Correction des exercices du livre La Gestion d Actifs Quantitative

Transcription

1 Correcion des exercices du livre La Gesion d Acifs Quaniaive Thierry Roncalli 15 Novembre 2011 Ce documen présene les correcions 1 des exercices du livre : Thierry Roncalli, La Gesion d Acifs Quaniaive, Economica, 2010 ce livre es cié sous la référence [TR-QAM] par la suie. Table des maières 1. L indexaion alernaive Filre de Kalman lorsque le brui de l équaion de mesure es corrélé avec le brui de l équaion d éa Régression linéaire sans consane Méhode généralisée des momens Modèles srucurels à composanes inobservables Méhode de While Calcul de PnL e de MM d un swap de variance Les sraégies opionnelles Consrucion d un backes Consrucion de porefeuilles diversifiés Consrucion de porefeuilles efficiens Dérivaion des équaions de récursion du filre de Kalman Consrucion d une posiion de carry rade Bêa d un porefeuille Maximum de vraisemblance des modèles Probi e Logi Consrucion de porefeuilles ilés Idenificaion d un modèle espace-éa Calcul d un indice d acions Roll d une posiion de fuures Processus fracionnaire e sraégie d invesissemen long/shor Sraégie volailiy arge e indice propriéaire Calcul du raio de Sharpe Déerminaion d un porefeuille de marché Allocaion sraégique, allocaion acique e modèle de Black-Lierman Gap risk e méhode CPPI Comparaison du filre de covariance de Kalman e du filre d informaion Le coefficien bêa Le raio de Sharpe Variaions auour de la fronière efficiene Les sraégies de aux Concenraion e diversificaion d un porefeuille La régression linéaire sous conraines Risk budgeing e modèles facoriels Les programmes Gauss qui on servi à résoudre numériquemen ces exercices son disponibles à l adresse suivane : 1

2 1. L indexaion alernaive 1. Les indices de pondéraion alernaive son des indices don les poids son différens de ceux définis par la capialisaion boursière. On disingue généralemen deux familles d indices alernaifs. La première concerne l indexaion fondamenale fundamenal indexaion alors que la seconde correspond à l indexaion basée sur le risque risk-based indexaion. Ces indices son apparus dans les années 2000 à la suie des fores criiques concernan les indices marke-cap : biais momenum, fore exposiion aux bulles, concenraion du porefeuille, absence de règles d allocaion pour diversifier le risque. 2. L indexaion fondamenale considère que la bonne mérique pour pondérer les acions es leur valeur économique e non leur capialisaion boursière. C es donc une sraégie die value. Les poids dans l indice son donc proporionnels à des raios financiers qui poren sur la valeur compable des capiaux propres book value, l excéden bru d exploiaion ebida, la valeur du dividende dividend yield, ec. TR-QAM, page Les sraégies mv, erc, mdp e 1/n son définies aux pages e de TR-QAM. 4. On monre que le porefeuille ERC es soluion du problème d opimisaion suivan : x c = arg min x Σx n i=1 ln x i c s.c. 1 x = 1 0 x 1 avec Σ la marice de covariance e c une consane défini a poseriori. C es donc un problème de variance minimale sous une conraine supplémenaire n i=1 ln x i c. Celle-ci s inerprèe comme une conraine de diversificaion. Si c = n ln n, on obien le porefeuille équipondéré, c es-à-dire le porefeuille le moins concenré en erme de poids. Le porefeuille ERC es donc un porefeuille de variance minimale en imposan une diversificaion minimale. 5. On en dédui que la marice de covariance es : Σ = 1,000 1,000 0,750 0,000 1,000 4,000 1,500 0,000 0,750 1,500 2,250 0,000 0,000 0,000 0,000 6, Pour chaque porefeuille, on calcule le poids x i de l acif i, la volailié marginale associée xi σ x, la conribuion en risque absolue σ i x = x i xi σ x e relaive σ i x /σ x. Toues ces quaniés son exprimées en pourcenage. Voici les résulas pour le porefeuille mv : i x i xi σ x σ i x σ i x /σ x 1 74,26 9,14 6,79 74,26 2 0,00 10,16 0,00 0, ,38 9,14 1,13 12, ,37 9,14 1,22 13,37 On vérifie que la volailié marginale es la même pour ous les acifs qui on un poids sricemen posiifs TR-QAM, page 134. Pour le porefeuille erc, on obien : i x i xi σ x σ i x σ i x /σ x 1 36,60 7,07 2,59 25, ,30 14,14 2,59 25, ,40 10,61 2,59 25, ,70 12,50 2,59 25,00 2

3 Les résulas pour le porefeuille mdp son : Pour le porefeuille 1/n, on obien finalemen : i x i xi σ x σ i x σ i x /σ x 1 33,71 6,32 2,13 20, ,85 12,65 2,13 20, ,47 9,49 2,13 20, ,97 15,81 4,26 40,00 i x i xi σ x σ i x σ i x /σ x 1 25,00 6,15 1,54 13, ,00 14,53 3,63 32, ,00 10,06 2,52 22, ,00 13,98 3,49 31,25 Encadré 1 Déerminaion des porefeuilles 1/n, mv, erc e mdp le sigma = ; le rho = ; rho = xpndrho; cov = rho.* sigma.* sigma ; nasses = rowscov; Bounds = 0~1; {x,vol,recode} = Qprog_Min_Variancecov,ones1,nAsses,1,0,0, Bounds.* onesnasses,1; {vol,mr,r,rc} = Compue_Risk_Conribuionx,cov; resul_mv = 100*x~mr~r~rc; {x,vol,mr,r,rc} = Compue_ERC_Porfolio0,cov; resul_erc = 100*x~mr~r~rc; {x,vol,mr,r,rc} = Compue_MDP_Porfolio0,cov; resul_mdp = 100*x~mr~r~rc; x = onesnasses,1/nasses; {vol,mr,r,rc} = Compue_Risk_Conribuionx,cov; resul_ew = 100*x~mr~r~rc; prin fosa100*cov,"%lf",3,3; prin fosaresul_mv,"%lf",3,2; prin fosaresul_erc,"%lf",3,2; prin fosaresul_mdp,"%lf",3,2; prin fosaresul_ew,"%lf",3,2; 3

4 2. Filre de Kalman lorsque le brui de l équaion de mesure es corrélé avec le brui de l équaion d éa 1. On inrodui le processus γ = γ 1 avec γ 0 = 1. Une aure écriure du modèle espace-éa es : y = Z α + d γ + ϵ α = T α 1 + c γ + R η γ = γ 1 On obien alors : avec : { y = Z α α = T α 1 + R η Z = Z d I α = α γ, T = T c , R = R ϵ I η η = ϵ 2. On reprend les noaions de TR-QAM page 349. Les équaions de récursion du filre de Kalman son données à la page 350 de TR-QAM. Si on applique celles-ci au modèle 1, on a : avec : On pose : a 1 = T a 1 P 1 = T P 1T y 1 = Z a 1 v = y y 1 F = Z P 1 Z a = a 1 + P 1 Z P = I m P 1 Z a 0 = a Q Q C = C H e P0 = + R Q R F 1 v F 1 Z On suppose que la marice P 1 es de la forme : P 0 V P = V 0 W P 1 P On en dédui que V = R C e W = H. On obien donc : a 1 = T a 1 + c P 1 = T P 1 T + R Q R y 1 = Z a 1 + d v = y y 1 F = Z P 1 Z + 2Z R C + H a = a 1 + P 1 Z + R C F 1 v P = P 1 P 1 Z + R C F 1 Z P 1 + C R 1 4

5 3. Régression linéaire sans consane 1. On a : e : Y = y 1. y n, X = x 1,1 x 1,K... x n,1 La somme des carrés des résidus ϵ ϵ es 2 : On a : x n,k ϵ N 0, σ 2 I n ϵ ϵ = Y Xβ Y Xβ, β = = Y β X Y Xβ β 1. β n = Y Y β X Y Y Xβ + β X Xβ = Y Y 2β X Y + β X Xβ ˆβ OLS = arg min ϵ ϵ = arg min Y Y 2β X Y + β X Xβ = arg min 1 2 β X X β β X Y, ϵ = ˆβ OLS es donc la soluion du programme quadraique avec Q = X X e R = X Y TR-QAM, page a On considère qu il y a une consane dans les variables explicaives. On noe X = 1 X avec X la marice des exogènes qui ne conien pas de consane. On pose aussi : β0 β = La condiion de premier ordre du programme quadraique précéden es : On en dédui que : β Q ˆβ = R X X ˆβ = X Y { 1 1 ˆβ X ˆβ = 1 Y X 1 ˆβ 0 + X X ˆβ = X Y Si les résidus son cenrés, on doi vérifier que 1 ˆϵ = 0 ou encore : 1 Y ˆβ 0 1 ˆβ X = 0 ϵ 1.. ϵ n Or on a 3 : 1 Y ˆβ 0 1 ˆβ X = 1 Y 1 ˆβ0 1 1 ˆβ X = 1 1 ˆβ X ˆβ 1 ˆβ0 1 1 ˆβ X = race 1 1 ˆβ 0 + race 1 X ˆβ 1 ˆβ0 1 1 ˆβ X = race 1 ˆβ0 1 + race 1 ˆβ X 1 ˆβ0 1 1 ˆβ X = 1 ˆβ ˆβ X 1 ˆβ0 1 1 ˆβ X = 0 2. Comme Y Xβ es un scalaire, on a Y Xβ = Y Xβ = β X Y. 3. On uilise ici le fai que race a = a si a es un scalaire e que race AB = race BA si la muliplicaion maricielle BA es définie. 5

6 L inclusion d une consane dans X perme donc de cenrer les résidus. En revanche, s il n y a pas de consane dans X, il n y a aucune raison que les résidus soien cenrés. b Pour que les résidus soien cenrés, il fau ajouer la conraine 1 ϵ = 0. On a : 1 ϵ = 1 Y 1 Xβ La conraine s exprime donc de la façon suivane : Le programme d opimisaion devien : 1 Xβ = 1 Y ˆβ = arg min 1 2 β X X β β X Y s.c. 1 X β = 1 Y On a encore un programme quadraique avec Q = X X, R = X Y, A = 1 X e B = 1 Y TR-QAM, page 79. c Pour ransformer le problème implicie précéden en problème explicie, on considère la paramérisaion TR-QAM, page 126 : β = Cγ + D avec C la base orhonormale associée au noyau de la marice A = 1 X e : D = A A A B = X 11 X X 11 Y avec A A l inverse de Moore-Penrose de la marice A A. Comme β es de dimension K 1, les marices C, γ e D son de dimensions respecives K K 1, K 1 1 e K 1. La foncion objecif devien : f β = 1 2 β X X β β X Y = 1 2 Cγ + D X X Cγ + D Cγ + D X Y = 1 γ C X XCγ + D X XCγ + γ C X XD + D X XD 2 γ C X Y D X Y = 1 2 γ C X XC γ + γ C X XD C X Y D X XD D X Y On en dédui donc que : ˆγ = C X XC 1 C X Y XD e : ˆβ = C C X XC 1 C X Y XD + D La soluion analyique des moindres carrés ordinaires pour cenrer les résidus lorsqu il n y a pas de consane consise donc à : i. calculer C la base orhonormale associée au noyau de la marice 1 X ; ii. calculer D = X 11 X X 11 Y ; iii. en déduire ˆβ = C C X XC 1 C X Y XD + D. 6

7 3. a Si on inclu une consane dans la régression, cela revien à modéliser le rendemen des hedge funds comme la somme d une composane α e d une composane β TR-QAM, page 361. D un poin de vue de la réplicaion des hedges funds, il n es pas possible cependan de répliquer la composane α. On peu donc envisager d omere la consane dans la régression. Dans ce cas, cela revien à expliquer une parie de l alpha par du bêa. Dans ce dernier cas, on aura donc des posiions léveragées par rappor à celles obenues avec le modèle de régression avec consane. b Pour saisfaire les conraines UCITS, il ne fau pas excéder un levier de 2, c es-à-dire que la somme des valeurs absolues des exposiions ne doi pas dépasser 200%. Le programme d opimisaion devien 4 : ˆβ = arg min 1 2 β X X β β X Y s.c. { 1 Xβ = 1 Y K k=1 β k 2 On n a plus un programme quadraique puisque l on a une conraine foremen non-linéaire K k=1 β k 2. On considère donc un programme augmené avec TR-QAM, pages : β k = β + k β k avec β + k 0 e β k 0. On noe : β = I I β + = Γβ β Sous cee forme, la conraine UCITS s exprime facilemen : 1 β 2. On obien donc un programme quadraique en β : avec : X Q = X X X X X X X ˆβ = arg min 1 2 β Qβ β R Aβ = 1 Y s.c. 1 β 2 0 β X, R = Y X Y e A = 1 X 1 X On en dédui que la soluion saisfaisan la conraine UCITS es : ˆβ = Γ ˆβ 4. On peu omere la conraine poran sur les résidus cenrés. 7

8 4. Méhode généralisée des momens 1. Soi X LN µ, σ. Pour m 1, on a : E [X m ] = x m 1 σx 2π exp ln x µ dx σ On considère les changemens de variable y = σ 1 ln x µ e z = y σ. On obien : E [X m 1 ] = exp mµ + mσy exp 12 2π y2 dy = exp mµ [Φ y] + 1 exp 1 2π 2 y2 + mσy dy 1 = exp mµ + exp 2 m2 σ 2 1 exp 12 y 2π mσ2 dy 1 = exp mµ + exp 2 m2 σ 2 1 exp 12 2π z2 dz 1 = exp mµ + exp 2 m2 σ 2 [Φ z] = exp mµ + 12 m2 σ 2 On en dédui que : E [X] = e µ+ 1 2 σ2 E [ X 2] = e 2µ+2σ2 var X = E [ X 2] E 2 [X] = e 2µ+2σ2 e 2µ+σ 2 = e 2µ+σ2 e σ2 1 Pour uiliser la méhode GMM, on doi donc spécifier les momens empiriques suivans TR-QAM, pages 278 : h,1 µ, σ = x e µ+ 1 2 σ2 h,2 µ, σ = x e µ+ 1 2 σ2 2 e 2µ+σ 2 e σ2 1 Le programme Gauss correspondan es donné dans l encadré 2, alors que l encadré 3 présene les résulas. Sur ce exemple, on a ˆµ GMM = 5,06 e ˆσ GMM = 0, On a u = y x β e : E [u ] = 0 E [ u 2 ] = σ 2 E [u x ] = 0 Les deux premiers momens cenrés son donc TR-QAM, page 279 : h,1 θ = y x β h,2 θ = y x β 2 σ 2 8

9 Encadré 2 Programme d esimaion GMM d une loi-lognormale n = 1000; x_ln = exp5 + rndnn,1; sv = 1 2; proc H_LNhea; local mu,sigma,m1,m2,m; mu = hea[1]; sigma = sqrhea[2]^2; m1 = expmu * sigma^2; m2 = exp2 * mu + sigma^2 * expsigma^2-1; M = zerosn,2; M[.,1] = x_ln - m1; M[.,2] = x_ln - m1^2 - m2; repm; endp; {hea,sderr,mcov,qmin} = reggmm0,0,&h_ln,sv,0,0; Encadré 3 Résulas du programme d esimaion GMM d une loi-lognormale =============================================================================== reggmm - Generalized Mehod of Momens 10/12/ :10 am =============================================================================== Toal observaions: 1000 Missing observaions: 0 Usable observaions: 1000 Valid cases: 1000 Number of parameers: 2 Number of unresriced parameers: 2 Number of momens: 2 Degrees of freedom: 998 Value of he crierion funcion: Parameers esimaes sd.err. -saisic p-value P P Covariance marix: inverse of he negaive Hessian. 9

10 Le veceur des paramères θ = β, σ éan de dimension K 1, on doi uiliser d aures momens pour idenifier le modèle si K > 2. On uilise donc les condiions d orhogonalié e on a TR-QAM, page 280 : h,k+2 θ = y x β x,k Si les résidus son hééroscédasiques var u = σ αz, le deuxième momen devien : h,2 θ = y x β 2 σ αz Conrairemen au modèle précéden qui es sur-idenifié 5, celui-ci es juse idenifié puisque la dimension de θ = β, σ, α es K a Avan de donner les deux premiers momens cenrés du modèle obi, on va éudier les momens de la disribuion normale ronquée e censurée. i. Soi X N µ, σ e X = X X x la variable aléaoire ronquée à gauche. L expression de la densié de X es : ϕ x µ σ f X x = σ 1 Φ x µ σ On pose α = σ 1 x µ. On a 6 : [ ] 1 E X = x 1 1 Φ α x σ 2π exp 1 2 x µ dx 2 σ 1 1 = µ + σy exp 12 1 Φ α α 2π y2 dy 1 = µ ϕ y dy + σ [ ϕ y] α 1 Φ α α = µ + σλ α avec λ α l inverse du raio de Mills : λ α = ϕ α 1 Φ α On a : [ ] 1 E X2 = x Φ α x σ 2π exp 1 2 x µ dx 2 σ 1 = µ + σy 2 1 exp 12 1 Φ α α 2π y2 dy 1 = µ 2 ϕ y dy + 2µσ [ ϕ y] α 1 Φ α + σ2 y 2 ϕ y dy α α = µ 2 σ 2 + 2µσλ α + [ yϕ y] α 1 Φ α + ϕ y dy = µ 2 + 2µσλ α + σ αλ α On en dédui que : [ ] [ ] var X = E X2 E 2 X = µ 2 + 2µσλ α + σ αλ α µ 2 2µσλ α σ 2 λ 2 α = σ 2 1 δ α 5. On a K + 2 momens pour K + 1 paramères. 6. On considère le changemen de variable y = σ 1 x µ. α 10

11 avec : ii. On noe mainenan : δ α = λ α λ α α { X si X x Ỹ = y si X < x Ỹ es une aléaoire censurée à gauche. On a : ] ] E [Ỹ = Pr {Y = y } E [Ỹ X < x + Pr {Y y } E [X X x ] [ ] = Φ α y + 1 Φ α E X = Φ α y + 1 Φ α µ + σλ α On a aussi : 2 E [Ỹ ] ] = Pr {Y = y } E [Ỹ 2 X < x + Pr {Y y } E [ X 2 ] X x [ ] = Φ α y Φ α E X2 = Φ α y Φ α µ 2 + 2µσλ α + σ αλ α On noe β = σ 1 y µ. On en dédui que : 2 var Ỹ = E [Ỹ ] [ ] E 2 Ỹ car : = Φ α y Φ α µ 2 + 2µσλ α + σ αλ α Φ 2 α y 2 2Φ α 1 Φ α µy + σy λ α 1 Φ α 2 µ 2 + 2µσλ α + σ 2 λ 2 α = Φ α 1 Φ α y 2 + Φ α 1 Φ α µ 2 + 2Φ α ϕ α µσ + ϕ α α ϕ α + 1 Φ α σ 2 2Φ α 1 Φ α µy 2Φ α ϕ α σy = Φ α 1 Φ α y µ 2 2Φ α ϕ α y µ σ + 1 Φ α 1 + λ α α ϕ α σ 2 = Φ α 1 Φ α β 2 σ 2 2Φ α ϕ α βσ Φ α 1 δ α λ α ϕ α + λ 2 α σ 2 = σ 2 1 Φ α Φ α β 2 2Φ α λ α β + 1 δ α λ α ϕ α + λ 2 α = σ 2 1 Φ α 1 δ α + β λ α 2 Φ α Φ α λ 2 α λ α ϕ α + λ 2 α = λ 2 α Φ α 1 Φ α + 1 = 0 iii. Afin de bien illusrer la différence enre la roncaure e la censure, on a reporé sur les graphiques 1 e 2 les densiés correspondanes [ ] de X e [ Ỹ ] lorsque µ = 2, σ = 3 e y = x = 1. À ire d illusraion, on a E X = 3,7955, E X2 = 18,3864, σ X = 1,9952, ] ] 2 E [Ỹ = 2,7627, E [Ỹ = 11,9632, e σ Ỹ = 2,0810. iv. On peu donc mainenan donner les deux premiers momens cenrés du modèle obi y = max 0, x β + u avec u N 0, σ 2. On a µ = x β e y = 0. On en dédui que : h,1 β, σ = y 1 Φ α x β + σλ α h,2 β, σ = h 2,1 β, σ σ 2 1 Φ α 1 δ α + α λ α 2 Φ α avec α = x β /σ, λ α = ϕ α / 1 Φ α e δ α = λ α λ α α. 11

12 Figure 1 Densié de la variable aléaoire ronquée X Figure 2 Densié de la variable aléaoire censurée Ỹ 12

13 b Les encadrés 5 e 6 présenen le programme de la méhode simulée des momens TR-QAM, page 283, ainsi que les résulas. À ire de comparaison, on repore le programme GMM dans l encadré 4. Avec la méhode GMM, on obien ˆβ GMM = 1,06 e ˆσ GMM = 0,48. Avec la méhode simulée des momens, on a des esimaions proches puisque ˆβ SMM = 1,01 e ˆσ SMM = 0,53. Encadré 4 Programme d esimaion GMM du modèle Tobi rndseed ; n = 1000; x_obi = rndun,1; bea = 1; u = 0.5 * rndnn,1; y = bea * x_obi + u; y_obi = y.* y.> 0; sv = 1 1; proc H_TOBIT_GMMhea; local bea,sigma,alpha,mu,phi,lambda,dela,m1,m2,m; bea = hea[1]; sigma = sqrhea[2]^2; mu = bea.* x_obi; alpha = - mu./ sigma; Phi = cdfnalpha; lambda = pdfnalpha./ 1 - Phi; dela = lambda.* lambda - alpha; m1 = Phi.* Phi.* mu + sigma.* lambda; m2 = sigma^2.* 1 - Phi.* 1 - dela + alpha - lambda^2.* Phi ; M = zerosn,2; M[.,1] = y_obi - m1; M[.,2] = y_obi - m1^2 - m2; repm; endp; {hea,sderr,mcov,qmin} = reggmm0,0,&h_tobit_gmm,sv,0,0; 13

14 Encadré 5 Programme d esimaion SMM du modèle Tobi proc H_TOBIT_SMMhea; local bea,sigma,y_smm,y_obi_smm,m1,m2,m; bea = hea[1]; sigma = sqrhea[2]^2; rndseed 123; y_smm = bea.* x_obi + sigma * rndnn,1; y_obi_smm = y_smm.* y_smm.> 0; m1 = meancy_obi_smm; m2 = sdcy_obi_smm^2; M = zerosn,2; M[.,1] = y_obi - m1; M[.,2] = y_obi - m1^2 - m2; repm; endp; {hea,sderr,mcov,qmin} = reggmm0,0,&h_tobit_smm,sv,0,0; Encadré 6 Résulas de l esimaion SMM du modèle Tobi =============================================================================== reggmm - Generalized Mehod of Momens 10/12/ :07 am =============================================================================== Toal observaions: 1000 Missing observaions: 0 Usable observaions: 1000 Valid cases: 1000 Number of parameers: 2 Number of unresriced parameers: 2 Number of momens: 2 Degrees of freedom: 998 Value of he crierion funcion: Parameers esimaes sd.err. -saisic p-value P P Covariance marix: inverse of he negaive Hessian. 14

15 5. Modèles srucurels à composanes inobservables 1. a On uilise la représenaion espace-éa canonique donnée à la page 349 de TR-QAM. Pour le modèle M1, on a Z = 1, α = µ, d = 0, H = σε, 2 T = 1, c = 0, R = 1 e Q = ση. 2 Pour µ 1 1, d β = 0, H = σ 2 ε, T =, 0 1 le modèle M2, on obien Z = 1 0, α = 0 σ 2 c =, R 0 = I e Q = η 0 0 σζ 2 QAM, page 355 : y = 1 0 µ 0 + µ β = β µ 1. L écriure espace-éa es donc la suivane TR- β 1 + ε η b Ces processus son inégrés d ordre 1. On doi donc rouver leur forme saionnaire pour en déduire leur densié specrale. Pour le modèle M1, on a TR-QAM, page 401 : 1 L y = µ + ε µ 1 + ε 1 = µ µ 1 + ε ε 1 = η + 1 L ε Il es éviden que η +1 L ε es saionnaire, on en dédui donc que la forme saionnaire de y es S y = 1 L y. Comme les processus η e ε son indépendans, la densié specrale associée es donc 7 : ζ Pour le modèle M2, on a : 2πf Sy λ = σ 2 η + 1 e iλ 2 σ 2 ε = σ 2 η + 1 cos λ + i sin λ 2 σ 2 ε = σ 2 η + 1 cos λ i sin λ 2 σ 2 ε = ση cos λ + i sin λ 2 σε 2 = ση cos λ 2 + sin 2 λ σ 2 ε = σ 2 η cos λ + cos 2 λ + sin 2 λ σ 2 ε = σ 2 η cos λ σ 2 ε 1 L y = µ + ε µ 1 + ε 1 = µ µ 1 + ε ε 1 = β 1 + η + ε ε 1 1 L y n es pas saionnaire puisque le processus β es inégré d ordre 1. On a : 1 L 2 y = 1 L β 1 + η + ε ε 1 = β 1 β 2 + η η L 2 ε = ζ L η + 1 L 2 ε C es donc la somme de rois processus saionnaires indépendans, on en dédui que la forme 7. On uilise le fai que les foncions cos e sin son respecivemen paire e impaire, que cos 2 x + sin 2 x es égal à 1 e que le module du nombre complexe a + ib es a 2 + b 2. 15

16 saionnaire de y es S y = 1 L 2 y. On remarque que 8 : g λ 1 L 2 = 2 1 cos λ g λ 1 L = 4 1 cos λ 2 On en dédui donc que TR-QAM, page 401 : f Sy λ = σ2 ζ cos λ σ2 η cos λ 2 σ 2 ε 2π c On a représené des densiés specrales des modèles M1 e M2 sur le graphique 3 lorsque σ ε = σ η = σ ζ = 1. On voi que celles-ci son confondues pour les basses fréquences e que la différence enre les deux processus vien de la dynamique sur les haues fréquences. 2. a µ es une endance sochasique, β es une composane AR1 que l on peu assimiler à une composane de reour à la moyenne si ϕ < 0 e γ es une composane saisonnière sochasique. Si σ ω = 0, on a : γ s γ 1 + γ = 0 Comme γ s γ + γ +1 = 0, on a : γ +1 = γ s γ = γ s+1 On a donc une composane saisonnière déerminise de période s. Par exemple, si s = 4, on obien : γ +1 = γ 3 = γ 7 =... γ +2 = γ 2 = γ 6 =... γ +3 = γ 1 = γ 5 =... γ +4 = γ = γ 4 =... Le processus se répèe donc oues les quares périodes. Si σ ω 0, on a γ s γ 1 +γ = ω e γ s γ + γ +1 = ω +1. On a donc : γ +1 = ω +1 γ s γ = ω +1 ω γ s+1 = γ s+1 + ω +1 ω 8. Une aure façon de rouver ce résula es de remarquer que 1 L 2 = 1 2L + L 2. On a donc : g λ 1 L 2 = 1 2e iλ + e iλ 2 2 = 1 2e iλ + e 2iλ 2 = 1 2 cos λ + cos 2λ + i 2 sin λ sin 2λ 2 = 1 2 cos λ + cos 2λ sin λ sin 2λ 2 = 1 4 cos λ + 4 cos 2 λ + 2 cos 2λ 4 cos λ cos 2λ + cos 2 2λ + 4 sin 2 λ 4 sin λ sin 2λ + sin 2 2λ = 6 4 cos λ + 2 cos 2λ 4 cos λ cos 2λ + sin λ sin 2λ = 6 4 cos λ + 2 cos 2λ 4 cos λ 2λ = 6 8 cos λ + 2 cos 2λ = 4 8 cos λ cos 2λ = 4 8 cos λ cos 2 λ sin 2 λ = 4 8 cos λ + 4 cos 2 λ = 4 1 cos λ 2 16

17 Figure 3 Densié specrale des modèles M1 e M2 On en dédui que : E s+1 [γ +1 ] = E s+1 [γ s+1 + ω +1 ω ] = γ s+1 On a donc monré que γ es une composane saisonnière sochasique. b On a : On a aussi : On en dédui que : z = 1 L 1 L s y = 1 L s η + 1 L 1 L s β + 1 L 1 L s ε + 1 L 1 L s γ 1 L 1 L s γ = γ γ 1 γ s γ s 1 = γ γ s γ 1 γ s 1 = ω ω 1 ω 1 ω 2 = ω 2ω 1 + ω 2 = 1 L 2 ω 1 L 1 L s y = 1 L s η + 1 L 1 L s β + 1 L 1 L s ε + 1 L 2 ω Si on suppose que ϕ < 1, alors β es saionnaire. Dans ce cas, z es saionnaire e on a vérifié que 1 L 1 L s y es la forme saionnaire du processus Pour êre parfaiemen rigoureux, il faudrai aussi monrer que 1 L s y n es pas saionnaire, ce qui es éviden. 17

18 c On noe g λ la foncion générarice specrale TR-QAM, pages On a : g λ 1 L s = 1 e iλ s 2 On en dédui que : = 1 e isλ 2 = 1 cos sλ 2 + sin 2 sλ = 2 1 cos sλ g λ 1 L 1 L s = g λ 1 L g λ 1 L s g λ 1 ϕl 1 = = = = 4 1 cos λ 1 cos sλ 1 1 ϕe iλ ϕ cos λ 2 + ϕ 2 sin 2 λ 1 1 2ϕ cos λ + ϕ 2 2πf Sy λ = g λ 1 L s σ 2 η + g λ 1 L 1 L s 1 ϕl Dans TR-QAM page 403, il es indiqué que : σ 2 ζ + g λ 1 L 1 L s σ 2 ε + g λ 1 L 2 σ 2 ω = 2 1 cos sλ ση cos λ 1 cos sλ 1 2ϕ cos λ + ϕ 2 σζ cos λ 1 cos sλ σ 2 ε 4 8 cos λ + 4 cos 2 λ σ 2 ω g λ 1 L 1 L s = g λ 1 L L s + L s+1 = 4 4 cos λ 4 cos sλ + 2 cos s 1 λ + 2 cos s 1 λ En uilisan les propriéés des foncions rigonomériques, on obien : On a donc : g λ 1 L 1 L s = 4 4 cos λ 4 cos sλ + 2 cos sλ cos λ sin sλ sin λ + 2 cos sλ cos λ + sin sλ sin λ = 4 4 cos λ 4 cos sλ + 4 cos sλ cos λ = 4 1 cos λ 1 cos sλ 2πf Sy λ = 2 1 cos sλ ση cos λ + j= 1 6 j 4 cos s + j λ 1 2ϕ cos λ + ϕ 2 σζ cos λ 1 cos sλ σ 2 ε 4 8 cos λ + 4 cos 2 λ σ 2 ω 18

19 6. Méhode de While 1. Comme u e v son indépendans, alors x e y son deux processus indépendans. Si on suppose que ϕ 1 < 1 e θ 1 < 1, alors x e y son deux processus saionnaires. On en dédui que la densié specrale de z es TR-QAM, page 399 : f z λ = f x λ + f y λ = σu 2 2π 1 ϕ 1 e iλ 2 + σ2 v 1 θ 1 e iλ 2 2π = σ 2 u 2π 1 2ϕ 1 cos λ + ϕ σ2 v 2π 2. On a représené la rajecoire simulée sur le graphique θ1 cos λ + θ Le périodogramme de z se calcule à parir de la ransformée de Fourier discrèe d λ = n =1 z e iλ. On a TR-QAM, page 405 : d λ 2 I λ = 2πn 4. La méhode de While consise à maximiser la log-vraisemblance d un processus gaussien dans le domaine specral TR-QAM, page 406. On a TR-QAM, page 408 : l n 2 ln 2π 1 n 1 ln f λ j j=0 n 1 j=0 I λ j f λ j avec λ j = 2πj/n e j {0, 1,..., n 1}. Avec la simulaion du graphique 4, on obien les résulas suivans : ˆϕ 1 = 0,755, ˆθ 1 = 0,120, ˆσ u = 0,896 e ˆσ v = 0, Le périodogramme e la densié specrale esimée de z son représené sur le graphique 4. Figure 4 Simulaion, périodogramme e densié specrale esimée de z 19

20 Encadré 7 Programme d esimaion d un processus dans le domaine specral rndseed 123; phi1 = 0.75; hea1 = 0.2; sigma_u = 1; sigma_v = 0.5; n = 1000; u = rndnn,1*sigma_u; x = recseraru,0,phi1; v = rndnn,1*sigma_v; y = v - hea1*lag1v; y[1] = v[1]; z = x + y; {lambda,i} = PDGMz; proc sgfcoeff,lambda; local phi1,hea1,sigma_u,sigma_v; local w,g; phi1 = coeff[1]; sigma_u = coeff[2]; hea1 = coeff[3]; sigma_v = coeff[4]; w = coslambda; g = sigma_u^2./1-2*phi1*w+phi1^2 + sigma_v^2.*1-2*hea1*w+hea1^2; repg; endp; sv = ; {coeff,sderr,mcov,logl} = FD_mlz,&sgf,sv; g = sgfcoeff,lambda; q = runcrowslambda/2; graphse; window3u; fons"simplex simgrma"; _pdae = ""; _pframe = 0; _pnum = 2; _plype = 6; _plwidh = 8; _paxh = 0.18; _pnumh = 0.18; _pilh = 0.30; sewind1; ile"\216simulaion de z]["; xics0,1000,100,2; yics-6,6,2,2; xy0,z; sewind2; ile"\216periodogramme I\202l\201"; xlabel"\216\202l\201"; xics0,pi,pi/4,0; yics0,40,10,2; lab = " 0 \202p\201/4 \202p\201/2 \2013\202p\201/4 \202p\201"; asclabellab,0; xylambda[1:q],i[1:q]; sewind3; ile"\216densie specrale esimee f\202l\201"; xylambda[1:q],g[1:q]; endwind; 20

21 7. Calcul de PnL e de MM d un swap de variance 1. Le mécanisme du swap de variance es expliqué aux pages de TR-QAM. 2. On a TR-QAM, page 491 : ˆσ 2 K 2 PnL = N vega 2K = = euros 3. On a : PnL = = euros 4. a On uilise la formule de la page 491 de TR-QAM pour calculer la volailié réalisée : ˆσ = ln 2 S 20 = 53,29 =1 S 1 On en dédui que le PnL à maurié es : ˆσ 2 K 2 PnL 0,20 = N vega 2K 53, = = euros b On uilise la formule de décomposiion du PnL de la page 492 de TR-QAM. Le PnL réalisé au bou de 5 jours de rading es : PnL 0,5 = = euros 5 = ln 2 S 20 2 S 1 c On uilise la formule du MM donnée aux pages de TR-QAM. On a : MM 0,5 = PnL 0, = d On a : = euros MM 0,5 = = euros 5. De façon générale, on a K = 100 K var avec K var le prix d exercice du payoff N σ 2 K var. 21

22 a Il n y a pas d effe de smile. On a donc K var = σ 2, S e : K = 100 K var = 20 b On doi enir compe du smile. On peu calculer numériquemen K var de deux façons : i. La première méhode consise à calculer K var par la méhode de Mone Carlo : A. on simule le processus à volailié locale : ds = µs d + σ, S S dw B. on calcule ensuie le prix d exercice en uilisan la formule de la page 495 de TR-QAM : [ ] K var = 1 T T E σ 2 d Dans l exemple, on a σ, S = 0,2e 5. Comme σ, S ne dépend pas de S, on a direcemen : [ ] K var = 1 T T E 0,2 2 e 10 d = 0,2 2 1 T [ e 10 = 0,2 2 e10t 1 10T e : e 10T 1 K = 20 10T Pour une maurié de 20 jours, on obien K = 24,50. ii. La deuxième méhode uilise la formule de la page 496 de TR-QAM : K var = 2 F0 e rt 1 1 P K dk + C K dk + T 0 K2 F 0 K2 2 rt ln F 0 S0 e rt 1 T S 0 F 0 A. on calcule l ensemble des prix de call e pu pour une maurié donnée en résolvan numérique l équaions aux dérivées parielles de la page 636 de TR-QAM 10 ; pour cela, on uilise les méhodes de différences finies TR-QAM, pages B. on calcule la formule précédene en uilisan une quadraure numérique de Gauss- Legendre TR-QAM, pages a Il n y a pas d effe de smile. On a donc : K = 100 = Σ T, K 2 b On calcule numériquemen la formule 2 en valorisan P K e C K avec le modèle de Black e Scholes e Σ T, K = 0,2 1 + α ln 2 KS0 avec α = 1%. On obien K var = 0,04. On en dédui que K = 20,00. L effe du smile es donc négligeable En fai, il es préférable de résoudre l edp forward de Dupire, ce qui perme d avoir en une seule fois l ensemble des prix d opions pour ous les prix d exercice K TR-QAM, page Si α = 0,4 e si T es égal à un an, on a K = 26,70. ] T

23 8. Les sraégies opionnelles 1. La sraégie covered call es décrie à la page 474 de TR-QAM. 2. La sraégie srangle es décrie à la page 465 de TR-QAM alors la sraégie sraddle es présenée à la page 485 de TR-QAM. L opion sraddle es un cas pariculier de l opion srangle lorsque le prix d exercice du call es égal à celui du pu. 3. La sraégie bull spread es expliquée à la page 480 de TR-QAM. a À la maurié T, on a : PnL = S T S 0 + C 0 S 0, K c, T max 0, S T K c + max 0, K p S T P 0 S 0, K p, T + avec K c = 102% S 0, K p = 98% S 0 e C 0 K c, T e P 0 K p, T les valeurs du call e du pu. On a aussi TR-QAM, page 481 : K p S 0 + C K c P K p si S T K p PnL = S T S 0 + C K c P K p si K p < S T < K c K c S 0 + C K c P K p si S T K c b Le mark-o-marke journalier de cee sraégie es : MM = S S 1 + C 1 S 1, K c, T + 1 C S, K c, T + P S, K p, T P 1 S, K p, T + 1 avec C S, K c, T e P S, K p, T les valeurs du call e pu à la dae. On vérifie que : car : T MM = =1 T S S 1 + =1 T C 1 S 1, K c, T + 1 C S, K c, T + =1 T P S, K p, T P 1 S, K p, T + 1 =1 = S T S 0 + C 0 S 0, K c, T max 0, S T K c + max 0, K p S T P 0 S 0, K p, T + = PnL C T S T, K c, 0 = max 0, S T K c P T S T, K p, 0 = max 0, K p S T c i. On calcule les valeurs du call e pu avec la formule de Black e Scholes. On obien C 0 100, 102, 1 12 = 1,4615 e P0 100, 98, 1 12 = 1,4181. On en dédui que le PnL vau respecivemen 1,9566, 0,0434 e 2,0434 si S T es égal à 95, 100 e 102. ii. On calcule les valeurs du call e pu avec la formule de Black e Scholes. On obien C 0 103, 102, 1 24 = 2,2167 e P0 103, 98, 1 24 = 0,2213. On en dédui que le mark-omarke es 1,0450 en milieu de mois. 23

24 9. Consrucion d un backes 1. Pour couvrir l indice S&P 500 en euros, on uilise la formule de la page 56 de TR-QAM. On repore sur le graphique 5 les valeurs du S&P 500 en USD e couver en EUR. En rebasan les indices à 100 le 31 décembre 1999, la valeur erminale du S&P 500 es 104,60 en USD e 103,93 en EUR couver. 2. On doi enir compe des effes de rebalancemen mensuel. Pour cela, on uilise le cadre d analyse développé dans les pages de TR-QAM. En posan G = 100 à la dae du 31 décembre 1999, la valeur de la sraégie G es 130,62 le 31 décembre Pour enir compe des frais de gesion, on uilise la formule de la page 51 de TR-QAM. La valeur nee F de la sraégie devien 117,01 le 31 décembre Sur le graphique 5, on repore les valeurs de G e F. 4. On uilise les formules des pages 58 à 71 de TR-QAM. Le rendemen annuel de la sraégie F es 1,4% alors que la volailié es égale à 9,9%. On en dédui que le raio de Sharpe 12 es égal à 0,15. Le drawdown maximum sur la période es égal à 30,9%. Il commence le 31 ocobre 2007 e fini le 9 mars Le meilleur mois es celui d avril 2009 avec une performance égale à 6,6% alors que le pire mois es celui d ocobre 2008 avec une pere de 7,7%. Les coefficiens de skewness e de kurosis son égaux à 0,16 e 8,35. Figure 5 Résulas de l exercice Pour cela, on consrui la sraégie d invesissemen non risqué en roulan les aux Euribor 1M. Cee sraégie es égale à 136,53 le 31 décembre On en dédui que le aux sans risque pour la période éudiée es 2,868%. 24

25 10. Consrucion de porefeuilles diversifiés 1. a Le porefeuille de variance minimale es défini à la page 90 de TR-QAM. On obien les résulas suivans : ρ = 0% ρ = 50% i MV ERC MDP MV ERC MDP 1 8,16% 18,18% 18,18% 0,00% 18,18% 18,18% 2 18,37% 27,27% 27,27% 0,00% 27,27% 27,27% 3 73,47% 54,55% 54,55% 100,00% 54,55% 54,55% σ x 4,29% 4,72% 4,72% 5,00% 6,68% 6,68% b Le porefeuille ERC es défini à la page 132 de TR-QAM. Les résulas son donnés dans le ableau précéden. c Le porefeuille MDP es défini à la page 133 de TR-QAM. Les résulas son donnés dans le ableau précéden. d On remarque que les porefeuilles ERC e MDP son les mêmes. On sai que : i. le porefeuille ERC correspond au porefeuille de marché lorsque la corrélaion enre les acifs es uniforme e que ous les acifs présenen le même raio de Sharpe TR-QAM, page 132 ; ii. le porefeuille MDP correspond au porefeuille de marché lorsque ous les acifs présenen le même raio de Sharpe TR-QAM, page 133. On en dédui donc que lorsque la corrélaion enre les acifs es uniforme, le porefeuille ERC coincide avec le porefeuille MDP. Une aure façon de démonrer ce résula es de considérer les propriéés donnés à la page 134 de TR-QAM. On a : w i σ w w i = w j σ w w j 1 σ w = 1 σ w σ i w i σ j w j ERC MDP Or on sai que si la corrélaion enre les acifs es uniforme, alors le porefeuille ERC TR-QAM, page 132 saisfai : x i 1 σ i On obien le résula désiré. On remarque aussi que le niveau de corrélaion uniforme n a pas d influence sur le porefeuille. Ceci s explique par le fai qu une corrélaion uniforme es un modèle avec un seul faceur e que la sensibilié à ce faceur es la même pour ous les acifs. Dans ce cas, le porefeuille ERC consise à diversifier les risques idiosyncraiques puisque le risque commun es le même pour ous les acifs. Enfin, on remarque que le porefeuille de variance minimale peu conduire à de fores concenraions. 2. Les résulas deviennen : i MV ERC MDP 1 2,94% 16,20% 14,29% 2 17,65% 24,29% 21,43% 3 79,41% 59,51% 64,29% σ x 4,46% 5,15% 4,91% 3. a La décomposiion d Euler de la volailié σ x = x Σx d un porefeuille x es donnée à la page 128 de TR-QAM. On a : σ x x = 2Σx 2 x Σx = Σx x Σx 25

26 On en dédui que : b Les résulas son les suivans : n i=1 x i σ x = x σ x x i x = x Σx x Σx = x Σx x Σx = x Σx = σ x i x i xi σ x σ i x σ i x /σ x 1 20,0% 12,043% 2,409% 37, ,0% 8,028% 2,409% 37, ,0% 3,133% 1,567% 24,540 Si on calcule la volailié, on obien σ x = 6,384%. On vérifie donc que : σ 1 x + σ 2 x + σ 3 x = 2,409% + 2,409% + 1,567% = σ x 26

27 11. Consrucion de porefeuilles efficiens 1. La composiion du porefeuille de variance minimale es : x 1 = 3,05%, x 2 = 3,05% e x 3 = 93,89%. 2. On doi résoudre un sigma-problème TR-QAM, page 97. La valeur opimale de ϕ es 0,040 e le porefeuille opimal es : x 1 = 6,11%, x 2 = 6,11% e x 3 = 87,79%. 3. Si la volailié ex-ane es fixée à 10%, la valeur opimale de ϕ es 0,445 e le porefeuille opimal es : x 1 = 37,03%, x 2 = 37,03% e x 3 = 25,94%. 4. On remarque que x 1 = x 2. C es ou à fai normal puisque les acifs 1 e 2 on les mêmes caracérisiques de rendemen espéré, de volailié e de corrélaion avec le roisième acif. 5. a On obien les résulas donnés dans le ableau suivan : i var. min. σ x = 5% σ x = 10% 1 8,00% 8,00% 37,03% 2 0,64% 3,66% 37,03% 3 91,36% 87,79% 25,94% ϕ 0 0, ,44508 b Le programme dual correspondan es TR-QAM, page 80 : λ = arg min 1 2 λ Qλ λ R s.c. λ 0 avec 13 Q = 1 2 SΣ 1 S, R = 1 2 ϕsσ 1 µ T, S = e T = 8% λ 1 es le lagrangien associé à l exposiion minimum de 8% sur le premier acif x 1 8% dans le programme primal e première ligne de S dans le programme dual. max λ 2, λ 3 es le lagrangien associé à la conraine d êre complèemen invesi 3 i=1 x i = 100% dans le programme primal e deuxième e roisième lignes de S dans le programme dual. Enfin, les lagrangiens λ 4, λ 5, λ 6 son associés aux conraines de posiivié des poids x 1, x 2 e x 3. c Il suffi de résoudre le programme dual précéden qui es un programme QP sandard en considéran la bonne valeur de ϕ qui es donnée dans le ableau de résulas de la quesion 5a. On obien λ 1 = 0, pour le porefeuille de variance minimale, λ 1 = 0, pour le porefeuille de volailié ex-ane de 5% e λ 1 = 0 pour le porefeuille de volailié ex-ane de 10%. d On vérifie que le lagrangien es nul pour le porefeuille de volailié ex-ane de 10%, puisque la conraine x 1 8% n es pas saurée. C es pour le porefeuille de variance minimale que cee conraine coûe le plus cher. En effe, ou relâchemen ε de cee conraine perme de faire baisser la variance de 0,1657% ε. 6. Si on résou le programme de variance minimale avec x 1 20%, on obien un porefeuille de volailié ex-ane égale à 5,46%. Il n exise donc pas de porefeuille don la volailié ex-ane es plus peie que cee borne inférieure. On sai que les conraines x i 0 ne son pas saurées dans le programme d opimisaion de variance minimale si l on impose ou non la conraine x 1 20%. Noons κ la borne inférieure de x 1. D après les quesions précédenes, on sai aussi que 0% κ 13. On rappelle que µ e Σ son le veceur des rendemens espérés e la marice de covariance. 27

28 20%. On cherche donc le porefeuille de variance minimale x elle que la conraine x 1 κ soi saurée e que σ x = σ = 5%. Dans ce cas, le programme d opimisaion à rois variables se rédui à un problème de variance minimale à deux variables sous la conraine x 2 + x 3 = 1 κ puisque x 1 = κ. On a donc TR-QAM, page 92 : La foncion objecif devien : x Σx = x 2 2σ x 2 x 3 ρ 2,3 σ 2 σ 3 + x 2 3σ κ 2 σ κx 2 ρ 1,2 σ 1 σ 2 + 2κx 3 ρ 1,3 σ 1 σ 3 x Σx = 1 κ x 3 2 σ κ x 3 x 3 ρ 2,3 σ 2 σ 3 + x 2 3σ κ 2 σ κ 1 κ x 3 ρ 1,2 σ 1 σ 2 + 2κx 3 ρ 1,3 σ 1 σ 3 = x 2 3 σ 2 2 2ρ 2,3 σ 2 σ 3 + σ x 3 1 κ ρ2,3 σ 2 σ 3 σ 2 2 κρ1,2 σ 1 σ 2 + κρ 1,3 σ 1 σ κ 2 σ κ 2 σ κ 1 κ ρ 1,2 σ 1 σ 2 On en dédui que : x Σx = 0 x 3 = x 1 κ σ 2 3 = 2 ρ 2,3 σ 2 σ 3 + κσ1 ρ 1,2 σ 2 ρ 1,3 σ 3 x 3 σ2 2 2ρ 2,3σ 2 σ 3 + σ3 2 Le porefeuille de variance minimale es donc : x 1 = κ x 2 = a a + c κ x 3 = b b c κ avec a = σ 2 3 ρ 2,3 σ 2 σ 3 /d, b = σ 2 2 ρ 2,3 σ 2 σ 3 /d, c = σ1 ρ 1,2 σ 2 ρ 1,3 σ 3 /d e d = σ 2 2 2ρ 2,3 σ 2 σ 3 + σ 2 3. Comme on a : σ 2 x = x 2 1σ x 2 2σ x 2 3σ x 1 x 2 ρ 1,2 σ 1 σ 2 + 2x 1 x 3 ρ 1,3 σ 1 σ 3 + 2x 2 x 3 ρ 2,3 σ 2 σ 3 = κ 2 σ a a + c κ 2 σ b b c κ 2 σ κ a a + c κ ρ 1,2 σ 1 σ 2 + 2κ b b c κ ρ 1,3 σ 1 σ a a + c κ b b c κ ρ 2,3 σ 2 σ 3 on en dédui que la soluion opimale κ elle que σ x = σ vérifie une équaion du second degré : ακ 2 + 2βκ + γ σ 2 = 0 avec : α = σ1 2 + a + c 2 σ2 2 + b c 2 σ3 2 2 a + c ρ 1,2 σ 1 σ 2 2 b c ρ 1,3 σ 1 σ a + c b c ρ 2,3 σ 2 σ 3 β = a a + c σ2 2 b b c σ3 2 + aρ 1,2 σ 1 σ 2 + bρ 1,3 σ 1 σ 3 a b c + b a + c ρ 2,3 σ 2 σ 3 γ = a 2 σ2 2 + b 2 σ abρ 2,3 σ 2 σ 3 En remplaçan par les valeurs numériques, les soluions de l équaion du second degré son κ 1 = 9,09207% e κ 2 = 2,98520%. La soluion opimale es donc κ = 9,09207%. 28

29 Encadré 8 Programme de consrucion de porefeuilles efficiens le sigma = ; le mu = ; le rho = ; rho = xpndrho; cov = rho.* sigma.* sigma ; A = ones1,3; B = 1; C = 0; D = 0; Bounds = 0~1.* ones3,1; {x0,sigma0,recode} = Qprog_Min_Variancecov,A,B,C,D,Bounds; phi0 = 0; {x1,mu1,sigma1,phi1,recode1} = Qprog_Allocaion_Solvemu,cov,A,B,C,D,Bounds,0.05,2; {x2,mu2,sigma2,phi2,recode2} = Qprog_Allocaion_Solvemu,cov,A,B,C,D,Bounds,0.10,2; prin fosa100*x0~x1~x2,"%lf",3,2; prin fosaphi0~phi1~phi2,"%lf",3,6; A = ones1,3; B = 1; C = 0; D = 0; Bounds = 0~1.* ones3,1; Bounds[1,1] = 0.08; {x0,sigma0,recode} = Qprog_Min_Variancecov,A,B,C,D,Bounds; {x1,mu1,sigma1,phi1,recode1} = Qprog_Allocaion_Solvemu,cov,A,B,C,D,Bounds,0.05,2; {x2,mu2,sigma2,phi2,recode2} = Qprog_Allocaion_Solvemu,cov,A,B,C,D,Bounds,0.10,2; prin fosa100*x0~x1~x2,"%lf",3,2; prin fosaphi0~phi1~phi2,"%lf",3,6; // Calcul du lagrangien par le programme dual S = -C A -A -eye3; T = -D B -B zeros3,1; Bounds = 0~10.* ones6,1; Q_ilde = 0.5*S*invpdcov*S ; R_ilde = 0.5*phi0*S*invpdcov*mu - T; {lambda0,u1,u2,u3,u4,recode0} = QProgzeros6,1,Q_ilde,R_ilde,0,0,0,0,Bounds; R_ilde = 0.5*phi1*S*invpdcov*mu - T; {lambda1,u1,u2,u3,u4,recode0} = QProgzeros6,1,Q_ilde,R_ilde,0,0,0,0,Bounds; R_ilde = 0.5*phi2*S*invpdcov*mu - T; {lambda2,u1,u2,u3,u4,recode0} = QProgzeros6,1,Q_ilde,R_ilde,0,0,0,0,Bounds; prin fosalambda0[1]~lambda1[1]~lambda2[1],"%lf",3,6; A = ones1,3; B = 1; C = 0; D = 0; Bounds = 0~1.* ones3,1; Bounds[1,1] = 0.20; {x0,sigma0,recode} = Qprog_Min_Variancecov,A,B,C,D,Bounds; prin fosa100*sigma0,"lower bound of he volailiy = %lf",3,2; sigma1 = sigma[1]; sigma2 = sigma[2]; sigma3 = sigma[3]; rho12 = rho[1,2]; rho13 = rho[1,3]; rho23 = rho[2,3]; d = sigma2^2-2*rho23*sigma2*sigma3 + sigma3^2; a = sigma3^2 - rho23*sigma2*sigma3/d; b = sigma2^2 - rho23*sigma2*sigma3/d; c = sigma1 *rho12 * sigma2 - rho13 * sigma3/d; alpha = sigma1^2 + a+c^2*sigma2^2 + b-c^2*sigma3^2-2*a+c*rho12*sigma1*sigma2-2*b-c*rho13*sigma1*sigma3 + 2*a+c*b-c*rho23*sigma2*sigma3; bea = a*rho12*sigma1*sigma2 + b*rho13*sigma1*sigma3 - a*b-c+b*a+c*rho23*sigma2*sigma3 - a*a+c*sigma2^2 - b*b-c*sigma3^2; gamma_ = a^2 * sigma2^2 + b^2 * sigma3^2 + 2*a*b*rho23*sigma2*sigma3; sigma_sar = 0.05; xi = realpolyrooalpha 2*bea gamma_-sigma_sar^2; prin fosa100*xi,"soluions = %lf",3,5; 29

30 12. Dérivaion des équaions de récursion du filre de Kalman 1. On a : a 1 = E 1 [α ] = E 1 [T α 1 + c + R η ] = T E 1 [α 1 ] + c = T a 1 + c e : P 1 = E 1 [ α a 1 α a 1 ] [ = E 1 T α 1 a 1 + R η T α 1 a 1 + R η ] ] = E 1 [T α 1 a 1 α 1 a 1 T + [ E 1 T α 1 a 1 η R ] [ + E 1 R η α 1 a 1 T [ E 1 R η η R ] ] + = T E 1 [α 1 a 1 α 1 a 1 ] T + R E 1 [ η η ] R = T P 1 T + R Q R 2. On a : v = y E 1 [y ] = y E 1 [Z α + d + ϵ ] = y Z a 1 d Comme a 1 es un veceur gaussien, alors v es gaussien. On a : E 1 [v ] = = [ ] E 1 y Z a 1 d [ ] Z E 1 α a 1 + E 1 [ϵ ] = 0 e : F = E 1 [ Z α a 1 + ϵ Z α a 1 + ϵ ] [ α ] = Z E 1 a 1 α a 1 Z [ + E 1 ϵ ϵ ] 3. On a aussi : E 1 [ α v ] = Z P 1 Z + H = E 1 [ α Z α a 1 + ϵ ] = E 1 [ α α a 1 ] Z = E 1 [ α a 1 α a 1 = P 1 Z [ + E 1 α ϵ ] ] Z + a 1 E 1 [ α a 1 ] Z 30

31 e : α v = = Z α Z α a 1 + ϵ I 0 α + I ϵ = A α ϵ + B 0 Z a 1 Condiionnellemen à l informaion I 1, le veceur aléaoire α, v es donc une combinaison linéaire A X + B du veceur gaussien 14 X = α, ϵ. On en dédui que : α a N 1 P, 1 P 1 Z v 0 Z P 1 F 4. Il vien que : a = E [α ] = E [ α v = y Z a 1 d ] En uilisan les résulas de la disribuion condiionnelle d un veceur gaussien TR-QAM, page 139, noe de bas de page 45, on obien direcemen : a = a 1 + P 1 Z F 1 y Z a 1 d e : P = P 1 P 1 Z F 1 Z P 1 5. Le filre de Kalman correspond donc au sysème de récursion suivan TR-QAM, page 350 : a 1 = T a 1 + c P 1 = T P 1 T + R Q R v = y Z a 1 d F = Z P 1 Z + H a = a 1 + P 1 Z F 1 y Z a 1 d P = P 1 P 1 Z F 1 Z P 1 6. On a : avec : a +1 = T +1 a + c +1 = T +1 a 1 + P 1 Z F 1 v + c+1 = T +1 a 1 + c +1 + K v K = T +1 P 1 Z F 1 K es appelée la marice de gain TR-QAM, page 350. Comme on a : v = y Z a 1 d on peu écrire le modèle espace-éa sous la forme suivane : { y = Z a 1 + d + v a +1 = T +1 a 1 + c +1 + K v Si v = 0, alors a +1 = T +1 a 1 + c +1. K indique donc commen le filre corrige l esimaion classique T +1 a 1 +c +1 lorsqu il prend en compe les erreurs d innovaion. K es donc la marice de correcion du sysème de prédicion-correcion du filre de Kalman. 14. car α e ϵ son deux veceurs gaussiens indépendans. 31

32 13. Consrucion d une posiion de carry rade 1. La noion de carry rade es développée dans TR-QAM, pages 509 à 514. Les fondemens économiques sous-jacens son expliqués à la page 509 de TR-QAM. 2. a La posiion de carry rade consise à êre long de 50 MUSD de NZD e de 50 MUSD de GBP e à êre shor de 50 MUSD de JPY e de 50 MUSD de CHF. b On es long de 50 MUSD de NZD e GBP e shor de 20 MUSD de JPY, CHF, EUR, SEK e CAD. c Si on considère une des 10 devises comme la devise de référence, alors le noionel de porage n es pas égal au noionel de financemen. Par exemple, si la devise pivo es le dollar, alors le noionnel de porage es égal à 80 MUSD alors que le noionnel de financemen es égal à 100 MUSD. Si la devise pivo es l euro, c es le noionnel de financemen qui inférieur au noionnel de porage d un monan équivalen à 20 MUSD. d On se place dans le cas de 5 devises de financemen e 5 devises de porage. On a : PnL ,24% + 6,21% + 6,17% + 5,97% + 5,74% ,14% + 2,55% + 3,79% + 4,18% + 5,37% 3 = 0,95 MUSD 3. a On uilise la méhode décrie page 100 de TR-QAM pour calibrer le porefeuille long/shor. On obien le porefeuille suivan : b La soluion devien : Devise BRL CZK HUF KRW MXN Poids 15,0% 1,3% 4,1% 1,6% 14,3% Devise PLN SGD THB TRY TWD Poids 2,8% 13,6% 14,4% 15,5% 20,9% Devise BRL CZK HUF KRW MXN Poids 13,7% 9,5% 4,7% 16,5% 6,6% Devise PLN SGD THB TRY TWD Poids 2,0% 17,8% 20,7% 18,0% 13,5% c Le carry de ce porefeuille es 6,694% par an. On en dédui que le aux de dévaluaion ou de réévaluaion maximal supporable pour que le PnL rimesriel rese posiif es 1,67% si l exposiion es 100%. En enan compe des différenes exposiions, on obien les aux de dévaluaion e de réévaluaion + suivans : d On obien les résulas suivans : Devise BRL CZK HUF KRW MXN Variaion 12,2% +17,6% 35,9% 10,1% 25,3% Devise PLN SGD THB TRY TWD Variaion 81,9% +9,4% +8,1% 8,3% +12,4% Devise BRL CZK HUF KRW MXN Poids 22,8% 15,9% 7,8% 27,5% 11,0% Devise PLN SGD THB TRY TWD Poids 3,4% 29,6% 34,5% 30,0% 22,4% Le levier de ce porefeuille TR-QAM, page 56 es égal à 205%, alors qu il vau 103% e 123% pour les porefeuilles des quesions a e b. Il es ou à fai normal que le levier augmene de 66,7% lorsque l on passe d une volailié de 3% à une volailié de 5%, puisque le rappor des soluions es proporionnelle au rappor des volailiés car il n y a aucune conraine à par celle d auo-financemen. 32

33 Encadré 9 Calibraion des porefeuilles de carry rade PnL = 20 / 3 * / / 3 * / 100; prin fosapnl,"pnl = %lf",3,6; le mu[10,1] = ; le sigma[10,1] = ; le rho[10,10] = ; mu = mu/100; sigma = sigma/100; cov1 = eye10.* sigma.* sigma ; cov2 = rho.* sigma.* sigma ; A = ones1,10; B = 0; C = 0; D = 0; Bounds = -10~10.* ones10,1; // Quesion 3.a {x1,mu1,sigma1,phi1,recode1} = Qprog_Allocaion_Solvemu,cov1,A,B,C,D,Bounds,0.03,2; prin fosareshapex1,2,5,"%lf",3,3; // Quesion 3.b {x2,mu2,sigma2,phi2,recode2} = Qprog_Allocaion_Solvemu,cov2,A,B,C,D,Bounds,0.03,2; prin fosareshapex2,2,5,"%lf",3,3; // Quesion 3.c prin fosa100*mu2,"carry = %lf",3,3; dev = - mu2/4./ x2; prin fosa100*reshapedev,2,5,"%lf",3,3; PnL = sumcx2.* mu/3; prin fosapnl,"pnl = %lf",3,6; // Quesion 3.d {x3,mu3,sigma3,phi3,recode3} = Qprog_Allocaion_Solvemu,cov2,A,B,C,D,Bounds,0.05,2; prin fosareshapex3,2,5,"%lf",3,3; Leverage = sumcabsx1 sumcabsx2 sumcabsx3; prin fosaleverage,"%lf",3,2; 33

34 14. Bêa d un porefeuille 1. On noe R i e R x les rendemens de l acif i e du porefeuille x. Soi R = R 1,..., R n le veceur des rendemens des acifs. On noe µ l espérance du veceur R. On a : n R x = x i R i = x R i=1 Le bêa de l acif i par rappor au porefeuille x es le rappor enre la covariance du rendemen de l acif i e du porefeuille, e la variance du porefeuille TR-QAM, page 264 : On a : e : On en dédui donc que : 2. a On en dédui que : β i = cov R i, R x var R x var R x = E [R x E [R x ] 2] [ x = E R x µ ] 2 [ ] = E x R µ R µ x [ = x E R µ R µ ] x = x Σx cov R, R x = E [R x E [R x ] R µ] = E [ x R µ R µ ] = Σx β i = Σx i x Σx n x i β i = i=1 n i=1 x i Σx i x Σx = x Σx x Σx = 1 Si β i = β j = β, alors β = 1 es une soluion évidene puisque l égalié précédene es vérifiée : b Si β i = β j = β, alors on a : i=1 n x i β i = i=1 n x i = 1 i=1 n 1 x i β = 1 β = n i=1 x = 1 i β ne peu prendre qu une seule valeur, la soluion es donc unique. On sai que les volailiés marginales des acifs son égales dans le porefeuille de variance minimale TR-QAM, page 90 : σ x x i = σ x x j 34

35 avec σ x = x Σx la volailié du porefeuille. Une aure expression de l égalié précédene es : Σx i x Σx = Σx j x Σx 3. a On a : En divisan cee égalié par x Σx, on obien : β i = β j Dans un porefeuille de variance minimale, le bêa des acifs i es le même e vau 1. n x i β i = 1 i=1 n x i β i = i=1 n x i β i i=1 n i=1 x i n x i = 0 i=1 n x i β i 1 = 0 i=1 On obien donc le sysème suivan : { n i=1 x i β i 1 = 0 x i 0 On suppose que l acif j a un bêa supérieur à 1. On a donc : { xj β j 1 + i j x i β i 1 = 0 x i 0 x j β j 1 > 0 car x j > 0 sinon le bêa serai nul, il fau donc que i j x i β i 1 < 0. Comme x i 0, il es nécessaire qu un ire au moins ai un bêa inférieur à 1. b On uilise les noaions habiuelles concernan la représenaion de Σ. On cherche un porefeuille el que β 1 > 0, β 2 > 0 e β 3 < 0. Pour simplifier le problème, on considère que les rois acifs on la même volailié. On obien alors le sysème suivan : x 1 + x 2 ρ 1,2 + x 3 ρ 1,3 > 0 x 1 ρ 1,2 + x 2 + x 3 ρ 2,3 > 0 x 1 ρ 1,3 + x 2 ρ 2,3 + x 3 < 0 Il suffi donc que x 1 ρ 1,3 + x 2 ρ 2,3 soi négaif e que x 3 soi pei. Par exemple, on peu prendre x 1 = 50%, x 2 = 45%, x 3 = 5%, ρ 1,2 = 50%, ρ 1,3 = 0% e ρ 2,3 = 50%. On obien β 1 = 1,10, β 2 = 1,03 e β 3 = 0,27. 35

36 15. Maximum de vraisemblance des modèles Probi e Logi 1. Le modèle Probi es défini à la page 270 de TR-QAM. On a : Pr {y = 1} = Φ x β 2. La foncion de log-vraisemblance es TR-QAM, page 270 : avec : l = n i=1 l i = ln Pr {y i = 1} yi Pr {y i = 0} 1 yi = y i ln Φ x i β + 1 y i ln 1 Φ x i β l i 3. On a : l i ϕ x = y i β x i,k i β k Φ x i β 1 y i ϕ x i β x i,k 1 Φ x i β = y i 1 Φ x i β 1 y i Φ x i β Φ x i β 1 Φ x i β ϕ x i β x i,k 4. Le veceur gradien es G = G 1,..., G K avec : = y i Φ x i β Φ x i β 1 Φ x i βϕ x i β x i,k G k = l β k = n i=1 l i β k On en dédui que l élémen k, j de la marice hessienne es : On a ϕ x = xϕ x e : H k,j = n i=1 2 l i β k β j β j Φ x i β 1 Φ x i β = ϕ x i β x i,j 1 Φ x i β Φ x i β ϕ x i β x i,j = 1 2Φ x i β ϕ x i β x i,j yi Φ x i β ϕ x i β β j = y i Φ x i β ϕ x i β x i β x i,j ϕ 2 x i β x i,j = y i x i β + Φ x i β x i β ϕ x i β ϕ x i β x i,j On noe : e : A = Φ x i β 2 1 Φ x i β 2 ϕ x i β x i,j x i,k 2 l i β k β j B = Φ x i β 2 1 Φ x i β 2 ϕ x i β c i 36