ε + 1 L 2 ω Si on suppose que ϕ < 1, alors β es saionnaire. Dans ce cas, z es saionnaire e on a vérifié que 1 L 1 L s y es la forme saionnaire du processus Pour êre parfaiemen rigoureux, il faudrai aussi monrer que 1 L s y n es pas saionnaire, ce qui es éviden. 17

18 c On noe g λ la foncion générarice specrale TR-QAM, pages On a : g λ 1 L s = 1 e iλ s 2 On en dédui que : = 1 e isλ 2 = 1 cos sλ 2 + sin 2 sλ = 2 1 cos sλ g λ 1 L 1 L s = g λ 1 L g λ 1 L s g λ 1 ϕl 1 = = = = 4 1 cos λ 1 cos sλ 1 1 ϕe iλ ϕ cos λ 2 + ϕ 2 sin 2 λ 1 1 2ϕ cos λ + ϕ 2 2πf Sy λ = g λ 1 L s σ 2 η + g λ 1 L 1 L s 1 ϕl Dans TR-QAM page 403, il es indiqué que : σ 2 ζ + g λ 1 L 1 L s σ 2 ε + g λ 1 L 2 σ 2 ω = 2 1 cos sλ ση cos λ 1 cos sλ 1 2ϕ cos λ + ϕ 2 σζ cos λ 1 cos sλ σ 2 ε 4 8 cos λ + 4 cos 2 λ σ 2 ω g λ 1 L 1 L s = g λ 1 L L s + L s+1 = 4 4 cos λ 4 cos sλ + 2 cos s 1 λ + 2 cos s 1 λ En uilisan les propriéés des foncions rigonomériques, on obien : On a donc : g λ 1 L 1 L s = 4 4 cos λ 4 cos sλ + 2 cos sλ cos λ sin sλ sin λ + 2 cos sλ cos λ + sin sλ sin λ = 4 4 cos λ 4 cos sλ + 4 cos sλ cos λ = 4 1 cos λ 1 cos sλ 2πf Sy λ = 2 1 cos sλ ση cos λ + j= 1 6 j 4 cos s + j λ 1 2ϕ cos λ + ϕ 2 σζ cos λ 1 cos sλ σ 2 ε 4 8 cos λ + 4 cos 2 λ σ 2 ω 18

19 6. Méhode de While 1. Comme u e v son indépendans, alors x e y son deux processus indépendans. Si on suppose que ϕ 1 < 1 e θ 1 < 1, alors x e y son deux processus saionnaires. On en dédui que la densié specrale de z es TR-QAM, page 399 : f z λ = f x λ + f y λ = σu 2 2π 1 ϕ 1 e iλ 2 + σ2 v 1 θ 1 e iλ 2 2π = σ 2 u 2π 1 2ϕ 1 cos λ + ϕ σ2 v 2π 2. On a représené la rajecoire simulée sur le graphique θ1 cos λ + θ Le périodogramme de z se calcule à parir de la ransformée de Fourier discrèe d λ = n =1 z e iλ. On a TR-QAM, page 405 : d λ 2 I λ = 2πn 4. La méhode de While consise à maximiser la log-vraisemblance d un processus gaussien dans le domaine specral TR-QAM, page 406. On a TR-QAM, page 408 : l n 2 ln 2π 1 n 1 ln f λ j j=0 n 1 j=0 I λ j f λ j avec λ j = 2πj/n e j {0, 1,..., n 1}. Avec la simulaion du graphique 4, on obien les résulas suivans : ˆϕ 1 = 0,755, ˆθ 1 = 0,120, ˆσ u = 0,896 e ˆσ v = 0, Le périodogramme e la densié specrale esimée de z son représené sur le graphique 4. Figure 4 Simulaion, périodogramme e densié specrale esimée de z 19

20 Encadré 7 Programme d esimaion d un processus dans le domaine specral rndseed 123; phi1 = 0.75; hea1 = 0.2; sigma_u = 1; sigma_v = 0.5; n = 1000; u = rndnn,1*sigma_u; x = recseraru,0,phi1; v = rndnn,1*sigma_v; y = v - hea1*lag1v; y[1] = v[1]; z = x + y; {lambda,i} = PDGMz; proc sgfcoeff,lambda; local phi1,hea1,sigma_u,sigma_v; local w,g; phi1 = coeff[1]; sigma_u = coeff[2]; hea1 = coeff[3]; sigma_v = coeff[4]; w = coslambda; g = sigma_u^2./1-2*phi1*w+phi1^2 + sigma_v^2.*1-2*hea1*w+hea1^2; repg; endp; sv = ; {coeff,sderr,mcov,logl} = FD_mlz,&sgf,sv; g = sgfcoeff,lambda; q = runcrowslambda/2; graphse; window3u; fons"simplex simgrma"; _pdae = ""; _pframe = 0; _pnum = 2; _plype = 6; _plwidh = 8; _paxh = 0.18; _pnumh = 0.18; _pilh = 0.30; sewind1; ile"\216simulaion de z]["; xics0,1000,100,2; yics-6,6,2,2; xy0,z; sewind2; ile"\216periodogramme I\202l\201"; xlabel"\216\202l\201"; xics0,pi,pi/4,0; yics0,40,10,2; lab = " 0 \202p\201/4 \202p\201/2 \2013\202p\201/4 \202p\201"; asclabellab,0; xylambda[1:q],i[1:q]; sewind3; ile"\216densie specrale esimee f\202l\201"; xylambda[1:q],g[1:q]; endwind; 20

21 7. Calcul de PnL e de MM d un swap de variance 1. Le mécanisme du swap de variance es expliqué aux pages de TR-QAM. 2. On a TR-QAM, page 491 : ˆσ 2 K 2 PnL = N vega 2K = = euros 3. On a : PnL = = euros 4. a On uilise la formule de la page 491 de TR-QAM pour calculer la volailié réalisée : ˆσ = ln 2 S 20 = 53,29 =1 S 1 On en dédui que le PnL à maurié es : ˆσ 2 K 2 PnL 0,20 = N vega 2K 53, = = euros b On uilise la formule de décomposiion du PnL de la page 492 de TR-QAM. Le PnL réalisé au bou de 5 jours de rading es : PnL 0,5 = = euros 5 = ln 2 S 20 2 S 1 c On uilise la formule du MM donnée aux pages de TR-QAM. On a : MM 0,5 = PnL 0, = d On a : = euros MM 0,5 = = euros 5. De façon générale, on a K = 100 K var avec K var le prix d exercice du payoff N σ 2 K var. 21

22 a Il n y a pas d effe de smile. On a donc K var = σ 2, S e : K = 100 K var = 20 b On doi enir compe du smile. On peu calculer numériquemen K var de deux façons : i. La première méhode consise à calculer K var par la méhode de Mone Carlo : A. on simule le processus à volailié locale : ds = µs d + σ, S S dw B. on calcule ensuie le prix d exercice en uilisan la formule de la page 495 de TR-QAM : [ ] K var = 1 T T E σ 2 d Dans l exemple, on a σ, S = 0,2e 5. Comme σ, S ne dépend pas de S, on a direcemen : [ ] K var = 1 T T E 0,2 2 e 10 d = 0,2 2 1 T [ e 10 = 0,2 2 e10t 1 10T e : e 10T 1 K = 20 10T Pour une maurié de 20 jours, on obien K = 24,50. ii. La deuxième méhode uilise la formule de la page 496 de TR-QAM : K var = 2 F0 e rt 1 1 P K dk + C K dk + T 0 K2 F 0 K2 2 rt ln F 0 S0 e rt 1 T S 0 F 0 A. on calcule l ensemble des prix de call e pu pour une maurié donnée en résolvan numérique l équaions aux dérivées parielles de la page 636 de TR-QAM 10 ; pour cela, on uilise les méhodes de différences finies TR-QAM, pages B. on calcule la formule précédene en uilisan une quadraure numérique de Gauss- Legendre TR-QAM, pages a Il n y a pas d effe de smile. On a donc : K = 100 = Σ T, K 2 b On calcule numériquemen la formule 2 en valorisan P K e C K avec le modèle de Black e Scholes e Σ T, K = 0,2 1 + α ln 2 KS0 avec α = 1%. On obien K var = 0,04. On en dédui que K = 20,00. L effe du smile es donc négligeable En fai, il es préférable de résoudre l edp forward de Dupire, ce qui perme d avoir en une seule fois l ensemble des prix d opions pour ous les prix d exercice K TR-QAM, page Si α = 0,4 e si T es égal à un an, on a K = 26,70. ] T

23 8. Les sraégies opionnelles 1. La sraégie covered call es décrie à la page 474 de TR-QAM. 2. La sraégie srangle es décrie à la page 465 de TR-QAM alors la sraégie sraddle es présenée à la page 485 de TR-QAM. L opion sraddle es un cas pariculier de l opion srangle lorsque le prix d exercice du call es égal à celui du pu. 3. La sraégie bull spread es expliquée à la page 480 de TR-QAM. a À la maurié T, on a : PnL = S T S 0 + C 0 S 0, K c, T max 0, S T K c + max 0, K p S T P 0 S 0, K p, T + avec K c = 102% S 0, K p = 98% S 0 e C 0 K c, T e P 0 K p, T les valeurs du call e du pu. On a aussi TR-QAM, page 481 : K p S 0 + C K c P K p si S T K p PnL = S T S 0 + C K c P K p si K p < S T < K c K c S 0 + C K c P K p si S T K c b Le mark-o-marke journalier de cee sraégie es : MM = S S 1 + C 1 S 1, K c, T + 1 C S, K c, T + P S, K p, T P 1 S, K p, T + 1 avec C S, K c, T e P S, K p, T les valeurs du call e pu à la dae. On vérifie que : car : T MM = =1 T S S 1 + =1 T C 1 S 1, K c, T + 1 C S, K c, T + =1 T P S, K p, T P 1 S, K p, T + 1 =1 = S T S 0 + C 0 S 0, K c, T max 0, S T K c + max 0, K p S T P 0 S 0, K p, T + = PnL C T S T, K c, 0 = max 0, S T K c P T S T, K p, 0 = max 0, K p S T c i. On calcule les valeurs du call e pu avec la formule de Black e Scholes. On obien C 0 100, 102, 1 12 = 1,4615 e P0 100, 98, 1 12 = 1,4181. On en dédui que le PnL vau respecivemen 1,9566, 0,0434 e 2,0434 si S T es égal à 95, 100 e 102. ii. On calcule les valeurs du call e pu avec la formule de Black e Scholes. On obien C 0 103, 102, 1 24 = 2,2167 e P0 103, 98, 1 24 = 0,2213. On en dédui que le mark-omarke es 1,0450 en milieu de mois. 23

24 9. Consrucion d un backes 1. Pour couvrir l indice S&P 500 en euros, on uilise la formule de la page 56 de TR-QAM. On repore sur le graphique 5 les valeurs du S&P 500 en USD e couver en EUR. En rebasan les indices à 100 le 31 décembre 1999, la valeur erminale du S&P 500 es 104,60 en USD e 103,93 en EUR couver. 2. On doi enir compe des effes de rebalancemen mensuel. Pour cela, on uilise le cadre d analyse développé dans les pages de TR-QAM. En posan G = 100 à la dae du 31 décembre 1999, la valeur de la sraégie G es 130,62 le 31 décembre Pour enir compe des frais de gesion, on uilise la formule de la page 51 de TR-QAM. La valeur nee F de la sraégie devien 117,01 le 31 décembre Sur le graphique 5, on repore les valeurs de G e F. 4. On uilise les formules des pages 58 à 71 de TR-QAM. Le rendemen annuel de la sraégie F es 1,4% alors que la volailié es égale à 9,9%. On en dédui que le raio de Sharpe 12 es égal à 0,15. Le drawdown maximum sur la période es égal à 30,9%. Il commence le 31 ocobre 2007 e fini le 9 mars Le meilleur mois es celui d avril 2009 avec une performance égale à 6,6% alors que le pire mois es celui d ocobre 2008 avec une pere de 7,7%. Les coefficiens de skewness e de kurosis son égaux à 0,16 e 8,35. Figure 5 Résulas de l exercice Pour cela, on consrui la sraégie d invesissemen non risqué en roulan les aux Euribor 1M. Cee sraégie es égale à 136,53 le 31 décembre On en dédui que le aux sans risque pour la période éudiée es 2,868%. 24

25 10. Consrucion de porefeuilles diversifiés 1. a Le porefeuille de variance minimale es défini à la page 90 de TR-QAM. On obien les résulas suivans : ρ = 0% ρ = 50% i MV ERC MDP MV ERC MDP 1 8,16% 18,18% 18,18% 0,00% 18,18% 18,18% 2 18,37% 27,27% 27,27% 0,00% 27,27% 27,27% 3 73,47% 54,55% 54,55% 100,00% 54,55% 54,55% σ x 4,29% 4,72% 4,72% 5,00% 6,68% 6,68% b Le porefeuille ERC es défini à la page 132 de TR-QAM. Les résulas son donnés dans le ableau précéden. c Le porefeuille MDP es défini à la page 133 de TR-QAM. Les résulas son donnés dans le ableau précéden. d On remarque que les porefeuilles ERC e MDP son les mêmes. On sai que : i. le porefeuille ERC correspond au porefeuille de marché lorsque la corrélaion enre les acifs es uniforme e que ous les acifs présenen le même raio de Sharpe TR-QAM, page 132 ; ii. le porefeuille MDP correspond au porefeuille de marché lorsque ous les acifs présenen le même raio de Sharpe TR-QAM, page 133. On en dédui donc que lorsque la corrélaion enre les acifs es uniforme, le porefeuille ERC coincide avec le porefeuille MDP. Une aure façon de démonrer ce résula es de considérer les propriéés donnés à la page 134 de TR-QAM. On a : w i σ w w i = w j σ w w j 1 σ w = 1 σ w σ i w i σ j w j ERC MDP Or on sai que si la corrélaion enre les acifs es uniforme, alors le porefeuille ERC TR-QAM, page 132 saisfai : x i 1 σ i On obien le résula désiré. On remarque aussi que le niveau de corrélaion uniforme n a pas d influence sur le porefeuille. Ceci s explique par le fai qu une corrélaion uniforme es un modèle avec un seul faceur e que la sensibilié à ce faceur es la même pour ous les acifs. Dans ce cas, le porefeuille ERC consise à diversifier les risques idiosyncraiques puisque le risque commun es le même pour ous les acifs. Enfin, on remarque que le porefeuille de variance minimale peu conduire à de fores concenraions. 2. Les résulas deviennen : i MV ERC MDP 1 2,94% 16,20% 14,29% 2 17,65% 24,29% 21,43% 3 79,41% 59,51% 64,29% σ x 4,46% 5,15% 4,91% 3. a La décomposiion d Euler de la volailié σ x = x Σx d un porefeuille x es donnée à la page 128 de TR-QAM. On a : σ x x = 2Σx 2 x Σx = Σx x Σx 25

26 On en dédui que : b Les résulas son les suivans : n i=1 x i σ x = x σ x x i x = x Σx x Σx = x Σx x Σx = x Σx = σ x i x i xi σ x σ i x σ i x /σ x 1 20,0% 12,043% 2,409% 37, ,0% 8,028% 2,409% 37, ,0% 3,133% 1,567% 24,540 Si on calcule la volailié, on obien σ x = 6,384%. On vérifie donc que : σ 1 x + σ 2 x + σ 3 x = 2,409% + 2,409% + 1,567% = σ x 26

27 11. Consrucion de porefeuilles efficiens 1. La composiion du porefeuille de variance minimale es : x 1 = 3,05%, x 2 = 3,05% e x 3 = 93,89%. 2. On doi résoudre un sigma-problème TR-QAM, page 97. La valeur opimale de ϕ es 0,040 e le porefeuille opimal es : x 1 = 6,11%, x 2 = 6,11% e x 3 = 87,79%. 3. Si la volailié ex-ane es fixée à 10%, la valeur opimale de ϕ es 0,445 e le porefeuille opimal es : x 1 = 37,03%, x 2 = 37,03% e x 3 = 25,94%. 4. On remarque que x 1 = x 2. C es ou à fai normal puisque les acifs 1 e 2 on les mêmes caracérisiques de rendemen espéré, de volailié e de corrélaion avec le roisième acif. 5. a On obien les résulas donnés dans le ableau suivan : i var. min. σ x = 5% σ x = 10% 1 8,00% 8,00% 37,03% 2 0,64% 3,66% 37,03% 3 91,36% 87,79% 25,94% ϕ 0 0, ,44508 b Le programme dual correspondan es TR-QAM, page 80 : λ = arg min 1 2 λ Qλ λ R s.c. λ 0 avec 13 Q = 1 2 SΣ 1 S, R = 1 2 ϕsσ 1 µ T, S = e T = 8% λ 1 es le lagrangien associé à l exposiion minimum de 8% sur le premier acif x 1 8% dans le programme primal e première ligne de S dans le programme dual. max λ 2, λ 3 es le lagrangien associé à la conraine d êre complèemen invesi 3 i=1 x i = 100% dans le programme primal e deuxième e roisième lignes de S dans le programme dual. Enfin, les lagrangiens λ 4, λ 5, λ 6 son associés aux conraines de posiivié des poids x 1, x 2 e x 3. c Il suffi de résoudre le programme dual précéden qui es un programme QP sandard en considéran la bonne valeur de ϕ qui es donnée dans le ableau de résulas de la quesion 5a. On obien λ 1 = 0, pour le porefeuille de variance minimale, λ 1 = 0, pour le porefeuille de volailié ex-ane de 5% e λ 1 = 0 pour le porefeuille de volailié ex-ane de 10%. d On vérifie que le lagrangien es nul pour le porefeuille de volailié ex-ane de 10%, puisque la conraine x 1 8% n es pas saurée. C es pour le porefeuille de variance minimale que cee conraine coûe le plus cher. En effe, ou relâchemen ε de cee conraine perme de faire baisser la variance de 0,1657% ε. 6. Si on résou le programme de variance minimale avec x 1 20%, on obien un porefeuille de volailié ex-ane égale à 5,46%. Il n exise donc pas de porefeuille don la volailié ex-ane es plus peie que cee borne inférieure. On sai que les conraines x i 0 ne son pas saurées dans le programme d opimisaion de variance minimale si l on impose ou non la conraine x 1 20%. Noons κ la borne inférieure de x 1. D après les quesions précédenes, on sai aussi que 0% κ 13. On rappelle que µ e Σ son le veceur des rendemens espérés e la marice de covariance. 27

28 20%. On cherche donc le porefeuille de variance minimale x elle que la conraine x 1 κ soi saurée e que σ x = σ = 5%. Dans ce cas, le programme d opimisaion à rois variables se rédui à un problème de variance minimale à deux variables sous la conraine x 2 + x 3 = 1 κ puisque x 1 = κ. On a donc TR-QAM, page 92 : La foncion objecif devien : x Σx = x 2 2σ x 2 x 3 ρ 2,3 σ 2 σ 3 + x 2 3σ κ 2 σ κx 2 ρ 1,2 σ 1 σ 2 + 2κx 3 ρ 1,3 σ 1 σ 3 x Σx = 1 κ x 3 2 σ κ x 3 x 3 ρ 2,3 σ 2 σ 3 + x 2 3σ κ 2 σ κ 1 κ x 3 ρ 1,2 σ 1 σ 2 + 2κx 3 ρ 1,3 σ 1 σ 3 = x 2 3 σ 2 2 2ρ 2,3 σ 2 σ 3 + σ x 3 1 κ ρ2,3 σ 2 σ 3 σ 2 2 κρ1,2 σ 1 σ 2 + κρ 1,3 σ 1 σ κ 2 σ κ 2 σ κ 1 κ ρ 1,2 σ 1 σ 2 On en dédui que : x Σx = 0 x 3 = x 1 κ σ 2 3 = 2 ρ 2,3 σ 2 σ 3 + κσ1 ρ 1,2 σ 2 ρ 1,3 σ 3 x 3 σ2 2 2ρ 2,3σ 2 σ 3 + σ3 2 Le porefeuille de variance minimale es donc : x 1 = κ x 2 = a a + c κ x 3 = b b c κ avec a = σ 2 3 ρ 2,3 σ 2 σ 3 /d, b = σ 2 2 ρ 2,3 σ 2 σ 3 /d, c = σ1 ρ 1,2 σ 2 ρ 1,3 σ 3 /d e d = σ 2 2 2ρ 2,3 σ 2 σ 3 + σ 2 3. Comme on a : σ 2 x = x 2 1σ x 2 2σ x 2 3σ x 1 x 2 ρ 1,2 σ 1 σ 2 + 2x 1 x 3 ρ 1,3 σ 1 σ 3 + 2x 2 x 3 ρ 2,3 σ 2 σ 3 = κ 2 σ a a + c κ 2 σ b b c κ 2 σ κ a a + c κ ρ 1,2 σ 1 σ 2 + 2κ b b c κ ρ 1,3 σ 1 σ a a + c κ b b c κ ρ 2,3 σ 2 σ 3 on en dédui que la soluion opimale κ elle que σ x = σ vérifie une équaion du second degré : ακ 2 + 2βκ + γ σ 2 = 0 avec : α = σ1 2 + a + c 2 σ2 2 + b c 2 σ3 2 2 a + c ρ 1,2 σ 1 σ 2 2 b c ρ 1,3 σ 1 σ a + c b c ρ 2,3 σ 2 σ 3 β = a a + c σ2 2 b b c σ3 2 + aρ 1,2 σ 1 σ 2 + bρ 1,3 σ 1 σ 3 a b c + b a + c ρ 2,3 σ 2 σ 3 γ = a 2 σ2 2 + b 2 σ abρ 2,3 σ 2 σ 3 En remplaçan par les valeurs numériques, les soluions de l équaion du second degré son κ 1 = 9,09207% e κ 2 = 2,98520%. La soluion opimale es donc κ = 9,09207%. 28

29 Encadré 8 Programme de consrucion de porefeuilles efficiens le sigma = ; le mu = ; le rho = ; rho = xpndrho; cov = rho.* sigma.* sigma ; A = ones1,3; B = 1; C = 0; D = 0; Bounds = 0~1.* ones3,1; {x0,sigma0,recode} = Qprog_Min_Variancecov,A,B,C,D,Bounds; phi0 = 0; {x1,mu1,sigma1,phi1,recode1} = Qprog_Allocaion_Solvemu,cov,A,B,C,D,Bounds,0.05,2; {x2,mu2,sigma2,phi2,recode2} = Qprog_Allocaion_Solvemu,cov,A,B,C,D,Bounds,0.10,2; prin fosa100*x0~x1~x2,"%lf",3,2; prin fosaphi0~phi1~phi2,"%lf",3,6; A = ones1,3; B = 1; C = 0; D = 0; Bounds = 0~1.* ones3,1; Bounds[1,1] = 0.08; {x0,sigma0,recode} = Qprog_Min_Variancecov,A,B,C,D,Bounds; {x1,mu1,sigma1,phi1,recode1} = Qprog_Allocaion_Solvemu,cov,A,B,C,D,Bounds,0.05,2; {x2,mu2,sigma2,phi2,recode2} = Qprog_Allocaion_Solvemu,cov,A,B,C,D,Bounds,0.10,2; prin fosa100*x0~x1~x2,"%lf",3,2; prin fosaphi0~phi1~phi2,"%lf",3,6; // Calcul du lagrangien par le programme dual S = -C A -A -eye3; T = -D B -B zeros3,1; Bounds = 0~10.* ones6,1; Q_ilde = 0.5*S*invpdcov*S ; R_ilde = 0.5*phi0*S*invpdcov*mu - T; {lambda0,u1,u2,u3,u4,recode0} = QProgzeros6,1,Q_ilde,R_ilde,0,0,0,0,Bounds; R_ilde = 0.5*phi1*S*invpdcov*mu - T; {lambda1,u1,u2,u3,u4,recode0} = QProgzeros6,1,Q_ilde,R_ilde,0,0,0,0,Bounds; R_ilde = 0.5*phi2*S*invpdcov*mu - T; {lambda2,u1,u2,u3,u4,recode0} = QProgzeros6,1,Q_ilde,R_ilde,0,0,0,0,Bounds; prin fosalambda0[1]~lambda1[1]~lambda2[1],"%lf",3,6; A = ones1,3; B = 1; C = 0; D = 0; Bounds = 0~1.* ones3,1; Bounds[1,1] = 0.20; {x0,sigma0,recode} = Qprog_Min_Variancecov,A,B,C,D,Bounds; prin fosa100*sigma0,"lower bound of he volailiy = %lf",3,2; sigma1 = sigma[1]; sigma2 = sigma[2]; sigma3 = sigma[3]; rho12 = rho[1,2]; rho13 = rho[1,3]; rho23 = rho[2,3]; d = sigma2^2-2*rho23*sigma2*sigma3 + sigma3^2; a = sigma3^2 - rho23*sigma2*sigma3/d; b = sigma2^2 - rho23*sigma2*sigma3/d; c = sigma1 *rho12 * sigma2 - rho13 * sigma3/d; alpha = sigma1^2 + a+c^2*sigma2^2 + b-c^2*sigma3^2-2*a+c*rho12*sigma1*sigma2-2*b-c*rho13*sigma1*sigma3 + 2*a+c*b-c*rho23*sigma2*sigma3; bea = a*rho12*sigma1*sigma2 + b*rho13*sigma1*sigma3 - a*b-c+b*a+c*rho23*sigma2*sigma3 - a*a+c*sigma2^2 - b*b-c*sigma3^2; gamma_ = a^2 * sigma2^2 + b^2 * sigma3^2 + 2*a*b*rho23*sigma2*sigma3; sigma_sar = 0.05; xi = realpolyrooalpha 2*bea gamma_-sigma_sar^2; prin fosa100*xi,"soluions = %lf",3,5; 29

30 12. Dérivaion des équaions de récursion du filre de Kalman 1. On a : a 1 = E 1 [α ] = E 1 [T α 1 + c + R η ] = T E 1 [α 1 ] + c = T a 1 + c e : P 1 = E 1 [ α a 1 α a 1 ] [ = E 1 T α 1 a 1 + R η T α 1 a 1 + R η ] ] = E 1 [T α 1 a 1 α 1 a 1 T + [ E 1 T α 1 a 1 η R ] [ + E 1 R η α 1 a 1 T [ E 1 R η η R ] ] + = T E 1 [α 1 a 1 α 1 a 1 ] T + R E 1 [ η η ] R = T P 1 T + R Q R 2. On a : v = y E 1 [y ] = y E 1 [Z α + d + ϵ ] = y Z a 1 d Comme a 1 es un veceur gaussien, alors v es gaussien. On a : E 1 [v ] = = [ ] E 1 y Z a 1 d [ ] Z E 1 α a 1 + E 1 [ϵ ] = 0 e : F = E 1 [ Z α a 1 + ϵ Z α a 1 + ϵ ] [ α ] = Z E 1 a 1 α a 1 Z [ + E 1 ϵ ϵ ] 3. On a aussi : E 1 [ α v ] = Z P 1 Z + H = E 1 [ α Z α a 1 + ϵ ] = E 1 [ α α a 1 ] Z = E 1 [ α a 1 α a 1 = P 1 Z [ + E 1 α ϵ ] ] Z + a 1 E 1 [ α a 1 ] Z 30

31 e : α v = = Z α Z α a 1 + ϵ I 0 α + I ϵ = A α ϵ + B 0 Z a 1 Condiionnellemen à l informaion I 1, le veceur aléaoire α, v es donc une combinaison linéaire A X + B du veceur gaussien 14 X = α, ϵ. On en dédui que : α a N 1 P, 1 P 1 Z v 0 Z P 1 F 4. Il vien que : a = E [α ] = E [ α v = y Z a 1 d ] En uilisan les résulas de la disribuion condiionnelle d un veceur gaussien TR-QAM, page 139, noe de bas de page 45, on obien direcemen : a = a 1 + P 1 Z F 1 y Z a 1 d e : P = P 1 P 1 Z F 1 Z P 1 5. Le filre de Kalman correspond donc au sysème de récursion suivan TR-QAM, page 350 : a 1 = T a 1 + c P 1 = T P 1 T + R Q R v = y Z a 1 d F = Z P 1 Z + H a = a 1 + P 1 Z F 1 y Z a 1 d P = P 1 P 1 Z F 1 Z P 1 6. On a : avec : a +1 = T +1 a + c +1 = T +1 a 1 + P 1 Z F 1 v + c+1 = T +1 a 1 + c +1 + K v K = T +1 P 1 Z F 1 K es appelée la marice de gain TR-QAM, page 350. Comme on a : v = y Z a 1 d on peu écrire le modèle espace-éa sous la forme suivane : { y = Z a 1 + d + v a +1 = T +1 a 1 + c +1 + K v Si v = 0, alors a +1 = T +1 a 1 + c +1. K indique donc commen le filre corrige l esimaion classique T +1 a 1 +c +1 lorsqu il prend en compe les erreurs d innovaion. K es donc la marice de correcion du sysème de prédicion-correcion du filre de Kalman. 14. car α e ϵ son deux veceurs gaussiens indépendans. 31

32 13. Consrucion d une posiion de carry rade 1. La noion de carry rade es développée dans TR-QAM, pages 509 à 514. Les fondemens économiques sous-jacens son expliqués à la page 509 de TR-QAM. 2. a La posiion de carry rade consise à êre long de 50 MUSD de NZD e de 50 MUSD de GBP e à êre shor de 50 MUSD de JPY e de 50 MUSD de CHF. b On es long de 50 MUSD de NZD e GBP e shor de 20 MUSD de JPY, CHF, EUR, SEK e CAD. c Si on considère une des 10 devises comme la devise de référence, alors le noionel de porage n es pas égal au noionel de financemen. Par exemple, si la devise pivo es le dollar, alors le noionnel de porage es égal à 80 MUSD alors que le noionnel de financemen es égal à 100 MUSD. Si la devise pivo es l euro, c es le noionnel de financemen qui inférieur au noionnel de porage d un monan équivalen à 20 MUSD. d On se place dans le cas de 5 devises de financemen e 5 devises de porage. On a : PnL ,24% + 6,21% + 6,17% + 5,97% + 5,74% ,14% + 2,55% + 3,79% + 4,18% + 5,37% 3 = 0,95 MUSD 3. a On uilise la méhode décrie page 100 de TR-QAM pour calibrer le porefeuille long/shor. On obien le porefeuille suivan : b La soluion devien : Devise BRL CZK HUF KRW MXN Poids 15,0% 1,3% 4,1% 1,6% 14,3% Devise PLN SGD THB TRY TWD Poids 2,8% 13,6% 14,4% 15,5% 20,9% Devise BRL CZK HUF KRW MXN Poids 13,7% 9,5% 4,7% 16,5% 6,6% Devise PLN SGD THB TRY TWD Poids 2,0% 17,8% 20,7% 18,0% 13,5% c Le carry de ce porefeuille es 6,694% par an. On en dédui que le aux de dévaluaion ou de réévaluaion maximal supporable pour que le PnL rimesriel rese posiif es 1,67% si l exposiion es 100%. En enan compe des différenes exposiions, on obien les aux de dévaluaion e de réévaluaion + suivans : d On obien les résulas suivans : Devise BRL CZK HUF KRW MXN Variaion 12,2% +17,6% 35,9% 10,1% 25,3% Devise PLN SGD THB TRY TWD Variaion 81,9% +9,4% +8,1% 8,3% +12,4% Devise BRL CZK HUF KRW MXN Poids 22,8% 15,9% 7,8% 27,5% 11,0% Devise PLN SGD THB TRY TWD Poids 3,4% 29,6% 34,5% 30,0% 22,4% Le levier de ce porefeuille TR-QAM, page 56 es égal à 205%, alors qu il vau 103% e 123% pour les porefeuilles des quesions a e b. Il es ou à fai normal que le levier augmene de 66,7% lorsque l on passe d une volailié de 3% à une volailié de 5%, puisque le rappor des soluions es proporionnelle au rappor des volailiés car il n y a aucune conraine à par celle d auo-financemen. 32

33 Encadré 9 Calibraion des porefeuilles de carry rade PnL = 20 / 3 * / / 3 * / 100; prin fosapnl,"pnl = %lf",3,6; le mu[10,1] = ; le sigma[10,1] = ; le rho[10,10] = ; mu = mu/100; sigma = sigma/100; cov1 = eye10.* sigma.* sigma ; cov2 = rho.* sigma.* sigma ; A = ones1,10; B = 0; C = 0; D = 0; Bounds = -10~10.* ones10,1; // Quesion 3.a {x1,mu1,sigma1,phi1,recode1} = Qprog_Allocaion_Solvemu,cov1,A,B,C,D,Bounds,0.03,2; prin fosareshapex1,2,5,"%lf",3,3; // Quesion 3.b {x2,mu2,sigma2,phi2,recode2} = Qprog_Allocaion_Solvemu,cov2,A,B,C,D,Bounds,0.03,2; prin fosareshapex2,2,5,"%lf",3,3; // Quesion 3.c prin fosa100*mu2,"carry = %lf",3,3; dev = - mu2/4./ x2; prin fosa100*reshapedev,2,5,"%lf",3,3; PnL = sumcx2.* mu/3; prin fosapnl,"pnl = %lf",3,6; // Quesion 3.d {x3,mu3,sigma3,phi3,recode3} = Qprog_Allocaion_Solvemu,cov2,A,B,C,D,Bounds,0.05,2; prin fosareshapex3,2,5,"%lf",3,3; Leverage = sumcabsx1 sumcabsx2 sumcabsx3; prin fosaleverage,"%lf",3,2; 33

34 14. Bêa d un porefeuille 1. On noe R i e R x les rendemens de l acif i e du porefeuille x. Soi R = R 1,..., R n le veceur des rendemens des acifs. On noe µ l espérance du veceur R. On a : n R x = x i R i = x R i=1 Le bêa de l acif i par rappor au porefeuille x es le rappor enre la covariance du rendemen de l acif i e du porefeuille, e la variance du porefeuille TR-QAM, page 264 : On a : e : On en dédui donc que : 2. a On en dédui que : β i = cov R i, R x var R x var R x = E [R x E [R x ] 2] [ x = E R x µ ] 2 [ ] = E x R µ R µ x [ = x E R µ R µ ] x = x Σx cov R, R x = E [R x E [R x ] R µ] = E [ x R µ R µ ] = Σx β i = Σx i x Σx n x i β i = i=1 n i=1 x i Σx i x Σx = x Σx x Σx = 1 Si β i = β j = β, alors β = 1 es une soluion évidene puisque l égalié précédene es vérifiée : b Si β i = β j = β, alors on a : i=1 n x i β i = i=1 n x i = 1 i=1 n 1 x i β = 1 β = n i=1 x = 1 i β ne peu prendre qu une seule valeur, la soluion es donc unique. On sai que les volailiés marginales des acifs son égales dans le porefeuille de variance minimale TR-QAM, page 90 : σ x x i = σ x x j 34

35 avec σ x = x Σx la volailié du porefeuille. Une aure expression de l égalié précédene es : Σx i x Σx = Σx j x Σx 3. a On a : En divisan cee égalié par x Σx, on obien : β i = β j Dans un porefeuille de variance minimale, le bêa des acifs i es le même e vau 1. n x i β i = 1 i=1 n x i β i = i=1 n x i β i i=1 n i=1 x i n x i = 0 i=1 n x i β i 1 = 0 i=1 On obien donc le sysème suivan : { n i=1 x i β i 1 = 0 x i 0 On suppose que l acif j a un bêa supérieur à 1. On a donc : { xj β j 1 + i j x i β i 1 = 0 x i 0 x j β j 1 > 0 car x j > 0 sinon le bêa serai nul, il fau donc que i j x i β i 1 < 0. Comme x i 0, il es nécessaire qu un ire au moins ai un bêa inférieur à 1. b On uilise les noaions habiuelles concernan la représenaion de Σ. On cherche un porefeuille el que β 1 > 0, β 2 > 0 e β 3 < 0. Pour simplifier le problème, on considère que les rois acifs on la même volailié. On obien alors le sysème suivan : x 1 + x 2 ρ 1,2 + x 3 ρ 1,3 > 0 x 1 ρ 1,2 + x 2 + x 3 ρ 2,3 > 0 x 1 ρ 1,3 + x 2 ρ 2,3 + x 3 < 0 Il suffi donc que x 1 ρ 1,3 + x 2 ρ 2,3 soi négaif e que x 3 soi pei. Par exemple, on peu prendre x 1 = 50%, x 2 = 45%, x 3 = 5%, ρ 1,2 = 50%, ρ 1,3 = 0% e ρ 2,3 = 50%. On obien β 1 = 1,10, β 2 = 1,03 e β 3 = 0,27. 35

36 15. Maximum de vraisemblance des modèles Probi e Logi 1. Le modèle Probi es défini à la page 270 de TR-QAM. On a : Pr {y = 1} = Φ x β 2. La foncion de log-vraisemblance es TR-QAM, page 270 : avec : l = n i=1 l i = ln Pr {y i = 1} yi Pr {y i = 0} 1 yi = y i ln Φ x i β + 1 y i ln 1 Φ x i β l i 3. On a : l i ϕ x = y i β x i,k i β k Φ x i β 1 y i ϕ x i β x i,k 1 Φ x i β = y i 1 Φ x i β 1 y i Φ x i β Φ x i β 1 Φ x i β ϕ x i β x i,k 4. Le veceur gradien es G = G 1,..., G K avec : = y i Φ x i β Φ x i β 1 Φ x i βϕ x i β x i,k G k = l β k = n i=1 l i β k On en dédui que l élémen k, j de la marice hessienne es : On a ϕ x = xϕ x e : H k,j = n i=1 2 l i β k β j β j Φ x i β 1 Φ x i β = ϕ x i β x i,j 1 Φ x i β Φ x i β ϕ x i β x i,j = 1 2Φ x i β ϕ x i β x i,j yi Φ x i β ϕ x i β β j = y i Φ x i β ϕ x i β x i β x i,j ϕ 2 x i β x i,j = y i x i β + Φ x i β x i β ϕ x i β ϕ x i β x i,j On noe : e : A = Φ x i β 2 1 Φ x i β 2 ϕ x i β x i,j x i,k 2 l i β k β j B = Φ x i β 2 1 Φ x i β 2 ϕ x i β c i 36

37 On obien : e : A = y i x i β + Φ x i β x i β ϕ x i β Φ x i β 1 Φ x i β yi Φ x i β 1 2Φ x i β ϕ x i β On en dédui que : = y i Φ x i β x i β + Φ 2 x i β x i β Φ x i β ϕ x i β + y i Φ 2 x i β x i β Φ 3 x i β x i β + Φ 2 x i β ϕ x i β y i ϕ x i β + Φ x i β ϕ x i β + 2y i Φ x i β ϕ x i β 2Φ 2 x i β ϕ x i β = Φ 3 x i β x i β + Φ 2 x i β 1 + y i x i β ϕ x i β + Φ x i β y i x i β + 2ϕ x i β y i ϕ x i β B = y i ϕ x i β + x i βφ x i β 1 Φ x i β y i ϕ x i β x i β 1 Φ x i β Φ x i β 2 = y i ϕ x i β + y i Φ x i β x i β 2y i Φ x i β ϕ x i β 2y i Φ 2 x i β x i β + y i Φ 2 x i β ϕ x i β + y i Φ 3 x i β x i β + Φ 2 x i β ϕ x i β y i Φ 2 x i β ϕ x i β Φ 2 x i β x i β + Φ 3 x i β x i β + y i Φ 2 x i β x i β y i Φ 3 x i β x i β = Φ 3 x i β x i β + Φ 2 x i β 1 + y i x i β + ϕ x i β + Φ x i β y i x i β 2ϕ x i β + y i ϕ x i β = A n 2 l i H = β β i=1 n ϕ x i = A β i=1 Φ x i β 2 1 Φ x i β 2 x i x i n ϕ x i = B β i=1 Φ x i β 2 1 Φ x i β 2 x i x i n = c i x i x i i=1 5. L algorihme de Newon-Raphson associé au programme d opimisaion de la foncion de logvraisemblance es TR-QAM, page 122 : β s+1 = β s λ s H 1 s G s avec G s e H s le veceur gradien e la marice hessienne définis précédemmen au poin β = β s, λ s le pas de la descene à l iéraion s e β s la valeur de β à l iéraion s. On iniialise l algorihme avec β 0 = X X 1 X Y la soluion des moindres carrés ordinaires. 37

38 6. Dans le cas du modèle Logi, on a TR-QAM, page 270 : avec : On noe f z la densié associée : Pr {y = 1} = F x β F z = e z e z f z = 1 + e z 2 On en dédui que la log-vraisemblance l, le veceur gradien G e la marice hessienne H son : l = G = n i=1 ln 1 + e β x i + 1 y i x i β n yi F x i β x i β i=1 H = n f x i β x i x i i=1 38

39 16. Consrucion de porefeuilles ilés 1. Le porefeuille ERC es défini à la page 132 de TR-QAM. On obien les résulas suivans : i x i xi σ x σ i x σ i x /σ x 1 32,47% 10,83% 3,52% 25,00% 2 25,41% 13,84% 3,52% 25,00% 3 21,09% 16,67% 3,52% 25,00% 4 21,04% 16,71% 3,52% 25,00% 2. Le benchmark b es le porefeuille ERC précéden. Le programme d opimisaion correspond à celui décri à la page 104 de TR-QAM. Objecif de TE Benchmark ERC 1% 5% 10% max x 1 32,47% 38,50% 63,48% 96,26% 100,00% x 2 25,41% 20,16% 0,00% 0,00% 0,00% x 3 21,09% 20,18% 15,15% 0,00% 0,00% x 4 21,04% 21,16% 21,37% 3,74% 0,00% µ x b 1,13% 5,66% 8,05% 8,24% σ x b 1,00% 5,00% 10,00% 10,87% ir x b 1,13 1,13 0,81 0,76 σ x 14,06% 13,89% 13,86% 14,59% 15,00% ρ x b 99,75% 93,60% 75,70% 72,19% a Si la racking error es fixée à 1%, le porefeuille opimal es 38,50%, 20,16%, 20,18%, 21,16%. On obien une surperformance de 1,13% e donc un raio d informaion égal à 1,13. b Les résulas son donnés dans le ableau précéden. Pour une racking error égale à 10%, le raio d informaion du porefeuille opimal diminue e es égal à 0,81. c On a 15 : σ x b = σ 2 x 2ρ x b σ x σ b + σ 2 b On suppose que ρ x b ρ min, ρ max. Comme x peu êre égal à b, ρ max es égal à 1. On a donc : 0 σ x b σ 2 x 2ρ min σ x σ b + σ 2 b Si ρ min = 1, la borne maximale de la volailié de racking error es : σ x b σ x + σ b Si ρ min = 0, la borne maximale de la volailié de racking error devien : σ x b σ 2 x + σ 2 b Si ρ min = 50%, on uilise l inégalié de Cauchy-Schwarz, e on obien : σ x b σ 2 x σ x σ b + σ 2 b σ x σ b 2 + σ x σ b σ x σ b + σ x σ b Comme on a imposé une conraine long only, il es difficile de rouver un porefeuille qui présene une corrélaion négaive. D ailleurs, si on regarde les résulas précédens, on a des 15. On rappelle que la corrélaion enre le porefeuille x e le benchmark b es égale à : ρ x b = x Σb x Σx b Σb 39

40 corrélaions qui son largemen supérieures à 50%. Dans ce cas, σ x σ b e l ordre de grandeur de σ x b es σ b. Comme σ b es égal à 14,06%, il es impossible de rouver un porefeuille don la volailié de racking error soi égale à 35%. Même si on prend un corrélaion nulle pour ρ x b, comme σ x σ b, alors l ordre de grandeur de σ x b es 2σ b, c esà-dire 28%. On es encore loin de la cible de 35%. D ailleurs, si on cherche le porefeuille qui a la plus grande volailié de racking error, on obien la soluion 100%, 0%, 0%, 0%. La racking error maximale es alors égale à 10,87%. Il n y a donc pas de soluion à cee quesion. 3. On obien les résulas suivans : Objecif de TE Benchmark ERC 1% 5% 10% 35% x 1 32,47% 38,50% 62,65% 92,82% 243,72% x 2 25,41% 20,16% 0,83% 27,07% 158,28% x 3 21,09% 20,18% 16,54% 11,99% 10,77% x 4 21,04% 21,16% 21,65% 22,27% 25,34% µ x b 1,13% 5,67% 11,34% 39,71% σ x b 1,00% 5,00% 10,00% 35,00% ir x b 1,13 1,13 1,13 1,13 σ x 14,06% 13,89% 13,93% 15,50% 34,96% ρ x b 99,75% 93,62% 77,55% 19,81% La suppression de la conraine long only perme mainenan de rouver un porefeuille opimal qui a une volailié de racking error égale à 35%. On remarque aussi que ous les porefeuilles opimaux présenen le même raio d informaion. Ceci es ou à fai normal puisqu en l absence de conraines, la fronière efficiene {σ x b, µ x b} es une droie TR-QAM, page 106. Tous les porefeuilles opimaux on donc le même raio d informaion : ir x b = µ x b σ x b = consane On noe x 0 le porefeuille opimal correspondan à une volailié de racking error donnée. Alors en l absence de conraines, ous les porefeuilles opimaux s écriven : x = b + l x 0 b On décompose donc ou porefeuille opimal x comme la somme du porefeuille benchmark b e d un porefeuille long/shor x 0 b que l on leverage. Considérons les résulas précédens. On peu prendre comme porefeuille de référence x 0 le porefeuille qui a une racking error égale à 1%. On vérifie que le porefeuille opimal don la racking error es égale à 5% resp. 10% e 35% es un porefeuille leveragé 5 fois resp. 10 e 35 fois par rappor à x 0. En effe, on a : σ x b = σ b + l x 0 b b = l σ x 0 b b = l σ x 0 b On en dédui que le levier es le rappor des volailiés de racking error : Dans ce cas, on vérifie que : l = σ x b σ x 0 b ir x b = µ b + l x 0 b b l σ x 0 b = l µ x 0 b l σ x 0 b = µ x 0 b σ x 0 b 40

41 17. Idenificaion d un modèle espace-éa 1. a Si σ i = 0, on obien TR-QAM, page 354 : µ i = µ i 1 + ci = µ i 0 + ci Dans ce cas, µ i, µ i µ i es une endance déerminisique. Comme le erme η i es une endance sochasique. b L équaion de mesure es TR-QAM, page 349 : y = 1 1 µ 1 µ 2 perme de bruier alors que l équaion de ransiion es : µ µ 1 µ 2 = µ 2 1 avec : c On a : η 1 η 2 N 0 0 c 1 + c 2 σ 2, σ L y = 1 L µ L µ 2 = c 1 + η 1 + c 2 + η 2 η 1 η 2 La forme saionnaire de y es donc S y = 1 L y TR-QAM, pages La foncion d auocovariance associée es : Γ i = E [S y E [S y i ] 2] { σ 2 = 1 + σ2 2 si i = 0 0 sinon d La foncion d auocovariance perme d idenifier σ σ 2 2, mais ne perme pas d idenifier séparémen les paramères σ 1 e σ 2 Le modèle espace-éa n es donc pas idenifiable. 2. a L équaion de mesure es : y 1 y 2 alors que l équaion de ransiion es : f f 2 = 0 1 avec : η 1 η 2 A1,1 A = 1,2 A 2,1 A 2,2 f 1 1 f N 0 f 1 f σ 2, σ2 2 η 1 η 2 41

42 b On pose y = y 1, y 2. La forme saionnaire vecorielle de y es : avec η = η 1, η 2. S y = 1 L y = = Zη A1,1 A 1,2 A 2,1 A 2,2 c La forme saionnaire de y es un modèle espace-éa. On applique donc la formule de la page 409 de TR-QAM qui donne la densié specrale muli-dimensionnelle. On obien : F Sy λ = 1 σ 2π Z σ2 2 Z = 1 A 2 1,1σ1 2 + A 2 1,2σ2 2 A 1,1 A 2,1 σ1 2 + A 1,2 A 2,2 σ2 2 2π A 1,1 A 2,1 σ1 2 + A 1,2 A 2,2 σ2 2 A 2 2,1σ1 2 + A 2 2,2σ2 2 η 1 η 2 d La densié specrale es une marice qui ne dépend pas de la fréquence λ. On a : A 2 1,1σ1 2 + A 2 1,2σ2 2 = I 1 0 A 1,1 A 2,1 σ1 2 + A 1,2 A 2,2 σ2 2 = I 12 0 A 2 2,1σ1 2 + A 2 2,2σ2 2 = I 2 0 où I 1 λ e I 2 λ son les périodogrammes de S y 1 e S y 2 e I 12 λ es le périodogramme croisé de S e S TR-QAM, page 409. On a un sysème de 3 équaions à 6 paramères, le modèle espace-éa n es donc pas idenifiable. y 1 e On noe f 3 = f 2 f 1. On a : e : y 2 y i = A i,1 f 1 + A i,2 f 2 = A i,1 f 1 + A i,2 f 1 + f 3 f 3 = A i,1 + A i,2 f 1 + A i,2 f 3 = f 2 f 1 = f η2 = f 2 1 f = f η2 η 1 On obien le modèle espace-éa suivan : y 1 A1,1 + A y 2 = 1,2 A 1,2 A 2,1 + A 2,2 A 2,2 f f 1 f 3 = f La représenaion espace-éa n es donc pas unique. f η1 η 2 η 1 f 1 f η 1 η 2 42

43 18. Calcul d un indice d acions 1. La plupar de ces indices son décris à la page 629 de TR-QAM. a Indices européens i. AEX es l indice de la bourse d Amserdam. Il compore 25 valeurs hollandaises Ahold, Heineken, Phillips, Royal Duch, Unilever, ec. ii. BEL ou BEL 20 es l indice de la bourse de Bruxelles. Il compore 20 valeurs belges InBev, Belgacom, Dexia, ec. iii. CAC ou CAC 40 es l indice des 40 plus grandes valeurs françaises Toal, Sanofi-Avenis, BNP Paribas, ec.. iv. DAX es l indice de la bourse de Francfor. Il compore 30 valeurs allemandes Adidas, Allianz, Siemens, Volkswagen, ec. v. FTSE 100 ou foosie es l indice des 100 plus grandes valeurs anglaises BP, Royal Duch, Vodafone, ec.. vi. IBEX es l indice de la bourse de Madrid. Il compore 35 valeurs espagnoles Banco Sanander, BBVA, ec.. vii. MIB es l indice de la bourse de Milan. Il compore 40 valeurs ialiennes Fia, Enel, Eni, ec.. viii. OMX es le principal indice boursier de la bourse de Sockholm. Il compore 30 valeurs suédoises Elecrolux, Ericsson, Nordea, Volvo, ec.. ix. SBF ou SBF 120 es l indice des 120 plus grandes valeurs françaises. x. SMI es l indice des 20 plus grandes valeurs suisses Neslé, Novaris, UBS, ec.. b Indices américains i. DOW JONES Dow Jones Indusrial Average ou DJIA es le plus vieil indice boursier du monde. Il compore 30 valeurs américaines coées à la bourse de New York Boeing, Exxon, JP Morgan, Wal-Mar, ec.. ii. NASDAQ es l indice boursier des 100 plus grandes valeurs echnologiques américaines Apple, Google, Oracle, Microsof, ec. du marché d acions élecronique NASDAQ Naional Associaion of Securiies Dealers Auomaed Quoaions. iii. S&P 100 e S&P 500 son les indices boursiers basés respecivemen sur les 100 e 500 grandes sociéés coées à Wall Sree. iv. TSE es l indice de la bourse de Torono. Il compore 60 valeurs canadiennes. c Indices des pays émergens e des pays d Asie i. ASX es l indice des acions ausraliennes. Les deux indices les plus uilisés son ASX 20 e ASX 200. ii. BOVESPA es l indice des acions brésiliennes. Il compore une cinquanaine de ires. iii. HSCEI es l indice des acions H-Shares coées à Hong Kong China Life Insurance, Bank of China, China Consrucion Bank, Perochina, ec.. Il compore 40 valeurs. iv. HSI es l indice Hang Seng des acions chinoises coées à Hong Kong. Il compore une cinquanaine de valeurs. v. KOSPI es l indice des acions coréennes. L indice KOSPI 200 compore 200 valeurs. vi. NIKKEI e TOPIX son des indices d acions japonaises. Ils comporen respecivemen 225 NIKKEI 225 e 100 TOPIX 100 valeurs. 2. Les calculaeurs d indices les plus célèbres son : FTSE FTSE 100, MIB, ec., Sandard s & Poors ASX 20, S&P 100, S&P 500, TSE 60, ec., Dow Jones DJIA, STOXX, ec., Deusche Börse DAX, STOXX, ec. Il fau aussi cier MSCI Morgan Sanley Composie Index 43

44 3. Les différences enres les indices Eurosoxx, Eurosoxx 50, Soxx e Soxx 50 son expliquées à la page 628 de TR-QAM. L indice Soxx 600 correspond aux 600 plus grosses valeurs européennes. L indice Eurosoxx es un sous-indice de l indice Soxx 600 e ne considère que les valeurs de la zone euro. Enfin, les indices Eurosoxx 50 e Soxx 50 corresponden aux 50 plus grandes valeurs des indices Eurosoxx e Soxx 600. On a donc : e : Eurosoxx 50 Eurosoxx Soxx 600 Soxx 50 Soxx 600 Le calculaeur de ce indice es STOXX Dow Jones e Deusche Börse. Les rebalancemens de l indice son rimesriels Mars, Juin, Sepembre e Décembre e les poids de l indice son calculés rimesriellemen en considéran la capialisaion boursière floane. 4. On peu cier les indices Bovespa Brésil, Mexican Bolsa Mexique, Nify Inde, RTS Russie, HSCEI Chine, ec. 5. La valeur des différens indices que l on va calculer es donnée dans le ableau suivan : I 1 I 2 I 3 I 4 I ,00 100,00 100,00 100,00 100, ,89 106,83 106,83 103,81 103, ,04 119,33 119,33 115,07 116, ,02 115,21 115,21 111,94 112, ,11 122,50 122,50 119,27 119, ,60 126,41 126,35 123,02 122, ,04 125,84 125,78 122,84 122, ,55 107,81 107,76 106,58 106, ,72 104,89 104,84 103,64 103, ,06 107,30 107,25 106,82 106,67 On indique aussi le rendemen journalier en % de ces indices : I 1 I 2 I 3 I 4 I R 1 2 3,89 6,83 6,83 3,81 3, ,69 11,69 11,69 10,85 11,69 4 3,46 3,45 3,45 2,73 3,46 5 6,33 6,33 6,33 6,56 6,33 6 2,92 3,19 3,15 3,14 3,14 7 0,45 0,45 0,45 0,14 0, ,33 14,33 14,33 13,24 13,24 9 2,71 2,71 2,71 2,75 2, ,29 2,29 2,29 3,06 3,06 Dans ce exercice, il convien surou de ne pas raisonner en poids comme il es expliqué dans le chapire 1 de TR-QAM pages 47 à 50. Tous les calculs doiven se faire par rappor aux nombres d acions déenues. a On défini l indice price index de la façon suivane TR-QAM, page 628 : I 1 = c 3 N i S i i=1 Le coefficien c es el que I 1 1 es égal à 100. Comme N i ne change pas pendan la période, on a donc : 3 i=1 I 1 = N i S i 3 i=1 N i S i 1 44

45 L indice price index I 1 es reporé dans le ableau précéden. On a aussi calculé le rendemen journalier correspondan : R 1 = I 1 I b La noion d indice oal reurn es définie à la page 629 de TR-QAM. On doi mainenan inégrer les dividendes. Une erreur serai de calculer l indice de la façon suivane : I 2 = c 3 N i S i + D i i=1 En effe, dans cee formule, le dividende impace l indice uniquemen le jour de ombée du dividende. Il n y a donc pas de capialisaion du dividende. Si on uilise cee formule, on a donc I 2 = I 1 pour 7, ce qui es faux. Pour capialiser les dividendes, on calcule I 2 de la façon suivane : 3 i=1 I 2 = I 2 1 N i S i + D i 3 i=1 N i 1 S i 1 Les résulas son donnés dans les ableaux précédens. On vérifie que lorsqu il n y a pas de ombée de dividende, on a R 2 = R 1 alors que R 2 > R 1 lorsque un dividende es payé à la dae. Bien sûr, on a : I 2 I 1 c Comme il y a une axe sur les dividendes de 17% sur les acions 1 e 2, on ne peu récupérer inégralemen les dividendes 3 e 0,1 euros de ces acions. On noe τ i la axe à appliquer sur l acion i. L indice ne reurn es alors défini de la façon suivane : 3 i=1 I 3 = I 3 1 N i S i + 1 τ i D i 3 i=1 N i 1 S i 1 On a l inégalié suivane : I 2 I 3 I 1 d L acion 1 sor de l indice price index e elle es remplacée par l acion 4 à la dae = 5. On considère l indice I 4 poran sur les acions 2, 3 e 4 : 4 i=2 I 4 = N i S i 4 i=2 N i S i 1 L indice price index I 5 enan compe de ce rebalancemen doi donc se comporer comme l indice I 1 si 5 e comme l indice I 4 si 5. Pour > 5, on a aussi : I 5 = c 4 N i S i Comme I 5 5 = I 1 5 = I 4 5, on en dédui que le faceur d ajusemen c es : 3 i=1 c = N i S i 5 4 i=2 N i S i 5 e Le raio dividend yield DY i es D i /S i au momen de la ombée du dividende TR-QAM, page 582. On obien DY 1 = 3.26%, DY 2 = 0.05%, DY 3 = 4.44% e DY 4 = 0.12%. On en dédui que les acions 1 e 3 son value alors que les acions 2 e 4 son growh TR-QAM, page 26. Si on calcule le poids moyen des acions dans l indice oal reurn sur les 10 daes, on obien w 1 = 9.14%, w 2 = 25.55% e w 3 = 65.31%. On en dédui que le dividend yield de l indice oal reurn es 3 i=1 w i DY i = 3.21%. On peu donc classer ce indice comme value. i=2 45

46 19. Roll d une posiion de fuures 1. La valeur du conra fuures sur l indice CAC 40 correspond à 10 euros par poin de l indice CAC Ainsi, si l indice CAC 40 vau poins, le fuures CAC 40 vau euros. Les négociaions poren sur quaorze échéances glissanes : 3 mensuelles, 3 rimesrielles du cycle mars, juin, sepembre, décembre e 8 semesrielles du cycle juin/décembre. Si on se place le 1 er novembre 2011, on a donc 14 conras don les échéances son nov. 2011, déc. 2011, janv. 2012, mars 2012, juin 2012, sep. 2012, déc. 2012, juin 2013, déc. 2013, juin 2014, déc. 2014, juin 2015, déc. 2015, juin Le monan du dépô de garanie es égal à euros. 2. La valeur du fuures S&P 500 correspond à 500 dollars par poin de l indice S&P 500. Si le S&P 500 côe poins, alors la valeur du fuures S&P 500 es égale à dollars. Si on cherche à avoir une exposiion à l indice S&P 500 de dollars, on peu : a soi acheer un seul conra fuures ; dans ce cas, l exposiion es de dollars e on a une sous-exposiion égale à 21,88% ; b soi acheer deux conras ; dans ce cas, l exposiion es de dollars e on a une surexposiion égale à 56,25% ; En sepembre 1997, le CME inrodui le conra fuures mini S&P 500 ou E-mini S&P qui correspond à 1 /10 de la valeur du conra fuures S&P 500. Dans l exemple précéden, l invesisseur peu êre long d un conra fuures S&P 500 e de 3 conras fuures E-mini S&P, ce qui lui perme d avoir une exposiion égale à dollars à l indice S&P 500. Le conra fuures mini S&P 500 perme donc de raier des ailles beaucoup plus faibles que le conra fuures S&P Les conras fuures sur maières premières son expliqués à la page 632 de TR-QAM. Le caracère conango-backwardaion de ces fuures es illusré aux pages de TR-QAM. 4. a Pour calculer l indice héorique I 1, on doi d abord calculer la valeur de la sraégie non financée. Pour cela, il fau rebalancer la posiion du fuures F 1 sur le conra F 2 le 15 janvier. On obien l indice I 1 qui saisfai : I 1 = { F 1 si 15/01 F 1 15/01 F F 215/01 2 si > 15/01 On rebase ensuie la valeur de l indice I 1 à 100 le 7 janvier. On obien l indice I 1. Enfin, on ransforme la valeur de la sraégie non financée en sraégie financée en inégran la rémunéraion du aux sans risque TR-QAM, pages : avec : I 1 = I R 1 + r 1 d I 1 R1 = I1 1 1 e d l inervalle de emps enre 1 e exprimé en nombre de jours sur 365. Sur le ableau suivan, on indique les valeurs prises par I 1, I1, R1 e I 1 : I 1 I1 R1 I 1 07/01 97,60 100,00 100,00 08/01 98,20 100,61 0,61% 100,62 09/01 99,30 101,74 1,12% 101,76 10/01 99,00 101,43 0,30% 101,46 11/01 97,60 100,00 1,41% 100,03 14/01 95,40 97,75 2,25% 97,80 15/01 98,10 100,51 2,83% 100,58 16/01 97,53 99,93 0,58% 100,00 17/01 97,05 99,44 0,49% 99,52 18/01 99,05 101,49 2,06% 101, La descripion complèe du fuures CAC 40 es disponible à l adresse suivane :hp://globalderivaives.nyx.com/ sies/globalderivaives.nyx.com/files/ pdf.. 46

47 La valeur erminale de l indice I 1 es donc 101,58. b Si on roule la posiion F 1 sur le conra F 3 à l échéance, on obien l indice I 2 du ableau suivan : I 1 I 2 I 3 I 4 07/01 100, , , , /01 100, , , , /01 101, , , , /01 101, , , , /01 100, , , , /01 97, , , , /01 100, , , , /01 100, , , , /01 99, , , , /01 101, , , ,5803 La valeur erminale de l indice I 2 es donc 101,47. c Si on roule la posiion F 1 sur le conra F 2 deux jours avan l échéance du conra fuures F 1, on obien obien l indice I 3 du ableau précéden. La valeur erminale de l indice I 3 es donc 101, a On noe g la fracion correspondan au dépô de garanie g = 10% e s le spread pris par la chambre de compensaion s es égal à 50 pbs. L indice I 4 es donc égal à : I 4 = I R g r 1 + g r 1 s d = I R 1 + r 1 g s d Par rappor à l indice I 1, il fau donc déduire la rémunéraion journalière de la chambre de compensaion qui es égale à g s d. Les valeurs de l indice I 4 son reporées dans le ableau précéden. b La performance héorique d un invesissemen de euros enre le 7 janvier e le 18 janvier es donc égale à , /100, c es-à-dire 15,80 euros. c Si l invesisseur dispose de euros, il peu acheer 102 conras fuures F 1 le 7 janvier : x = % 97,6 = 102 Le dépô de garanie s élève donc à % 97,6, soi 995,52 euros. L invesisseur peu donc placer le complémen, c es-à-dire ,52 = 4,48 euros, au aux sans risque. Le 15 janvier, le conra F 1 arrive à échéance. Il a donc gagné ,1 97,6 = 51,00 euros. La chambre de compensaion rend à l invesisseur son dépô de garanie rémunéré, qui vau 995,59 euros. Le complémen es mainenan valorisé 4,48 euros. La richesse de l invesisseur devien donc : W = 51, ,59 + 4,48 = 1 051,07 Le même jour, l invesisseur achèe 102 conras fuures F 2 : x = 1 051,07 10% 103,0 = 102 Le dépô de garanie devien donc % 103,0, soi 1 050,60 euros. L invesisseur place le monan resan, c es-à-dire 1 051, ,6 = 0,47 euros, au aux sans risque. Le 18 47

48 janvier, l invesisseur déboucle sa posiion en fuures. Sa richesse es alors égale au gain réalisé sur les fuures F 2 plus le dépô de garanie rémunéré e le complémen acualisé : W = ,0 103, ,67 + 0,47 = 102, ,67 + 0,47 = 1 153,14 La performance réelle d un invesissemen de euros enre le 7 janvier e le 18 janvier es donc égale à 153,14 euros. d Les appels de marge von modifier les calculs précédens, puisqu ils von impacer le dépô de garanie e donc le nombre de conras. On considère un conra fuures el que F 0 = 100, F 1 = 95 e F 2 = 100. Avec euros, on peu acheer 100 conras. En = 1, l invesisseur perd 500 euros. Il es donc obligé de déboucler 48 conras. L exposiion ne pore plus sur 100 conras, mais sur 52 conras. En = 2, l invesisseur gagne 260 euros. L exposiion peu mainenan porer sur 76 conras. Si on n avai pas enu compe des appels de marge, l exposiion porerai oujours sur 100 conras. Les appels de marge accélèren donc les effes de levier à la baisse e à la hausse. 48

49 20. Processus fracionnaire e sraégie d invesissemen long/shor 1. Un processus fracionnaire y d ordre d correspond à TR-QAM, page 411 : 1 L d y = ε avec d < 0,5 e ε N 0, σ La représenaion MA infinie es TR-QAM, page 411 : y = θ k ε k avec : θ k = k=0 k + d 1! k! d 1! La représenaion AR infinie es TR-QAM, page 411 : ϕ k y k = ε k=0 avec : k d 1! ϕ k = k! d 1! On obien les résulas suivans pour d = 0,3 e d = 0,3 : k d = 0,3 θ k 1 0,3 0,105 0,059 0,040 0,030 0,023 0,019 0,016 ϕ k 1 0,3 0,195 0,149 0,123 0,106 0,094 0,084 0,077 d = 0,3 θ k 1 0,3 0,195 0,149 0,123 0,106 0,094 0,084 0,077 ϕ k 1 0,3 0,105 0,059 0,040 0,030 0,023 0,019 0, On a : car 17 : sin 2 λ 2 f λ = σ2 1 2π 1 e iλ d 2 = σ2 1 e iλ 2d 2π = σ2 2π = σ2 2π = σ2 2π = σ2 2π = 1 2 d 1 cos λ 2 + sin 2 λ 2 1 cos λ d 4 sin 2 λ d 2 2 sin λ 2d 2 λ cos 2 λ λ cos λ 2 = 1 1 cos λ On uilise la relaion rigonomérique suivane : sin α sin β = 1 cos α β cos α + β 2 49

50 La méhode de While pour esimer les paramères dans le domaine specral consise à maximiser la log-vraisemblance suivane : l = n 2 ln 2π 1 n 1 ln f λ j j=0 n 1 j=0 I λ j f λ j où f λ e I λ son les valeurs de la densié specrale e du périodogramme pour la fréquence λ. On obien donc : l = n n 1 2 ln σ2 + d n ln 2 + ln sin λ j π n 1 2 σ 2 2 sin λ 2d I λ j 2 4. a On peu calculer la prévision ˆR +1 à parir de la réprésenaion AR infinie : [ ] ˆR +1 = E ϕ k R k + ε +1 I j=0 = k=0 ϕ k R k k=0 En praique, on choisi une valeur m elle que la somme k=m+1 ϕ k soi négligeable. On a donc : m ˆR +1 ϕ k R k k=0 Si ˆR +1 > 0 resp. ˆR +1 < 0, il es préférable d êre long resp. shor du ire. On peu donc proposer la foncion d exposiion suivane : { +1 si ˆR+1 > 0 f e = 1 si ˆR +1 < 0 C es une foncion d exposiion binaire qui ne ien pas compe de la valeur de ˆR +1. Une aure foncion d exposiion plus perinene es : f e ˆR +1 On peu aussi enir compe de la variance de la prévision e poser : j=0 ˆR +1 f e σ ˆR+1 Dans ce cas, si la prévision n es pas saisiquemen différene de zéro, f e 0. Dans le suie de l exercice, on uilise f e = α ˆR +1 avec α = 50. b Le schéma d invesissemen de la sraégie es le suivan. i. À la dae, on esime par maximum de vraisemblance les paramères d, σ à parir de l hisorique {R 1,..., R h }. On noe ˆd la valeur esimée de d. ii. Au momen de la fermeure du marché, on calcule ˆR +1 = m k=0 ϕ kr k avec : k ˆd 1! ϕ k = k! ˆd 1! 50

51 Figure 6 Simulaion de la performance des sraégies iii. On passe un ordre acheeur ou vendeur selon le signe pour un monan égal à α ˆR +1. iv. On ferme la posiion à la cloure du marché en + 1. c Sur le graphique 6, on a représené la performance hisorique de la sraégie pour la période allan de janvier 2000 à décembre 2009 en considéran le ire BNP Paribas. La période h pour esimer d, σ es égale à 250 jours ouvrés alors que la période m pour calculer la prévision es égale à 100 jours. On uilise le aux Euribor 1M pour empruner ou placer la parie non risquée. Le ableau suivan présene les différenes saisiques de performance e de risque : Saisique BNP SG BNP / SG MULTI Rendemen annuel 1,64% 0,63% 8,04% 6,23% Volailié 5,33% 4,97% 5,55% 16,70% Raio de Sharpe 0,27% 0,50% 0,89% 0,19% Drawdown maximum 22,31% 17,60% 10,54% 64,77% d Les résulas pour le ire Sociéé Générale son reporés sur le graphique 6 e le ableau précéden. 5. Dans ce cas, on considère que la différence de rendemen y = R 1 R 2 es un processus fracionnaire. La foncion d exposiion long/shor devien αŷ +1. Cela veu dire que si αŷ +1 > 0 resp. αŷ +1 < 0, on es acheeur resp. vendeur d une valeur de αŷ +1 du ire 1 e vendeur resp. acheeur d une valeur de αŷ +1 du ire 2. On obien les résulas donnés dans le ableau précéden. 6. a On consrui oues les paires R 1 R 2, R 1 R 3, R 2 R 3, ec. Pour calculer l exposiion sur chaque paire long/shor, on peu prendre en compe les corrélaions e résoudre à chaque dae un programme d opimisaion de ype Markowiz avec conrôle de la volailié TR-QAM, page 100. On peu aussi ne pas enir compe des effes de corrélaions e uiliser la foncion d exposiion précédene. b La seule différence es l éape iii. Pour chaque paire j, on calcule αŷ j +1. On ransforme ensuie les Cn 2 posiions long/shor en n posiions direcionnelles pour les n ires du porefeuille. 51

52 c Le graphique 6 présene la simulaion de la performance hisorique de la sraégie avec les ires BNP Paribas, Crédi Agricole, Naixis e Sociéé Générale. d Ces résulas son exrêmemen sensibles à la fenêre d esimaion h. Une valeur posiive de d correspond à une sraégie rend following alors qu une valeur négaive de d indui un comporemen mean revering TR-QAM, page 412. Si on choisi une valeur rop peie de h, il es difficile de voir si le rendemen ou la différence de rendemen es rend following ou mean revering. Si h es rop grand, le comporemen du ire peu changer pendan la période. 52

53 21. Sraégie volailiy arge e indice propriéaire 1. La sraégie die volailiy arge es définie aux pages de TR-QAM. 2. On vérifie empiriquemen qu il y a une relaion négaive enre la volailié coure anicipée e le rendemen fuur. C es noammen le cas de l indice VIX voir les pages 506 e 508 de TR-QAM. La sraégie volailiy arge exploie cee propriéé : l exposiion à l acif risqué es décroissane par rappor à la volailié coure anicipée. 3. a On défini le processus IGARCH d ordre 1 de la façon suivane TR-QAM, page 380 : R N 0, σ σ 2 = κ + ασ α R 2 1 On esime les paramères par maximum de vraisemblance. On obien κ = 0 e α = 0,9035. b On a représené la relaion non paramérique enre la volailié σ e le rendemen fuur 1 mois R 1M sur le graphique 7. c Le diagramme du schéma d invesissemen es présené à la page 591 de TR-QAM. d Les poids de l acif risqué e la simulaion de la performance hisorique de la sraégie son donnés sur le graphique 7. Le rendemen annuel de la sraégie, la volailié, le raio de Sharpe e le drawdown maximum son égaux à 2,0.7%, 15,36%, 0,06 e 44,80% conre 2,63%, 25,62%, 0,22 e 64,64% pour l indice Eurosoxx a Un indice propriéaire es un indice d une banque d invesissemen. b L indice n es pas invesissable e obéi à des règles sysémaiques de gesion. c Il fau préciser le sous-jacen, décrire commen la volailié IGARCH es esimée, donner la formule d exposiion de l acif risqué e la formule de valorisaion de l indice. Les règles doiven êre suffisammen déaillées pour que n impore quel iers puisse revaloriser lui-même l indice. d On peu effecivemen créer un fonds UCITS puisque l exposiion en acif risqué ne dépasse pas 200%. L avanage es que le fonds UCITS peu apparenir à la caégorie des fonds à formule. Figure 7 Illusraion de la sraégie volailiy arge 53

54 22. Calcul du raio de Sharpe 1. Le raio de Sharpe es défini aux pages de TR-QAM. La valeur ypique d un raio de Sharpe es 0,25 pour un invesissemen buy and hold long erme sur une classe d acifs radiionnelle. 2. Pour calculer la performance annuelle de l indice Eurosoxx 50, on uilise la formule page 60. Le 31 décembre 1999, le niveau de l indice Eurosoxx 50 es 6 136,63. Le 31 décembre 2009, celui-ci es 4 697,61. La période éan égale à 10 ans, on en dédui que la performance annuelle es TR-QAM, page 60 : ,61 10 µ = ,63 = 2,64% On calcule ensuie la volailié annuelle comme l écar-ype des rendemens acuariels journaliers muliplié par 260. On obien σ = 25,62%. 3. a La moyenne des aux Eonia pour la période es r = 2,95%. On obien alors un raio de Sharpe égal à : sh = µ r σ 2,64 2,95 = 25,62 = 0,2182 b On capialise l indice Eonia en uilisan la formule suivane : 1; I = I i avec I la valeur de l invesissemen, i l indice Eonia e 1; le nombre de jours enre les daes 1 e. En considéran un invesissemen de 100 euros le 1er janvier 2000, celui-ci es égal à 134,38 euros le 31 décembre La performance annuelle correspondane es donc : r = 1 134, ,00 = 3,00% On en dédui que : sh = 2,64 3,00 25,62 = c La surperformance de l indice Eurosoxx 50 par rappor à l invesissemen dans le fonds monéaire es égal à TR-QAM, page 67 : µ r = [ / ] 1/ ,61 134, ,63 100,00 = 5,47% On vérifie que la surperformance n es pas exacemen la différence de performance qui es égale à 5,64%. Le raio de Sharpe es donc égal à : sh = µ r σ = 5,47 25,62 = 0,

55 d Il es clair que la première méhode n es pas correce, puisque la performance sur une période n es pas la moyenne des performances journalières e que cee méhode n inclu pas les effecs de capialisaion. Le raio de Sharpe es souven défini comme le rappor enre la différence de la performance e du aux sans risque, e la volailié. Comme il es expliqué dans TR-QAM, ceci n es valable que lorsque l on considère une seule période. La bonne définiion es celle qui uilise la surperformance. D ailleurs, c es la seule qui soi cohérene avec la définiion du raio d informaion lorsque le benchmark es le aux sans risque TR-QAM, page La différence enre l indice Eonia e le aux Euribor es expliquée à la page 614 de TR-QAM. 5. En uilisan la définiion de la quesion 3c, on obien un raio de Sharpe égal à 0,2175. On remarque donc que la valeur du raio de Sharpe dépend de la définiion du aux sans risque. Un benchmark Eonia n es donc pas équivalen à un benchmark Euribor 1M ou Euribor 3M, même si dans la praique les différences son faibles comme le monre le graphique 8. Figure 8 Indice Eonia e aux Euribor 1M 55

56 23. Déerminaion d un porefeuille de marché 1. Pour déerminer le porefeuille de marché, on peu maximiser le raio de Sharpe TR-QAM, page 99 ou déerminer la fronière efficiene en incluan l acif sans risque voir l exercice 29.6.e page 77. On obien les résulas suivans : r 2,00% 3,00% 4,00% x 1 10,72% 13,25% 17,43% x 2 12,06% 12,34% 12,80% x 3 28,92% 29,23% 29,73% x 4 48,30% 45,19% 40,04% µ x 8,03% 8,27% 8,68% σ x 4,26% 4,45% 4,84% sh x 141,29% 118,30% 96,65% a Le porefeuille de marché es x = 10,72%, 12,06%, 28,92%, 48,30% si le aux sans risque r es égal à 2%. Son raio de Sharpe es égal à 1,41. b Le porefeuille de marché devien x = 13,25%, 12,34%, 29,23%, 45,19%. c Le porefeuille de marché devien x = 17,43%, 12,80%, 29,73%, 40,04%. d Le poids du premier acif croî alors que celui du quarième acif décroî lorsque le aux sans risque augmene. Ceci s explique par le fai que lorsque le aux sans risque augmene, le porefeuille opimal doi présener un rendemen plus élevé e donc une volailié plus élevée. Il va donc s exposer beaucoup plus sur les acifs qui présenen plus de rendemen e de volailié c es-à-dire le premier acif au dérimen des acifs qui présenen moins de rendemen e de volailié c es-à-dire le quarième acif. 2. a On noe b le benchmark. Soi e l erreur de réplicaion. On a TR-QAM, pages : { E [e] = x b µ σ e = x b Σ x b Le programme d opimisaion es donc : x = arg max x b µ σ e σ s.c. 1 x = 1 0 x 1 Comme dans le cas du problème de Markowiz, on ransforme ce problème en ϕ-problème TR-QAM,page 104 : x ϕ = arg min x Σx x ϕµ + 2Σb + b Σb + ϕb µ On a donc un problème QP avec Q = 2Σ e R = ϕµ + 2Σb. b On obien les résulas suivans : Objecif Benchmark min σ e max σ e σ e = 3% max ir x b x 1 60,00% 60,00% 100,00% 83,01% 60,33% x 2 30,00% 30,00% 0,00% 16,99% 29,92% x 3 10,00% 10,00% 0,00% 0,00% 9,75% x 4 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% µ x 12,80% 12,80% 15,00% 14,15% 12,82% σ x 10,99% 10,99% 15,00% 13,38% 11,03% sh x 89,15% 89,15% 80,00% 83,32% 89,04% µ x b 0,00% 0,00% 2,20% 1,35% 0,02% σ x b 0,00% 0,00% 5,16% 3,00% 0,05% ir x b 0,00% 0,00% 42,62% 45,01% 46,54% 56

57 Le porefeuille qui minimise la volailié de racking error es bien sûr le benchmark. Le porefeuille qui a la volailié de racking error la plus élevée es celui qui correspond au rendemen le plus élevé. On a donc x = 100%, 0%, 0%, 0%. c On obien x = 60,33%, 29,92%, 9,75%, 0,00%. Le raio d informaion de ce porefeuille es 46,54%. d Avec les conraines x i [10%, 50%], le porefeuille opimal es x = 50%, 30%, 10%, 10%. C es aussi le porefeuille qui a la volailié de racking error la plus faible e la plus élevée. En fai, le problème es que ous les porefeuilles qui vérifien les conraines x i [10%, 50%] on une surperformance négaive. e Dans le ableau précéden, on a pris r = 3%. Si on reprend le porefeuille de marché opimal, c es-à-dire x = 13,25%, 12,34%, 29,23%, 45,19%, on obien un raio d informaion égal à 55,39%. Il n y a donc pas d équivalence enre la dominance basée sur le raio d informaion e celle basée sur le raio de Sharpe. Encadré 10 Programme permean de résoudre la quesion 1 le mu = ; le sigma = ; le rho = ; rho = xpndrho; cov = rho.* sigma.* sigma ; call invpdcov; A = ones1,4; B = 1; C = 0; D = 0; Bounds = 0~1.* ones4,1; // Quesion 1 Resuls = zeros8,3; phi = seqa0,0.0001,10001; {x,er,risk,phi,recode} = Qprog_Allocaion_Solvemu,cov,A,B,C,D,Bounds,phi,0; rf = 0.02; sh = er - rf./risk; indx = maxindcsh; Resuls[.,1] = rf x[.,indx] er[indx] risk[indx] sh[indx]; rf = 0.03; sh = er - rf./risk; indx = maxindcsh; Resuls[.,2] = rf x[.,indx] er[indx] risk[indx] sh[indx]; rf = 0.04; sh = er - rf./risk; indx = maxindcsh; Resuls[.,3] = rf x[.,indx] er[indx] risk[indx] sh[indx]; prin fosa100*resuls,"%lf",3,2; 57

58 Encadré 11 Programme permean de résoudre la quesion 2 // Quesion 2 Resuls = zeros10,6; rf = 0.03; le x0 = ; er = x0 mu; risk = sqrx0 cov*x0; Sh = er-rf/risk; Resuls[.,1] = x0 er risk sh 0 0 0; {x,e,surperf} = Qprog_Index_Solvex0,cov,A,B,C,D,Bounds,0,mu,0,x0; IR = surperf/e; er = x mu; risk = sqrx cov*x; Sh = er-rf/risk; Resuls[.,2] = x er risk sh surperf e IR; {x,e,surperf} = Qprog_Index_Solvex0,cov,A,B,C,D,Bounds,100,mu,0,x0; IR = surperf/e; er = x mu; risk = sqrx cov*x; Sh = er-rf/risk; Resuls[.,3] = x er risk sh surperf e IR; {x,surperf,e,phi,recode} = Qprog_TE_Solvex0,cov,A,B,C,D,Bounds,mu,0.03; IR = surperf/e; er = x mu; risk = sqrx cov*x; Sh = er-rf/risk; Resuls[.,4] = x er risk sh surperf e IR; phi = seqa0,0.001,1001; {x,e,surperf} = Qprog_Index_Solvex0,cov,A,B,C,D,Bounds,phi,mu,0,x0; IR = surperf./e; indx = maxindcir; x = x[.,indx]; er = x mu; risk = sqrx cov*x; Sh = er-rf/risk; Resuls[.,5] = x er risk sh surperf[indx] e[indx] IR[indx]; e = seqa0.000,0.0001,50; {x,surperf,e,phi,recode} = Qprog_TE_Solvex0,cov,A,B,C,D,Bounds,mu,e; IR = surperf./e; indx = maxindcir; x = x[.,indx]; er = x mu; risk = sqrx cov*x; Sh = er-rf/risk; Resuls[.,6] = x er risk sh surperf[indx] e[indx] IR[indx]; prin fosa100*resuls,"%lf",3,2; prin " "; Bounds = ones4,1.* 0.10~0.50; {x_min,e_min,er_e} = Qprog_Index_Solvex0,cov,A,B,C,D,Bounds,0,mu,0,x0; {x_max,e_max,er_e} = Qprog_Index_Solvex0,cov,A,B,C,D,Bounds,100,mu,0,x0; prin fosa100*x_min~x_max,"%lf",3,2; prin fosa100*e_min~e_max,"e = %lf",3,2; 58

59 24. Allocaion sraégique, allocaion acique e modèle de Black-Lierman 1. a L allocaion sraégique d acifs consise à définir la poliique d invesissemen de long erme du fonds de pension. Cela implique d esimer les primes de risques associées aux différenes classes d acifs e de consruire le benchmark de gesion. Auremen di, l allocaion sraégique d acifs vise à définir les poids de ce benchmark, en pariculier la répariion enre acions e obligaions. Au niveau des fonds de pension européens, on noe que l exposiion moyenne es 70% en obligaions e 30% en acions ou acifs risqués. b La prime de risque d une classe d acifs es le supplémen de rémunéraion par rappor au aux sans risque exigé par l invesisseur pour acheer l acif risqué. On a : π = µ r avec π la prime de risque, µ l espérance de rendemen de la classe d acifs e r le aux sans risque. c On considère qu il n y a pas de prime de risque pour les maières premières maières premières agricoles, maières premières énergéiques, or e pour les devises devises des pays développés, devises des pays émergens. La prime de risque des acions s explique par le versemen de dividendes e la croissance économique, alors que celle des obligaions provien de l inflaion, de la croissance économique e de la prime de erme courbe des aux croissane. 2. a L allocaion acique consise à modifier l allocaion sraégique pour prendre en compe des vues de cour erme page 551 de TR-QAM. Généralemen, on fai la disincion enre allocaion acique e marke iming. Ce dernier se base uniquemen sur les senimens de marché finance comporemenale alors que l allocaion acique se fonde sur les modèles de business cycle page 552 de TR-QAM. b On peu considérer qu elle es : i. conradicoire par rappor à l allocaion sraégique, car elle modifie le benchmark de long erme ; on peu donc se rerouver dans une siuaion où le porefeuille d invesissemen ne correspond jamais à la poliique d invesissemen de long erme définie par le fonds de pension ; ii. complémenaire de l allocaion sraégique car elle vise à se couvrir conre le cycle des affaires ; elle perme donc de prendre en compe les dynamiques de l oupu gap e de l inflaion alors que l allocaion sraégique se fonde principalemen sur les valeurs d équilibre du PIB poeniel e de l inflaion de long erme. c Les primes de risque varien au cours du emps à cause du cycle des affaires. Dans le modèle de Lucas 1978, l agen économique es sensible à la corrélaion enre sa capacié de consommaion e la performance des acifs TR-QAM, page 552. Ainsi, lors d une récession économique, il demande une prime de risque plus élevée pour les acifs qui son posiivemen corrélés au cycle économique. C es l exemple des acions. 3. a On remarque que généralemen l espérance de rendemen es une foncion croissane du risque mesurée par la volailié. Ce n es pas le cas des maières premières qui on la même prime de risque que les acions des pays émergens alors qu elles présenen une volailié supérieure de 50%. On a le même consa pour la dee émergene e les acions des pays développés. Du poin de vue des corrélaions, on noe une corrélaion négaive faible enre les obligaions des pays développés e les acions. On es donc pluô dans un régime de faible inflaion ou de fligh o qualiy. La dee émergene es corrélée posiivemen aux acions, ce qui lui confère pluô le sau d acif risqué. On remarque aussi que la corrélaion la plus fore des maières premières concerne celle avec les acions des pays émergens. C es ou en fai en accord avec la héorie de la demande de maières premières e les besoins des pays émergens en infrasrucure. b On a TR-QAM, pages : π = r + sh x Σx Σx x Σx 59

60 avec x le veceur des poids du porefeuille acuel, sh le raio de Sharpe de long erme e r le aux sans risque. Comme on a x = 55%, 0%, 45%, 0%, 0%, on obien les résulas suivans : sh 0,25 0,10 0,50 0,25 0,25 r 2,0% 2,0% 2,0% 0,0% 4,0% π 1 0,8% 0,6% 1,2% 0,4% 1,2% π 2 4,2% 3,0% 6,1% 1,9% 6,4% π 3 7,4% 5,3% 10,8% 3,5% 11,3% π 4 6,8% 4,9% 9,9% 3,2% 10,4% π 5 3,1% 2,2% 4,5% 1,4% 4,7% Si r = 2% e sh = 0,25, on a π = 0,8%, 4,2%, 7,4%, 6,8%, 3,1%. On remarque que π es exrêmemen sensible à la valeur du aux sans risque e à l hypohèse du raio de Sharpe de long erme. Néanmoins, on noe que ces deux paramères n inerviennen que comme faceur d échelle puisque les primes de risque d équilibre π son oues proporionnelles à Σx. c On a TR-QAM, page 138 : P µ = Q + ε avec P = I 5, ε N 0, Ω, Q = 5%, 10%, 8%, 12%, 12% e Ω = 0,05 2 I 5. On cherche donc le porefeuille x BL qui es soluion du programmaion d opimisaion suivan TR-QAM, page 140 : x BL = arg min x BL τ x Σ x BL τ x τ avec Σ la marice de covariance e x BL τ l ensemble des porefeuilles définis par : avec : x BL τ = arg min x Σx x µ cond τ x = 7% s.c. 1 x = 1 0 x 1 µ cond = π + τσp P τσp + Ω 1 Q P π Pour chaque valeur de τ 0, on ransforme le second problème en problème quadraique cela revien à ransformer le mu-problème d allocaion en phi-problème d allocaion. On considère ensuie parmi ous les porefeuilles x BL τ celui qui présene la plus peie racking error. On obien x BL = 45,7%, 4,2%, 43,0%, 2,7%, 4,5%. d On a µ x = 6,3% e σ x = 7,0% pour le porefeuille acuel e µ x BL = 7,0% e σ x BL = 7,7% pour le porefeuille de Black-Lierman 18. Puisque le rendemen cherché es supérieur à celui du porefeuille acuel, on rédui l exposiion en obligaions pour s exposer à des classes d acifs plus risquées elles que les acions des pays émergens e les maières premières. Le porefeuille x BL es bien un porefeuille d allocaion acique puisque l on cherche à modifier le porefeuille acuel du fonds de pension afin de enir compe des prévisions récenes des primes de risque. 18. La racking error es égale à 1,9% ce qui implique que le raio d informaion du porefeuille de Black-Lierman vau 35,1%. 60

61 25. Gap risk e méhode CPPI 1. a Le principe de la méhode CPPI es donné aux pages de TR-QAM. b La dynamique de V es TR-QAM, page 449 : c On a TR-QAM, page 449 : dv = V mc db B + mc ds S On en dédui que : dc = r + m µ r C d + mσs dw C = C 0 exp r + m µ r 12 m2 σ 2 + mσw d La disribuion de C T es log-normale. On a donc : Comme V T = V 0 + C T, on en dédui que : e On a : Pr {C T 0} = 1 Pr {V T V 0 } = 1 Pr {V T = V 0 } = Pr {V 0 + C T = V 0 } = Pr {C T = 0} = 0 Dans ce modèle, il es héoriquemen impossible de monéariser le coussin. Ceci es dû au fai que le coussin es réajusé en emps coninu e qu il n y a pas de sau du sous-jacen. 2. a Les dynamiques de V i e C i deviennen TR-QAM, page 454 : V i = V i 1 + V i 1 mc i 1 r i + mc i 1 R i C i = V i F i avec r i le rendemen de B enre les daes i 1 e i e : b On en dédui que : e : On a donc TR-QAM, page 456 : F i = F i r i V i = V i r i + mc i 1 R i r i C i = V i F i = V i r i + mc i 1 R i r i F i r i = C i r i + mc i 1 R i r i = C i 1 1 m 1 r i + mr i π = Pr {C i+1 < 0 C i > 0} = Pr {C i 1 m 1 r i+1 + mr i+1 < 0 C i > 0} = Pr {1 m 1 r i+1 + mr i+1 < 0} { = Pr R i+1 < 1 m 1 r } i+1 m { Pr R i+1 < 1 } m 61

62 c On vérifie que cee probabilié ne dépend pas de la valeur acuelle du coussin C i. Ceci es dû à la foncion d exposiion qui es proporionnelle à la valeur du coussin : e i = mc i. On a : e i+1 C i = m C i+1 C i = m C i+1 C i = m 1 m 1 r i+1 + mr i+1 L exposiion relaive de l acif risqué par rappor à la valeur du coussin es donc indépendane de la valeur du coussin, il es donc ou à fai normal que la probabilié de monéariser le coussin Pr {C i+1 < 0 C i > 0} ne dépende pas de C i. d On défini le gap risk de la façon suivane TR-QAM, page 454 : g = E [C T C T < 0] = E [V T F T C T < 0] = E [V T V 0 V T < V 0 ] C es donc l espérance de la pere V T V 0 si la valeur de la sraégie ermine en-dessous de la garanie G = V On se place dans le modèle discre précéden e on suppose que les rendemens R i son i.i.d. de disribuion de probabilié F. a On a : avec : On en dédui que : γ = E [C i+1 C i > 0 e C i+1 < 0] = E [ C i 1 m 1 r i+1 + mr i+1 R i+1 < R ] R = 1 m 1 r i+1 m γ = C i 1 m 1 r i+1 + mc i E [ R i+1 R i+1 < R ] = C i 1 m 1 r i+1 + mc i F R R xf x dx γ es une foncion linéaire de C i avec : γ = 1 m 1 r i+1 + m R C i F R xf x dx < 0 On a donc : C 1 > C 2 γ C 1 γ C 2 On en dédui donc que plus le coussin acuel es élevé, plus le gap risk es négaif. b On a : p = Pr {C n < 0} = 1 Pr {C n 0} { n 1 } = 1 Pr C i+1 0 C i 0 i=0 n 1 = 1 Pr {C i+1 0 C i 0} i=0 n 1 = 1 1 Pr {C i+1 < 0 C i 0} i=0 62

63 On en dédui que : avec : c On obien γ = 0,10% e p = 0,83%. d On obien γ = 2,34% e p = 97,46%. e On obien γ = 0% e p = 0%. p = 1 1 π n { π = Pr R i+1 < 1 m 1 r } i+1 = F R m f Sur le graphique 9, on représene p en foncion de m pour les quare disribuions précédenes. Dans le cas des foncions coninues, l évoluion de p es coninue, alors que p passe rès rapidemen de 0% à 100% dans le cas où la disribuion de probabilié es discrèe. Figure 9 Évoluion de la probabilié p en % en foncion du muliplicaeur m 4. a On a TR-QAM, page 448 : [ VT ρ = E S T ] S T S 0 Cee mesure représene donc la variaion relaive moyenne de l invesissemen par rappor à l évoluion du sous-jacen en phase de hausse du marché. Par exemple, si ρ = 50%, l invesisseur s aend à pariciper en moyenne à 50% de la hausse du marché. L objecif de l invesisseur es d obenir un aux de paricipaion élevé. b On a : [ CT ρ = E + F ] T S T S T S T S 0 [ ] CT = E S T S T S 0 63

64 Comme on a TR-QAM, page 450 : m ST C T = C 0 e m 1r+ 1 2m 2 mσ 2 T S 0 on en dédui que : e : Or on a 19 : C T S T ρ = m C 0 S m 0 E [ S m 1 ] T S T S 0 S m 1 T = mc 0 S0 m e m 1r+ 2m 1 2 mσ 2 T e m 1r+ 2m 1 2 mσ 2 T E [ S m 1 ] T S T S 0 = c S m 1 0 e m 1µ 1 2 σ2 T m 12 σ 2 T = c S m 1 0 e m 1µ+ 1 2 m 2σ2 T avec : On en dédui que : c = µσ Φ 1 + m 3 2 σ T µσ Φ σ T ρ = c m C 0 e m 1r+ 1 2m 2 mσ 2 T +m 1µ+ 1 2 m 2σ2 T S 0 = c m C 0 e m 1µ r σ 2 T S 0 Cee expression de ρ es valable dans le cas où le coussin es réajusé en emps coninu e qu il n y a pas de sau du sous-jacen. S il y a du gap risk, alors on a : [ ] CT ρ = E S T S T S 0 [ ] [ ] CT E S T S CT T S 0 Pr {C T 0} + E S T S T S 0 Pr {C T < 0} [ ] 1 π n CT E S T S T S 0 La paricipaion peu diminuer donc foremen si π es rès élevé. c On suppose que S es un mouvemen brownien géomérique avec µ = 15%. On pose r = 5% e T = 1. En considéran une garanie égale à 100% de la valeur iniiale V 0, on obien un coussin iniial de 4,8%. Sur le graphique 10, on représene le aux de paricipaion ρ en foncion du muliplicaeur m. C es une foncion croissane puis décroissane par rappor à la volailié du sous-jacen σ. L impac du gap risk es illusré sur le graphique 11 pour T = 1 e T = 2 en supposan que le rebalancemen du coussin se fasse ous les jours. À parir d une ceraine valeur de muliplicaeur, la probabilié π devien significaive e impace foremen le aux de paricipaion. Dans le cas d un modèle non gaussien, ce impac peu s avérer beaucoup plus imporan e concerner des valeurs plus peies du muliplicaeur. 19. On uilise le résula suivan TR-QAM, page 285 : E [ X m ] 1 Φ ln x µ X mσ 2 X x _ = X /σx 1 Φ ln x µ X /σ X avec X LN µ X, σ X. e mµ X m2 σ 2 X 64

65 Figure 10 Valeur héorique de ρ en % Figure 11 Impac du gap risk sur le aux de paricipaion ρ en % 65

66 26. Comparaison du filre de covariance de Kalman e du filre d informaion 1. a On a : I + AB C 1 B 1 A = I + AB C 1 B 1 A 1 1 = A 1 I + AB C 1 B 1 = A 1 + B C 1 B 1 b Si la relaion suivane es vraie : I + AB C 1 B 1 = I AB C + BAB 1 B alors on doi vérifier que Φ = I + AB C 1 B I AB C + BAB 1 B es la marice idenié. On a : Φ = I + AB C 1 B I AB C + BAB 1 B = I + AB C 1 B I + AB C 1 B AB C + BAB 1 B = I + AB C 1 B I + AB C 1 B AB B 1 C + AB 1 = I + AB C 1 B I + AB C 1 B B 1 CB 1 A 1 + I 1 Or on a : I + AB C 1 B = AB C 1 B AB C 1 B 1 + I = AB C 1 B B 1 CB 1 A 1 + I On en dédui que : Φ = I + AB C 1 B AB C 1 B 1 B 1 CB 1 A 1 + I B 1 CB 1 A 1 + I = I + AB C 1 B AB C 1 B = I c D après les quesions a e b, on a : I + AB C 1 B 1 A = A 1 + B C 1 B 1 e : I + AB C 1 B 1 = I AB C + BAB 1 B On en dédui que : A 1 + B C 1 B 1 = I AB C + BAB 1 B A = A AB C + BAB 1 BA e : I + AB C 1 B 1 AB C 1 = A 1 + B C 1 B 1 B C 1 = A AB C + BAB 1 BA B C 1 = AB C 1 AB C + BAB 1 BAB C 1 = AB C 1 AB C + BAB 1 BAB + C C 1 I = AB C 1 AB C + BAB 1 BAB + C C 1 + AB C + BAB 1 = AB C 1 AB C 1 + AB C + BAB 1 66

67 On en dédui donc que : I + AB C 1 B 1 AB C 1 = AB C + BAB 1 2. a Soi V une marice de covariance. La marice d informaion de Fisher I es l inverse de V : I = V 1 Cee marice es uilisée dans la méhode du maximum de vraisemblance TR-QAM, page 267. b Le veceur a resp. a 1 es l esimaeur de α normalisé par sa marice de covariance sachan l informaion à l insan resp. à l insan 1. c On a : car : I P 1 = P 1 = P 1 1 = P 1 1 P 1 Im P 1 Z F 1 1 Z P 1 Im + P 1 Z H 1 Z P 1 = I m + Z H 1 Z P 1 Im P 1 Z F 1 Z 1 = I m P 1 Z F + Z P 1 Z 1 Z = I m P 1 Z H 1 Z = I m + P 1 Z H 1 Z d On a : I P 1 Z Z P 1 Z 1 + H = I m + Z H 1 Z P 1 Z Z P 1 Z 1 + H = Z Im + H 1 Z P 1 Z Z P 1 Z 1 + H = Z H 1 car 20 : I + B 1 A A + B 1 = A + B 1 + B 1 A A + B 1 = A + B 1 + B 1 I + BA 1 1 = A + B 1 + B 1 I I + BA 1 1 BA 1 = A + B 1 + B 1 B 1 AB 1 + I 1 = A + B 1 + B 1 A + B 1 = B 1 e On a : i. I 1 = P 1 1 = T P 1 T + R Q R = T I 1 1 T 20. Pour rouver le résula, on pose A = Z P 1 Z e B = H. + R Q R

68 ii. a 1 = I 1 a 1 = I 1 T a 1 = I 1 T I 1 1 a 1 iii. I = P 1 = P 1 1 = P 1 1 Im P 1 Z F 1 1 Z Im + P 1 Z H 1 Z = I 1 + Z H 1 Z iv. a = I a = I a 1 + P 1 Z F 1 y Z a 1 = I Im P 1 Z F 1 Z a 1 + I P 1 Z F 1 = a 1 + Z H 1 y Les équaions du filre d informaion son donc : I 1 = T I 1 1 T + R Q R a 1 = I 1T I 1 1 a 1 I = I 1 + Z H 1 a = a 1 + Z H 1 f D un poin de vue numérique, on noe que le nombre d opéraions maricielles es : i. 5 addiions, 10 muliplicaions e 1 inversion pour le filre de covariance ; ii. 3 addiions, 10 muliplicaions e 2 inversions pour le filre d informaion ; Il n es donc pas éviden que l on gagne en emps de calcul en uilisan le filre d informaion. Son avanage peu donc enir au fai que l inversion de I 1 es plus sable numériquemen que celle de F dans cerains cas. g On a TR-QAM, page 350 : Z y 1 y avec : l = nt 2 ln 2π 1 2 T ln F 1 2 =1 T =1 v F 1 v F = Z I 1 1 Z + H v = y Z I 1 1 a 1 a 0 = 0 I 0 = 0 h On pose α 0 N 0, pi m avec p un scalaire suffisammen grand pour que I 0 = p 1 I m 0. 68

69 27. Le coefficien bêa 1. a Le bêa d un ire es le rappor de la covariance du rendemen du ire i avec celui du porefeuille de marché e de la variance du rendemen du ire i TR-QAM, page 264. Dans la héorie du CAPM, on a : E [R i ] = r + β i E [R M ] r avec R i le rendemen du ire i, R M le rendemen du porefeuille de marché, r le aux sans risque e β i le bêa du ire i : β i = cov R i, R M var R m b On a : e : On en dédui que : cov R, R M = Σb var R m = b Σb β i = Σb i b Σb c On rappelle que l opéraeur E es bilinéaire. On a donc : d On a : cov c 1 X 1 + c 2 X 2, X 3 = E [c 1 X 1 + c 2 X 2 E [c 1 X 1 + c 2 X 2 ] X 3 E [X 3 ]] avec β = β 1,..., β n. = E [c 1 X 1 E [X 1 ] + c 2 X 2 E [X 2 ] X 3 E [X 3 ]] = c 1 E [X 1 E [X 1 ] X 3 E [X 3 ]] + c 2 E [X 2 E [X 2 ] X 3 E [X 3 ]] = c 1 cov X 1, X 3 + c 2 cov X 2, X 3 β w = cov R w, R M var R m = cov w R, b R var b R [ = w E b E = w Σb b Σb = w Σb b Σb = w β n = w i β i i=1 R µ [ R µ R µ ] b R µ ] b e On obien β w 1 = 0,80 pour le porefeuille 1 e β w 2 = 0,85 pour le porefeuille a On a : 0,4σ ,15σ 1 σ 2 + 0,15σ 1 σ 3 = β 1 var R m 0,2σ 1 σ 2 + 0,3σ ,15σ 2 σ 3 = β 2 var R m 0,2σ 1 σ 3 + 0,15σ 2 σ 3 + 0,3σ 2 3 = β 3 var R m 3 69

70 On a rois équaions à rois inconnues σ 1, σ 2 e σ 3. On remarque néanmoins que si on muliple σ 1, σ 2 e σ 3 par une consane c, alors on obien le même sysème d équaions car var R m es muliplié aussi par c 2. Il nous fau donc une équaion supplémenaire pour déerminer σ 1, σ 2 e σ 3. b On a une équaion supplémenaire : β w var R m = 1 0,4σ ,15σ 1 σ 2 + 0,15σ 1 σ ,2σ1 σ 2 + 0,3σ ,15σ 2 σ ,2σ1 σ 3 + 0,15σ 2 σ 3 + 0,3σ On a donc l impression que l on pourrai résoudre le problème. Néanmoins, on a oujours la même difficulé. Si on muliplie les volailiés σ 1, σ 2 e σ 3 par une consane c, alors le bêa du porefeuille ne change pas. D ailleurs, voici par exemple rois soluions numériques elles que β 1 = 0,811, β 2 = 0,998, β 3 = 1,254 e β w = 1,021 : Soluion σ 1 18,406% 6,725% 20% σ 2 23,004% 8,405% 25% σ 3 27,610% 10,088% 30% c En considéran les soluions précédenes, on noe que σ 3 = 1,5 σ 1 e σ 3 = 1, 25 σ 1. Il es facile de vérifier ces relaions approximaivemen à parir du sysème On a : a On a : On en dédui que : b Si ρ i,j = 0, on a : b = n 1 1 β = cov R, R M var R m Σb = b Σb n 1 Σ1 = n 2 1 Σ1 = n Σ1 1 Σ1 n β i = 1 β i=1 = 1 n Σ1 1 Σ1 = n 1 Σ1 1 Σ1 = n β i = n σi 2 n j=1 σ2 j 70

71 On en dédui que β 1 β 2 β 3 n σ1 2 3 j=1 σ2 j n σ2 2 3 j=1 σ2 j n σ3 2 3 j=1 σ2 j σ 2 1 σ 2 2 σ 2 3 σ 1 σ 2 σ 3 c si ρ i,j = ρ, on a : avec : On a : β i σ 2 i + j i ρσ i σ j = σi 2 + ρσ i σ j + ρσi 2 ρσi 2 j i = 1 ρ σ 2 i + ρσ i n = f σ i j=1 f x = 1 ρ x 2 + xρ f x = 2 1 ρ x + ρ Si ρ 0, alors f x es une foncion croissane de x pour x 0 car 1 ρ 0 e ρ n j=1 σ j 0. Le résula précéden es alors conservé : σ j n j=1 n j=1 β 1 β 2 β 3 σ 1 σ 2 σ 3 si ρ i,j = ρ 0 Si n 1 < ρ < 0, alors f es décroissane si x < 2 1 ρ 1 ρ 1 n j=1 σ j, puis croissane. On a donc : β 1 β 2 β 3 σ 1 σ 2 σ 3 si ρ i,j = ρ < 0 En fai, l implicaion es dans la plupar des cas vérifiée. Pour qu elle ne soi pas vérifiée, il fau considérer des exemples un peu ordus en considéran de fores dispariés enre les volailié e une corrélaion négaive proche de n 1. d On considère que σ 1 = 15%, σ 2 = 20%, σ 3 = 22%, ρ 1,2 = 70%, ρ 1,3 = 30% e ρ 2,3 = 50%. On a alors β 1 = 1,231, β 2 = 0,958 e β 3 = 0,811. C es donc un exemple el que β 1 > β 2 > β 3 e σ 1 < σ 2 < σ 3. e Il n y a aucune raison que l on ai soi n i=1 β i < n soi n i=1 β i > n. On prend l exemple numérique précéden. Dans le cas où b = 5%, 25%, 70%, on obien 3 i=1 β i = 1,808 alors que pour le porefeuille b = 20%, 40%, 40%, on a 3 i=1 β i = 3, a On fai la régression linéaire R i, = β i R M, + u e on obien ˆβ i = 1,06. b On en dédui que la conribuion c i du marché es égale à TR-QAM, page 308 : c i = β2 i var R m var R i = 90,6% σ j σ j 71

72 28. Le raio de Sharpe 1. a On a TR-QAM, page 98 : b On a : sh = sh i = µ i r σ i w 1 µ 1 + w 2 µ 2 r w 2 1 σ w 1w 2 ρσ 1 σ 2 + w 2 2 σ2 2 c On en dédui que : sh = w 1µ w 1 r r w 2 1 σ1 2 = w 1 µ 1 r w 1 σ 1 = sgn w 1 sh 1 2. a On noe R le rendemen aléaoire du porefeuille. On a : e : E [R ] = n n 1 µ i = n 1 i=1 n µ i i=1 σ R = n n 1 σ i 2 = n 1 n On en dédui que l expression du raio de Sharpe du porefeuille es : i=1 sh = n 1 n i=1 µ i r n 1 n i=1 σ2 i n i=1 = µ i r n i=1 σ2 i i=1 σ 2 i b On en dédui que : avec : sh = = n i=1 σ i n j=1 σ2 i n p i sh i i=1 p i = σ i n j=1 σ2 i µ i r σ i n c Comme 0 < σ i < j=1 σ2 i, on en dédui que : d On obien les résulas suivans : 0 < p i < 1 p 1 p 2 p 3 p 4 p 5 n i=1 p i sh A 1 38,5% 38,5% 57,7% 19,2% 57,7% 211,7% 0,828 A 2 25,5% 25,5% 34,1% 17,0% 85,1% 187,3% 0,856 72

73 Il peu êre surprenan que le porefeuille A 2 présene un raio de Sharpe supérieur au porefeuille A 1, puisque quare acifs de A 2 son dominés par ous les acifs de A 1. Seul le cinquième acif présene un raio de Sharpe supérieur. On peu néanmoins comprendre ce résula en considéran la décomposiion précédene. En effe, le cinquième acif a une volailié bien supérieure à ous les acifs. Son poids p 5 e donc sa conribuion au Sharpe es alors bien plus grand. 3. a On a TR-QAM, page 131 : σ R = n n n 1 σ ρ n 1 σ 2 i=1 = σ ρ + n 1 1 ρ On en dédui que l expression du raio de Sharpe du porefeuille es : b On a donc : sh = sh = i>j n 1 n i=1 µ i r σ ρ + n 1 1 ρ 1 ρ + n 1 1 ρ n 1 = p sh n i=1 µ i r σ avec : c On cherche n el que : p = 1 ρ + n 1 1 ρ 1 ρ + n 1 1 ρ = p On en dédui que : Si ρ = 50% e p = 1,25, on obien : n = p 2 1 ρ 1 ρp 2 n = 1, ,5 1 0,5 1,25 2 = 3,6 Quare acifs son donc suffisans pour améliorer le raio de Sharpe de 25%. d On remarque que : p = 1 ρ + n 1 1 ρ < 1 ρ Si ρ = 80%, alors p < 1,12. Il n es donc pas possible d améliorer le raio de Sharpe de 25% lorsque la corrélaion es égale à 80%. e Le paramère imporan es la corrélaion ρ. Plus cee corrélaion es peie, plus il es possible d augmener le raio de Sharpe en augmenan le nombre d acifs dans le porefeuille. Si la corrélaion es élevée, le gain en raio de Sharpe es négligeable. Par exemple, si la corrélaion es supérieure à 80%, le gain espéré maximum es 12%. 73

74 29. Variaions auour de la fronière efficiene 1. On en dédui que la marice de covariance es : Σ = 2,250 0,300 1,500 2,250 0,300 4,000 3,500 2,400 1,500 3,500 6,250 6,000 2,250 2,400 6,000 9, On doi ensuie résoudre le phi-problème d allocaion TR-QAM, page 95. On obien les résulas suivans 21 : ϕ 1,00 0,50 0,25 0,00 0,25 0,50 1,00 2,00 w1 83,39 78,07 75,40 72,74 70,08 67,42 62,09 51,44 w2 84,76 67,11 58,29 49,46 40,64 31,82 14,17 21,13 w3 103,12 61,79 41,12 20,45 0,21 20,88 62,21 144,88 w4 34,97 16,61 7,43 1,75 10,93 20,12 38,48 75,20 µ w 3,10 3,98 4,42 4,86 5,30 5,74 6,62 8,38 σ w 15,23 12,88 12,22 12,00 12,22 12,88 15,23 22,27 On a représené la fronière efficiene sur le graphique 12. Figure 12 Fronière efficiene de Markowiz 2. On résou le phi-problème avec ϕ = 0 TR-QAM, page 90. Le porefeuille de variance minimale es w 1 = 72,74%, w 2 = 49,46%, w 3 = 20,45% e w 4 = 1,75%. On en dédui que µ w = 4,86% e σ w = 12,00%. 3. Il n exise pas de porefeuille opimal si la volailié cible σ es égale à 10%, puisque le porefeuille de variance minimale correspond à une volailié de 12%. Trouver le porefeuille opimal pour σ = 15% ou σ = 20% revien à résoudre le sigma-problème d allocaion TR-QAM, page Les poids, rendemens e volailiés son exprimées en %. 74

75 Pour σ = 15% resp. σ = 20%, on obien une valeur implicie de ϕ égale à 0,96 resp. 1,71. Les résulas son donnés dans le ableau suivan : σ 15,00 20,00 w1 62,52 54,57 w2 15,58 10,75 w3 58,92 120,58 w4 37,01 64,41 µ w 6,55 7,87 ϕ 0,96 1,71 4. Soi le porefeuille défini par w α = 1 α w 1 + αw 2 avec w 1 le porefeuille de variance minimale e w 2 le porefeuille don la volailié cible es 20%. On obien les résulas suivans : α σ w α µ w α 0,50 14,42 3,36 0,25 12,64 4,11 0,00 12,00 4,86 0,10 12,10 5,16 0,20 12,41 5,46 0,50 14,42 6,36 0,70 16,41 6,97 1,00 20,00 7,87 On a représené ces porefeuilles sur le graphique 13. On remarque que ces porefeuilles son siués sur la fronière efficiene. Ceci es ou à fai normal puisque l on sai que la combinaison de deux porefeuilles opimaux correspond à un porefeuille opimal. Figure 13 Ensemble des porefeuilles w α = 1 α w 1 + αw 2 75

76 5. Si on considère la conraine supplémenaire 0 w i 1, on obien les résulas suivans : σ min 12,00 15,00 20,00 w1 65,49 45,59 24,88 w2 34,51 24,74 4,96 w3 0,00 29,67 70,15 w4 0,00 0,00 0,00 µ w 5,35 6,14 7,15 σ w 12,56 15,00 20,00 ϕ 0,00 1,24 2,20 6. a On a : e : Σ = µ = 5,0 6,0 8,0 6,0 3, ,250 0,300 1,500 2,250 0,000 0,300 4,000 3,500 2,400 0,000 1,500 3,500 6,250 6,000 0,000 2,250 2,400 6,000 9,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0, b On résou le phi-problème es on obien la fronière efficiene représenée sur le graphique 14. Figure 14 Fronière efficiene lorsque l on inrodui un acif sans risque c Cee fronière efficiene es une droie, elle passe par l acif sans risque e elle es angene à la fronière efficiene précédene du graphique 12. Ce exercice es une applicaion direce du héorème de séparaion de Tobin. 76

77 d On considère 2 porefeuilles de cee fronière efficiene correspondan à ϕ = 0,25 e ϕ = 0,50. On a les résulas suivans : ϕ 0,25 0,50 w1 9,11 18,23 w2 0,82 1,63 w3 17,36 34,71 w4 9,46 18,93 w5 83,81 67,62 µ w 3,74 4,48 σ 3,04 6,09 Le premier porefeuille a un rendemen espéré de 3,74% pour une volailié de 3,04%. Il es invesi à haueur de 83,81% dans l acif sans risque, ce qui explique sa faible volailié. Pour le second porefeuille, la par de l acif sans risque es moins élevée elle es égale à 67,62%. Le rendemen espéré e la volailié valen alors 4,48% e 6,09%. On noe w 1 e w 2 ces deux porefeuilles. Par définiion, le raio de Sharpe du porefeuille de marché es la angene de la droie. On a donc : sh = µ w 2 µ w 1 σ w 2 σ w 1 4,48 3,74 = 6,09 3,04 = 0,24 Le raio de Sharpe du porefeuille de marché es donc égal à 0,24. e Par consrucion, ou porefeuille apparenan à la droie angene es une combinaison linéaire de deux porefeuilles de cee droie angene. À parir des deux porefeuilles précédens, on a donc : w α = 1 α w 1 + αw 2 avec le porefeuille w α apparenan à la angene. Le porefeuille de marché w M es donc le porefeuille w α qui a une allocaion nulle dans l acif sans risque TR-QAM, pages On en dédui donc que la valeur α M qui correspond à ce porefeuille de marché vérifie la relaion suivane : 1 α M w 1,5 + α M w 2,5 = 0 car l acif sans risque es la cinquième composane du veceur des poids. On a donc : w 1,5 α M = w 1,5 w 2,5 = 83,81 83,81 67,62 = 5,18 On en dédui que le porefeuille de marché es : 9,11 0,82 w M = 1 5,18 17,36 9,46 + 5,18 83,81 18,23 1,63 34,71 18,93 67,62 = a On a : e : µ = µ r Σ = Σ

78 b Si on inègre l acif sans risque, le ϕ-problème d allocaion es TR-QAM, page 95 : w ϕ = arg min 1 2 w Σ w ϕ w µ s.c. 1 w = 1 On remarque que la foncion objecif peu s écrire : f w = 1 2 w Σ w ϕ w µ = 1 2 w Σw ϕw µ ϕw r r = g w, w r e que la conraine devien 1 w + w r = 1. On en dédui que l expression du Lagrangien es : g λ w, w r = 1 2 w Σw ϕw µ ϕw r r + λ 1 w + w r 1 Les condiions de premier ordre son TR-QAM, page 90 : w g λ w, w r = Σw ϕµ + λ1 = 0 wr g λ w, w r = ϕr + λ = 0 λ g λ w, w r = 1 w + w r 1 = 0 La soluion du programme d opimisaion es donc : w = ϕσ 1 µ r1 λ = ϕr wr = 1 ϕ1 Σ 1 µ r1 Noons w 0 le porefeuille suivan : w 0 = Σ 1 µ r1 1 Σ 1 µ r1 On peu alors écrire la soluion du programme d opimisaion de la façon suivane : w = δw0 λ = ϕr wr = 1 δ δ = ϕ1 Σ 1 µ r1 La première équaion indique que les proporions relaives d acifs risqués resen les mêmes. w r es nul si δ = 1 ou encore si : ϕ = ϕ 0 = 1 1 Σ 1 µ r1 Si ϕ = ϕ 0, alors w = w0 e wr = 0. On en dédui que w0 es le porefeuille de marché. Si ϕ ϕ 0, w es proporionnel à w0 e la parie invesie dans l acif sans risque es le complémen pour obenir un poids de 100%. On rerouve donc le héorème de séparaion de Sharpe e Tobin : w w = δ δ 0 } {{ } Acifs risqués 0 1 } {{ } Acif sans risque 78

79 30. Les sraégies de aux 1. La formule du aux zéro-coupon dans le modèle de Nelson-Siegel es donnée à la page 515 de TR-QM. En remplaçan les paramères par leurs valeurs numériques, on obien : 1 e T R 0, T = 0,05 0,02 T a On a : 1 e 2 R 0, 2 = 0,05 0,02 = 4,14% 2 1 e 5 R 0, 5 = 0,05 0,02 = 4,60% 5 1 e 10 R 0, 10 = 0,05 0,02 = 4,80% 10 b La courbe des aux es représenée sur le graphique 15. C es une courbe croissane. Le aux cour insanané es égal à 3% c es-à-dire θ 1 + θ 2 alors que les aux longs enden vers la valeur de 5% correspondan à θ 1. Figure 15 Courbe des aux spo 2. a Pour calculer le prix d une obligaion, on uilise la formule de la page 516 de TR-QAM. Par exemple, pour l obligaion de maurié résiduelle 2 ans, on a : P 2 = 3, , , , = 98,817 car le aux zéro-coupon de maurié 1 an es égal à 3,74%. On procéde de même pour l obligaion 5 ans e 10 ans e on obien : P 5 = 102,525 P 10 = 95,978 79

80 b Le aux de rendemen acuariel de la deuxième obligaion es la valeur R qui es soluion de l équaion TR-QAM, page 516 : avec : f 5 R = 102,525 f 5 R 5, 15 5, 15 5, 15 5, , 15 = 1 + R R R R R 4 On a f 5 4,5% = 102,853 e f 5 4,6% = 102,408. On sai aussi que f 5 R es une foncion décroissane de R. Comme on a : on en dédui alors que : f 5 4,5% > 102,525 > f 5 4,6% 4,5% < R < 4,6% c En uilisan l algorihme de la bi-secion, on obien : d On vérifie que : e : f 2 4,129% = R = 4,573% 3, , , , = 98,817 f 10 4,765% = 95,978 Les aux de rendemen acuariel des obligaions 2 e 10 ans son donc 4,129% e 4,765%. e La sensibilié es définie à la page 517 de TR-QAM. Pour la première obligaion, on a : 3,5 1 S 2 = 1 + 0, , , = 186,569 On procède de la même façon pour les deux aures obligaions e on obien : S 5 = 445,131 S 10 = 761, a Si on considère une ranslaion uniforme de la courbe des aux, le prix de la deuxième obligaion devien : 3,5 P 2 = 1 + 0, , , , , = 98,2597 b Si on impace le aux de rendemen acuariel, le prix de la deuxième obligaion devien : P 2 = 3, , , , , , = 98,2592 c Si on uilise l approximaion par la sensibilié TR-QAM, page 517, le prix de la deuxième obligaion es : P 2 = 98, ,569 0,0030 = 98,2573 On procède de la même façon pour les deux aures obligaions e on obien les résulas suivans : Impac d une hausse des aux de 30 pbs zéro-coupon aux acuariel sensibilié P 2 98, , , ,2573 P 5 102, , , ,1899 P 10 95, , , ,6942 On remarque que l on a des résulas rès proches e que l approche par les sensibiliés donne de bons résulas surou pour les mauriés coures. 80

81 4. a La sraégie de roll-down es définie à la page 518 de TR-QAM. b On considère la première obligaion. Si la courbe des aux es inchangée, le prix de cee obligaion dans un an es égal à : P = 103, , = 99,773 On en dédui que l excès de rendemen par rappor à une obligaion de maurié 1 an es TR-QAM, page 518 : 99, ,5 R = 1 0,0374 = 0,77% 98,817 Les composanes carry e roll-down pur son alors égales à TR-QAM, page 519 : 3,5 carry = 0,0374 = 0,19% 98,817 roll down = 99,773 98,817 1 = 0,97% On procède de la même façon pour les deux aures obligaions e on obien les résulas suivans : Carry T P Coupon Financemen Toal Roll-down R 2 98,817 3,542% 3,736% 0,194% 0,967% 0,773% 5 102,525 5,023% 3,736% 1,287% 0,134% 1,153% 10 95,978 4,428% 3,736% 0,692% 0,489% 1,181% La sraégie de roll-down la plus perinene es d acheer l obligaion 10 ans e de la revendre un an plus ard. c Une hausse des aux de 30 pbs dans un an n a pas d impac sur la composane carry mais affece la composane roll-down puisque le prix de l obligaion dans un an es différen. Pour la première obligaion, on a : e : P = 103, , , = 99,485 roll down = 99,485 98,817 1 = 0,68% Avec une hausse des aux de 30 pbs, les résulas deviennen : Carry T P Coupon Financemen Toal Roll-down R 2 98,817 3,542% 3,736% 0,194% 0,676% 0,482% 5 102,525 5,023% 3,736% 1,287% 1,193% 0,095% 10 95,978 4,428% 3,736% 0,692% 1,676% 0,983% On noe R 1 l excès de rendemen pour le premier scénario courbe des aux inchangée e R 2 celui pour le deuxième scénario hausse des aux de 30 pbs. On en dédui que l espérance d excès de rendemen es : E [ R] = 0,60 R1 + 0,40 R 2 E [ R] prend donc les valeurs respecives 0,657%, 0,730% e 0,315% pour les obligaions 2 ans, 5 ans e 10 ans. Si l objecif de l invesisseur es de maximiser son espérance de richesse 81

82 erminale, alors la sraégie opimale de roll-down es d acheer la deuxième obligaion e de la revendre dans un an. On pouvai prévoir ce résula assez facilemen, car la sraégie de roll-down sur la deuxième obligaion génère une performance rès proche de celle poran sur la roisième obligaion si la courbe des aux es inchangée résula de la quesion 4 b e elle es moins sensible à une augmenaion des aux résula de la quesion 2 e. 5. a La calibraion d un porefeuille barbell 50/50 es expliquée à la page 522 de TR-QAM. b Pour calibrer le porefeuille barbell cash-neural, on uilise la formule donnée à la page 523 de TR-QAM. La composiion des porefeuilles barbell es alors la suivane : Maurié 50/50 cash-neural regression-weighed 2 ans ans ans c Le scénario 30/0/0 signifie que le aux 2 ans baisse de 30 pbs alors que les aux 5 ans e 10 ans resen inchangés. C es donc un scénario de penificaion de la courbe des aux. Le PnL de la sraégie barbell 50/50 dans le cas de ce scénario es : Pour le porefeuille cash-neural, on a : PnL = 119,3 186,569 0,0030 = 66,77 euros PnL = 61,6 186,569 0,0030 = 34,50 euros d La calibraion du porefeuille barbell regression-weighed es reporée dans le ableau de la quesion 5 b. Le PnL de cee sraégie dans le cas d un scénario 30/0/15 es : PnL = 79,5 186,569 0, ,0 761,419 0, = 0 euros Ce résula es éviden puisque le porefeuille barbell es consrui en supposan que les variaions de aux sur la parie coure de la courbe son deux fois plus imporanes que celles sur la parie longue de la courbe β = 50%. Or le scénario 30/0/15 correspond exacemen à cee hypohèse. 82

83 31. Concenraion e diversificaion d un porefeuille 1. a On a représené la foncion L sur le graphique 16. Cee courbe de Lorenz vérifie L x x e L x 1. Le coefficien de Gini es alors TR-QAM, page 574 : G = = = 2 A A + B 1 L x dx L x dx 1 / 1 2 Figure 16 Courbe de Lorenz b La foncion L α x = x α avec α 0 es croissane. On a L α 1 = 1 d où L x 1 e L x x. C es donc une courbe de Lorenz. On a ; G α = [ x α+1 = 2 α + 1 = 1 α 1 + α x α dx 1 On en dédui que G 0 = 1, G 1 2 = 1 3 e G 1 = 0. α = 0 correspond au cas de la concenraion parfaie alors que α = 1 correspond au cas de l égalié parfaie. 2. a On a L w 0 = 0 e L w 1 = n j=1 w j = n j=1 w j = 1. Si x 2 x 1, on a L w x 2 L w x 2. ]

84 Figure 17 Foncion y = x α L w es donc une courbe de Lorenz. Le coefficien de Gini es égal à : Si w j = n 1, on a : Si w 1 = 1, on a : G = 2 = 2 n 1 0 lim n G = 2 n = 2 n = 1 n = 0 n L x dx 1 i=1 j=1 n i=1 i w j 1 i n 1 n n + 1 2n lim n = 1 1 n = 0 On remarque donc que l égalié parfaie ne correspond pas à G = 0 sauf dans le cas asympoique. C es pourquoi il es préférable de modifier légèremen la définiion de L w x : { i j=1 L w x = w j si x = n 1 i i j=1 w j + w i+1 nx i si n 1 i < x < n 1 i

85 La différence es que la définiion précédene correspond à une courbe de Lorenz consane par morceaux ou courbe en escalier alors que cee définiion correspond à une courbe affine par morceaux. Dans ce cas, le calcul du coefficien de Gini correspond à une inégraion par la méhode des rapèzes TR-QAM, page 200. On a : G = 2 n 1 i w j n 2 i=1 j=1 b L indice de Herfindahl prend la valeur 1 si le porefeuille es conecnré sur un seul acif. c On cherche à minimiser H = n i=1 w2 i sous la conraine n i=1 w i = 1. On a : n n f w 1,..., w n ; λ = wi 2 λ w i 1 i=1 Les condiions de premier ordre son 2w i λ = 0. On en dédui que w i = w j. H aein son minimum lorsque w i = n 1. Cela correspond au porefeuille équipondéré. Dans ce cas, on a : i=1 H = 1 n d La saisique N es le nombre équivalen d acifs du porefeuille équipondéré. Par exemple, si H = 0,5, alors N = 2. C es donc un porefeuille équivalen à deux acifs équipondérés. 3. a Pour le porefeuille w 1, on a w 1 1 = 40%, w 1 2 = 30%, w 1 3 = 20%, w 1 4 = 10% e w 1 5 = 0%. Il vien que : H w 1 = 5 i=1 w 1 i 2 = 0, , , ,40 2 = 0,30 On a aussi : G w 1 = 2 5 = i w 1 j i=1 j=1 0,40 + 0,70 + 0,90 + 1, = 0,40 Pour les porefeuilles w 2 e w 3, on obien H w 2 = 0,30, H w 3 = 0,25, G w 2 = 0,40 e G w 3 = 0,28. b Le porefeuille de variance minimale es w 4 1 = 82,342%, w 4 2 = 13,175%, w 4 3 = 3,284%, w 4 4 = 0,823% e w 4 5 = 0,366%. On obien H w 4 = 0,697 e G w 4 = 0,705. c On a N w 2 = N w 1 = 3,33, N w 3 = 4,00 e N w 4 = 1,44. d Toues les saisiques monren que le porefeuille le moins concenré es le porefeuille w 3. Le porefeuille le plus concenré es paradoxalemen le porefeuille de variance minimale w 4. On assimile souven l opimisaion de la variance à une opimisaion de la diversificaion. On voi donc dans ce exemple que diversifier le risque au sens de Markowiz ne perme pas d opimiser la concenraion. 85

86 32. La régression linéaire sous conraines 1. a On a TR-QAM, page 262 : S β = U U = Y Xβ Y Xβ = Y β X Y Xβ = Y Y β X Y Y Xβ + β X Xβ = β X Xβ 2β X Y + Y Y b La condiion de premier ordre s écri : On en dédui que : S β β = 2X Xβ 2 X Y = 0 ˆβ = X X 1 X Y c On a TR-QAM, page 263 : ˆβ = X X 1 X Y = X X 1 X Xβ + U = β + X X 1 X U Comme X U, ˆβ es un esimaeur sans biais : [ ] [ E ˆβ = E β + X X ] 1 X U = β + X X 1 [ E X U ] = β e la variance de ˆβ es : cov ˆβ [ ] = E ˆβ β ˆβ β [ X = E X 1 X UU X X X ] 1 = X X 1 X E [ UU ] X X X 1 = σ 2 X X 1 X IX X X 1 = σ 2 X X 1 2. a On a : On en dédui que : β = arg min S β { Aβ = B s.c. Cβ D β = arg min 1 2 β 2X X β β 2X Y s.c. { Aβ = B Cβ D On obien un programme QP classique avec Q = 2X X e R = 2X Y TR-QAM, page

87 b On obien ˆβ 1 = 1,01, ˆβ 2 = 0,95, ˆβ 3 = 2,04, ˆβ 4 = 3,10 e ˆβ 5 = 0,08. i. Si 5 i=1 β i = 1, on a : A = e B = 1 On obien β 1 = 2,40, β 2 = 1,08, β 3 = 0,49, β 4 = 2,43 e β 5 = 0,60. ii. Si β 1 = β 2 = β 5, on a : A = On obien β 1 = β 2 = β 5 = 0,08, β 3 = 2,22 e β 4 = 3,17. iii. Si β 1 β 2 β 3 β 4 β 5, on a : C = e B = 0 e D = On obien β 1 = 1,33, β 2 = 1,33, β 3 = 1,33, β 4 = 1,33 e β 5 = 0,23. iv. Si β 1 β 2 β 3 β 4 β 5 e 5 i=1 β i = 1, on a : A = , B = 1, C = e D = On obien β 1 = 2,63, β 2 = 0,91, β 3 = 0,91, β 4 = 0,91 e β 5 = 0,91. La condiion de premier ordre du programme QP s écri : Q β R A λ A + C λ C = 0 avec λ A un scalaire correspondan au lagrangien de la conraine d égalié e λ C un veceur de dimension 4 1 correspondan aux lagrangiens des conraines d inégalié qui vérifie les condiions de Kuhn-Tucker TR-QAM, page 91 : min λ C, C β D = 0 Comme λ A = 192,36304, on a : C λ C = Q β R A λ A = 0,0000 3,7244 2, , , On en dédui que : λ C = 0,0000 3,7244 0, ,

88 3. a On a : f β; λ = 1 2 β X X β β X Y λ Aβ B La condiion de premier ordre es : f β; λ β = X X β X Y A λ = 0 On a donc : β = X X 1 X Y X X 1 A λ Comme Aβ = B, on a : A X X 1 X Y A X X 1 A λ = B ou encore : λ = A X X 1 1 A A X X 1 X Y B On en dédui que : β = X X 1 X Y X X 1 A A X X 1 1 A A X X 1 X Y B = ˆβ X X 1 A A X X 1 1 A A ˆβ B b Pour ransformer le problème implicie en problème explicie, on considère la paramérisaion TR-QAM, page 126 : β = Cγ + D avec C la base orhonormale associée au noyau de la marice A e D = A A A B avec A A l inverse de Moore-Penrose de la marice A A. La foncion objecif devien : S γ = 1 2 β X X β β X Y = 1 2 Cγ + D X X Cγ + D Cγ + D X Y = 1 γ C X XCγ + D X XCγ + γ C X XD + D X XD 2 γ C X Y D X Y = 1 2 γ C X XC γ + γ C X XD C X Y D X XD D X Y On en dédui donc que : ˆγ = C X XC 1 C X Y XD e : β = C C X XC 1 C X Y XD + D c L expression de l esimaeur sous conraines explicies es : β = ˆβ X X 1 A A X X 1 1 A A ˆβ B = X X 1 I A A X X 1 1 A A X X 1 X Y + X X 1 A A X X 1 A 1 B 88

89 alors que celle de l esimaeur sous conraines implicies es : β = C C X XC 1 C X Y XD + D = C C X XC 1 C X Y + I C C X XC 1 C X X D On a aussi AC = 0 e D = A A A B. On peu monrer que pour oue marice M définie posiive, on a : M 1 I A AM 1 A 1 AM 1 = C C MC 1 C e : X X 1 A A X X 1 1 A = I C C X XC 1 A C X X A A On en dédui que les deux esimaeurs son équivalens 22. À ire d illusraion, on suppose que β 1 = β 2 e β 1 = β On a : A = e B = On en dédui que l esimaeur sous conraines explicies es : β = X X 1 I A A X X 1 1 A A X X 1 X Y + = X X 1 A A X X 1 A 1 B 0, , , , ,71960 On peu écrire les conraines implicies sous la forme de conraines explicies : β = Cγ + D = γ 1 γ 2 γ On en dédui que : γ = C X XC 1 C X Y X XD = 2, , , Lorsque j ai écri l énoncé de ce exercice, je n avais pas réalisé la difficulé de cee quesion. La démonsraion des deux égaliés maricielles es exrêmemen fasidieuse. Elle repose sur des égaliés similaires à celles démonrées dans l exercice 26 page 66. Comme il fau 3 à 4 pages de calcul, je ne préfère pas reporer ici la démonsraion, d auan plus que je n ai réussi à démonrer le résula que lorsque l on remplace la pseudo-inverse de Moore-Penrose A A par l inverse maricielle A A 1 qui n exise pas dans la plupar des cas. Merci de me conacer si vous rouvez une démonsraion élégane en conservan la pseudo-inverse de Moore-Penrose. 89

90 On obien donc la même soluion : β = C γ + D 0, ,28040 = 2, , ,71960 Les marices C e D de la décomposiion précédene β = Cγ + D corresponden à la marice orhonormale de A e à la marice A A A B. Mais il exise une infinié de décomposiion β = Cγ + D, la seule conraine es que C soi une marice orhogonale à la marice A. Si on prend par exemple : β = Cγ + D = γ 1 γ 2 γ On obien : γ = C X XC 1 C X Y X XD = 0, , ,21265 e : β = C γ + D 0, ,28040 = 2, , ,

91 33. Risk budgeing e modèles facoriels 1. Ce modèle facoriel es présené aux pages de TR-QAM. C es un modèle linéaire avec des faceurs communs F e des risques idiosyncraiques u. L écriure maricielle es : R = AF + u 2. La marice de covariance Σ des rendemens des acifs es : Σ = E [R E [R ] R E [R ] ] Or on a : E [R ] = E [AF + u ] = AE [F ] + E [u ] = 0 On en dédui que : Σ = E [ R R ] = E [AF + u AF + u ] = E [ AF + u F A + u ] = E [ AF F A + u F A + AF u + u u ] = AE [ F F ] A + E [ u F ] A + AE [ F u ] [ + E u u ] = AΩA + D car E [ F u ] = 0 e l opéraeur E es bilinéaire. On rerouve le résula de la page 303 de TR-QAM. 3. Soi R x, le rendemen du porefeuille x. On a : R x, = n x i R i, i=1 = x R On en dédui que : e : E [R x, ] = E [ x R ] = x E [R ] = 0 σ 2 R x, = E [R x, E [R x, ] 2] [ x = E 2 ] R = E [ x R R x ] = x E [ R R ] x = x AΩA x + x Dx = σ 2 f R x, + σ 2 s R x, avec σ 2 f R x, = x AΩA x e σ 2 s R x, = x Dx. On a bien décomposer la variance σ 2 R x, en une variance commune ou facorielle σ 2 f R x, e une variance spécifique σ 2 s R x,. 91

92 4. a C es un modèle à deux faceurs. Le premier faceur F 1, es un faceur de marché puisqu il affece ous les acifs. On noe que la sensibilié à ce faceur de marché es égale à 1. Le second faceur es indépendan au premier faceur e a une volailié moindre. Il n affece que les deux premiers acifs. On peu donc supposer que c es un faceur secoriel propre aux deux premiers acifs. b On calcule Σ = AΩA + D avec : Ω = 0, ,10 2 e D une marice diagonale de la forme suivane : 0,10 2 0,15 2 D = 0,10 2 0,15 2 On obien 23 : Σ = On en dédui que la volailié des acifs es : 0,20 2 6,00 5,00 7,25 4,00 4,00 5,00 4,00 4,00 4,00 6,25 4,00 4,00 4,00 4,00 8,00 σ = 24,49 26,93 22,36 25,00 28,28 e que la marice de corrélaion des acifs es : 100,00 75,81 100,00 ρ = 73,03 66,44 100,00 65,32 59,42 71,55 100,00 57,74 52,52 63,25 56,57 100,00 c On obien les résulas suivans : avec : Porefeuille σ 2 R x, σf 2 R x, σs 2 R x, p 1 6,00% 5.00% 1.00% 83.33% 2 7,25% 5.00% 2.25% 68.97% 3 5,00% 4.00% 1.00% 80.00% 4 6,25% 4.00% 2.25% 64.00% 5 8,00% 4.00% 4.00% 50.00% EW 4,58% 4.16% 0.42% 90.83% p = σ2 f R x, σ 2 R x, Pour calculer la décomposiion pour l acif 1, il suffi de considérer le porefeuille x = 1, 0, 0, 0, 0. L acif 1 es celui qui a la proporion de variance expliquée par les faceurs la plus imporane. L acif qui présene le plus de variance spécifique es l acif 4 puisque p 4 = 64%. 23. Les marices Σ, σ e ρ son exprimées en %. 92

93 d Les résulas corresponden au porefeuille EW du ableau précéden. On remarque que plus de 90% de la variance es expliquée par les faceurs. C es largemen plus imporan que les résulas que l on obien pour les acifs individuels. C es une illusraion du principe de diversificaion. En combinan les acifs, on peu ainsi réduire le risque spécifique. 5. a On a mainenan un modèle à 3 faceurs. Les deux premiers faceurs ressemblen aux deux faceurs du modèle précéden. Il y a une différence cependan, puisque les volailiés son inversées. Le roisième faceur es spécifique aux acifs 3, 4 e 5. On noe qu il présene une volailié relaivemen élevée puisque σ F3 = 22,36%. De plus, il es corrélé posiivemen au premier faceur e négaivemen au second faceur 24. b Si on calcule la marice Σ = A A +D, on obien les mêmes résulas que ceux de la quesion 4a. La volailié des rendemens des 5 acifs ainsi que les corrélaions croisées son donc les mêmes que celles précédenes. c On noe F les faceurs de la quesion 4a afin de les disinguer. On remarque que : var A i,1f 1, + A i,2f 2, = var Ai,1 F 1, + A i,2 F 2, + A i,3 F 3, En effe, si i es égal à 1 ou 2, on a : var A i,1f 1, + A i,2f 2, = var F 1, + F 2, = 0, ,10 2 = 5% e : var A i,1 F 1, + A i,2 F 2, + A i,3 F 3, = var F 1, + F 2, = 0, ,10 2 = 5% Si i es égal à 3, 4 ou 5, on a : var A i,1f 1, + A i,2f 2, = var F 1, = 4% e : var A i,1 F 1, + A i,2 F 2, + A i,3 F 3, = var F 2, + F 3, = = σf σf ρ F2,F 3 σ F2 σ F3 σf σf σf 2 2 2σ 2 F2 = 4% On peu aussi remarquer que les covariances son les mêmes : cov A i,1f 1, + A i,2f 2,, A j,1f 1, + A j,2f 2, = cov A i,1 F 1, + A i,2 F 2, + A i,3 F 3,, A j,1 F 1, + A j,2 F 2, + A j,3 F 3, En effe, si i {1, 2} e j {1, 2}, on a : cov i,j = cov F 1, + F 2,, F 1, + F 2, = 0, ,10 2 = 5% 24. On a ρ F1,F 3 = 89,44% e ρ F2,F 3 = 44,72%. 93

94 e : cov i,j = cov F 1, + F 2,, F 1, + F 2, = 5% Si i {3, 4, 5} e j {3, 4, 5}, on a : cov i,j = cov F 1,, F 1, = 4% e : cov i,j = cov F 2, + F 3,, F 2, + F 3, = var F 2, + F 3, = 4% Enfin, si i {1, 2} e j {3, 4, 5}, on a : cov i,j = cov F 1, + F 2,, F 1, = 4% e : cov i,j = cov F 1, + F 2,, F 2, + F 3, = ρ F1,F 3 σ F1 σ F3 + σ 2 F 2 + ρ F2,F 3 σ F2 σ F3 = σ 2 F 1 + σ 2 F 2 σ 2 F 2 = 4% On en dédui que les deux modèles facoriels son équivalens. d On a noe Ψ la marice 5 5 égale à AΩA avec les données de la quesion 4. On cherche mainenan l ensemble des marices A de dimension 5 3 e Ω de dimension 3 3 elles que : AΩA = Ψ On a donc 21 paramères e 15 équaions. Il y a donc une infinié de soluion. Comme F 3 = F 1 F 2, on peu réduire ce ensemble en remarquan que σf 2 3 σf 2 σ 2 1 F = 0 e que 2 A i,1 F 1,+A i,2 F 2, A i,3 F 1 F 2 = A i,1 F 1, +A i,2 F 2,. On obien un sysème de 19 équaions à 21 paramères. Le modèle précéden es un exemple de paramérisaion qui saisfai ces équaions. 6. a On a : σ R x, = x Σx On en dédui que : σ R x, = Σx x x Σx On obien donc la relaion suivane TR-QAM, page 128 : n i=1 σ R x, x i = x σ R x, x i x Cee relaion es appelée la décomposiion d Euler. = x Σx x Σx = x Σx = σ R x, 94

95 b On a : σ R x, y x σ R x, = y x = B σ R x, x La marice C es donc égale à la ransposée de l inverse de Moore-Penrose de B. On en dédui que : c On rappelle que Σ = AΩA + D. On a donc : σ R x, RC F j = y j y j = Bx i B σ R x, x Bx i B Σx i = x Σx σ R x, = x AΩA x + x Dx Il es éviden que D doi êre nul pour que la décomposiion d Euler soi valide sur les faceurs. Dans le cas général, on ne rerouve pas cee décomposiion si on n a pas un nombre suffisan de faceurs m = n. d On a σ f R x, = x AΩA x. On obien : σ f R x, y i = = B AΩA x x AΩA x Φy i y y Φy i i avec Φ = B AΩA B. On en dédui que : σ f x = m j=1 y j σ f R x, y j La volaiilié facorielle saisfai donc la décomposiion facorielle. e On pose B = A avec A l inverse de Moore-Penrose de A. Soi M une marice. Par consrucion de l inverse de Moore-Penrose, on a : On obien donc : f On obien les résulas suivans : B MB = A MA Φ = B AΩA B = A AΩA A Acif x i xi σ R x, σ i R x, σ i R x, /σ R x, A 1 20,00% 21,49% 4,30% 20,09% A 2 20,00% 22,66% 4,53% 21,18% A 3 20,00% 19,63% 3,93% 18,34% A 4 20,00% 20,79% 4,16% 19,43% A 5 20,00% 22,43% 4,49% 20,96% 95

96 Dans le cas du modèle à deux faceurs, on a : Faceur y j yj σ f R x, σ j R x, σ j R x, /σ f R x, F 1 20,00% 101,98% 20,40% 100,00% F 2 0,00% 43,15% 0,00% 0,00% Pour le modèle à rois faceurs, ces résulas deviennen les suivans : Faceur y j yj σ f R x, σ j R x, σ j R x, /σ f R x, F 1 6,67% 43,15% 2,88% 14,10% F 2 13,33% 101,98% 13,60% 66,67% F 2 6,67% 58,83% 3,92% 19,23% On remarque que le choix de la paramérisaion influence beaucoup la décomposiion facorielle de la volailié commune. g La log-vraisemblance à la dae associée au modèle facoriel es TR-QAM, page 303 : l = n 2 ln 2π 1 2 ln AΩA + D 1 2 R AΩA + D 1 R Si on dispose d un échanillon de T observaions e si on concenre la log-vraisemblance, on obien TR-QAM, page 304 : l = nt 2 ln 2π T 2 ln AΩA + D T AΩA 2 race + D 1 ˆΣ avec ˆΣ la marice de covariance empirique des rendemens. L expression AΩA es idenifiable mais les marices A e Ω ne son pas uniques. On a donc un problème d idenificaion. h i. On obien les résulas suivans pour le porefeuille ERC : Acif x i xi σ R x, σ i R x, σ i R x, /σ R x, A 1 45,88% 6,89% 3,16% 25,00% A 2 22,94% 13,78% 3,16% 25,00% A 3 17,82% 17,75% 3,16% 25,00% A 4 13,36% 23,66% 3,16% 25,00% ii. On a : e : D = A = 9, , , , , , , , iii. On a σ R x, = 12,65% e σ f R x, = 11,02%. On obien : iv. On obien : Faceur y j yj σ f R x, σ j R x, σ j R x, /σ f R x, F 1 195,88% 3,51% 6,88% 62,37% F 2 68,14% 6,09% 4,15% 37,63% Faceur y j yj σ f R x, σ j R x, σ j R x, /σ f R x, F 1 194,06% 3,14% 6,10% 50,00% F 2 86,91% 7,02% 6,10% 50,00% 96

97 e : Acif x i xi σ R x, σ i R x, σ i R x, /σ R x, A 1 30,04% 5,87% 1,76% 12,15% A 2 30,60% 12,17% 3,72% 25,67% A 3 20,95% 19,09% 4,00% 27,58% A 4 18,42% 27,25% 5,02% 34,60% C es donc un porefeuille sensiblemen différen du porefeuille ERC. Concernan les volailiés, on obien σ R x, = 14,50% e σ f R x, = 12,20%. On noe aussi que les conribuions en risque des acifs 3 e 4 son plus grandes que dans le cas du porefeuille ERC. On peu expliquer ceci par le fai qu ils son les conribueurs du deuxième faceur e qu ils présenen les plus grosses volailiés. 97