Intégration sur un intervalle compact de IR

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1 PREMIERE PARTIE Itégrtio sur u itervlle compct de IR CHAPITRE I PSEUDO-MESURES, MESURES, FONCTIONNELLES SOMMABLES SUR [,b] Comme océ ds l itroductio, ce premier chpitre pour objectif de fourir le plus rpidemet possible ue défiitio totlemet opértioelle de l espce L 1 des clsses de foctios sommbles sur sur u itervlle [,b]. Nous y rriveros e cosidért le dul de l espce des foctios étgées sur [,b] mui de l orme uiforme f = sup f x. Ce dul ous fourir d illeurs tous les objets de bse de otre x [,b ] théorie : pseudo-mesures, foctioelles sommbles et plus loi mesures. Tout d bord ous iroduisos les ottios stdrds. 0. Nottios A. Itervlles 1 [,b] est u itervlle compct de IR < b. 2 Si I est u itervlle boré de IR o ote I s logueur. B. Algèbres de foctios Les foctios réelles sur l itervlle [,b] costituet ue lgèbre pour les opértios turelles d dditio et de multiplictio. O distigue les sous-lgèbres suivtes : E = lgèbre des foctios [, b] IR C = lgèbre des foctios [, b] IR R = lgèbre des foctios [, b] IR F = lgèbre des foctios [, b] IR étgées = e esclier = costtes pr morceux cotiues réglées borées F = lgèbre des foctios [, b] IR 1

2 C. Suprémum et ifimum de deux foctios réelles f, g F o ote f g = sup { f, g } : x mx { f x, g x } et f g = if { f, g } : x mi { f x, g x }. Les lois et sot commuttives, ssocitives et distributives l ue pr rpport à l utre ; les lgèbres E, C, R, F, F sot stbles pour ces lois. D. Normes, semi-ormes, covergeces f F o pose f = sup f x ; c est l orme uiforme. x [,b ] f R o pose f 1 = b [ b ] 1/2; f x dx et f 2 = f x 2 dx ce sot des semi-ormes voir défiitio u prgrphe suivt. Ds F o ote : 1 f f ssi f coverge simplemet ou poctuellemet vers f sur [,b], c-à-d ssi c [, b] f c fc. 2 f b f ssi f coverge simplemet vers f sur [,b] et ssi l suite f est borée ; c est l covergece borée. 3 f u f ssi f coverge uiformémet vers f sur [,b], c-à-d ssi f f 0. Remrque : [ u ] [ b ] et [ b ] [ ]. 1. N-dul d u espce ormé ou semi-ormé Nous commeços pr rppeler les résultts clssiques sur le dul d u espce ormé Défiitio : Soit V u espce ormé, c-à-d u espce vectoriel mui d ue orme otée. Ue forme liéire φ : V IR est ormée ou cotiue ss il existe M > 0 tel que u V φ u M u. L espce vectoriel de toutes les formes liéires ormées sur V s ppelle le dul ormé de V, e brégé le N-dul de V, et se ote V. 2

3 1.2. Défiitio : φ V o ote φ u φ = sup u V, u 0 u φ u = sup u V, u 0 u = sup φ u = sup φ u u V, u = 1 u V, u = Théorème fodmetl : est ue orme sur V, ppelée orme dule de l orme, et V est complet pour cette orme ; e d utres termes : Le N-dul d u espce ormé est u espce de Bch. Dém : C est u cs prticulier du théorème sur les espces semi-ormés voir ifr Théorème : Le N-dul d u espce ormé coïcide turellemet vec le N-dul de so complété. Dém : Soiet V u espce vectoriel ormé de orme et V c so complété ; soiet V et V c leurs N-duux respectifs. Motros V V c : soit φ V ; soit u V c et choisissos ue suite u V covergete e orme vers u ; o pose φ u = lim φ u ; il est fcile de motrer que cette limite est bie défiie et et qu elle e déped ps de l suite u choisie ; o doc étedu φ e ue forme liéire sur V, dot o vérifie fcilemet qu elle l même orme que φ. b Motros V c V : soit φ V c ; e restreigt φ à V o défiit ue forme liéire sur V de orme ichgée. Ds les premiers chpitres ous e trvilleros qu vec des espces ormés, mis ous géérlisos dès mitet ce résultt ux espces semi-ormés, qui ferot leur ppritio u Chpitre VI Défiitio : Ue semi-orme sur u espce vectoriel V est ue pplictio o idetiquemet ulle s : V IR + vérifit les propriétés suivtes : 1 u, v V u + v s u s + v s 2 λ IR u V λ u s = λ u s. Autremet dit ue semi-orme se distigue d ue orme pr le fit qu elle peut s uler pour des vecteurs o uls. 3

4 U espce vectoriel mui d ue semi-orme s ppelle u espce semi-ormé. U exemple fodmetl d espce semi-ormé, que ous utiliseros plus loi, est l espce E mui de l semi-orme 1 ou Théorème : Soit V u espce semi-ormé de semi-orme s ; o pose V 0 = { u V u s = 0 } ; lors V 0 est u sous-espce de V et V/ V 0 est turellemet u espce ormé pour l orme û = u s. Dém : Le fit que V 0 est u sous-espce de V est trivil. Motros que u V w V 0 o u + w s = u s. E effet o u s w s u + w s u s + w s, doc u s u + w s u s. O peut doc poser û V/ V 0 û = u s ; est ue orme sur V/ V 0 cr si û = 0, lors u s = 0, doc u V 0, c-à-d û = Défiitio : Soit V u espce semi-ormé de semi-orme s ; ue forme liéire φ : V IR est ormée ss il existe M > 0 tel que u V φ u M u s. De même que pour u espce ormé, ous ppeleros l espce vectoriel de toutes les formes liéires ormées sur V le N-dul de V et ous le oteros V. Remrquos que φ V u V 0 φ u = Défiitio : O ote V = V V 0 et φ V φ = sup u V φ u u s = sup u V φ u u s = sup φ u = sup φ u u V, u s = 1 u V, u s = 1 De mière remrquble est ecore ue orme sur V comme l éoce le théorème suivt : 1.9. Théorème fodmetl : est ue orme sur V, ppelée orme dule de l semi-orme s, et V est complet pour cette orme ; e d utres termes : Le N-dul d u espce semi-ormé est u espce de Bch. 4

5 Dém : Soit φ ue suite de Cuchy ds V ; lors ε > 0 il existe p IN tel que q p φ p φ q ε, ce qui équivut à écrire que u V q p φ p u φ q u ε u s ; d utre prt o u V 0 IN φ u = 0 ; o e coclut que ε > 0 il existe p IN tel que u V q p φ p u φ q u ε u s ; u V l suite φ u est doc de Cuchy ds IR, c-à-d covergete ; posos dès lors u V φu = lim φ u. L liérité de φ est évidete ; motros φ V ; soit p IN tel que u V q p φ p u φ q u u s ; o e déduit u V φ p u φ u u s ; soit pr illeurs M > 0 tel que u V φ u M u s ; o peut lors écrire u V φ u φ p u + u s M + 1 u s. Motros efi φ φ ; soit ε > 0 et soit IN tel que u V p, q φ p u φ q u ε u s ; o e déduit u V p φ p u φu ε u s, c-à-d p φ p φ ε * Théorème : Le N-dul de l espce semi-ormé V est coiquemet isométrique u N-dul de l espce ormé V/ V Pseudo-mesures sur [,b] Défiitio fodmetle : Ue pseudo-mesure sur [,b] est u élémet du N-dul de l espce ormé E,. Rppelos que est l orme uiforme sur E. Ou ecore : Ue pseudo-mesure sur [,b] est ue forme liéire f : E IR vérifit l propriété : il existe M > 0 tel que g E f g M g. O ote PM l espce vectoriel des pseudo-mesures sur [,b]. Autremet dit PM est le N-dul de l espce ormé E,. Remrque : Les pseudo-mesures serot toujours représetées pr des lettres tildées pour les différecier cliremet des vries foctios. 5

6 Grâce à cette défiitio le lecteur viet de moter d u seul coup de plusieurs iveux ds le grd jeu des mthémtiques. Les pseudo-mesures costituet e effet u outil d lyse si performt qu elles permettet de péétrer vec ue isce presque surturelle les otios les plus subtiles et les secrets les mieux grdés de l théorie de l mesure. U seul utre éocé cotiet e germe utt de puissce cocetrée, c est Que l lumière soit! Théorème : PM costitue u espce de Bch pour l orme, dule de l orme, défiie pr f = sup f g = sup f g. g E, g = 1 g E, g = 1 Dém : C est l pplictio directe du Théorème 1. 3 à l espce ormé E,. Nottio : O écrit f f ssi f f 0 et o ote f = lim f ; o dit que l suite f coverge e orme vers f Théorème : Ue suite f PM est covergete e orme ds PM ssi l suite δ = sup p > fp f 0. Dém : C est le critère de Cuchy Défiitio : Tout f PM s éted coiquemet à R e post g R f g = lim f g vec g E et g u g. Nottio itégrle : f PM g R o ote b g x f x = b g f = f g Théorème : PM est turellemet isométrique u N-dul de R,. Dém : L restrictio à E est ue isométrie turelle du N-dul de R, sur le N-dul de E,. Les détils de l démostrtio sot lissés u lecteur. Pssos mitet à des exemples de pseudo-mesures. 6

7 2.6. * Théorème - Défiitio : f R l forme liéire {f} : E IR : g b g f dx est ue pseudo-mesure, ppelée l pseudo-mesure ssociée à f. E prticulier à l foctio costte 1 = 1 [,b ] E est ssociée l pseudo-mesure {1} : E IR : g b g dx. Nottio : O ote R = { {f} f R } PM. O utilise ue ottio logue pour tous les sous-esembles de R. Ds l prtique o remplcer souvet busivemet l ottio {f} pr l ottio f. Remrque : Nous verros plus loi que f R l pseudo-mesure {f} est e fit ue mesure, et plus précisémet ue foctioelle sommble ; c est e prticulier le cs pour {1} ppelée mesure de Lebesgue. E coséquece ous prleros de {f} comme l foctioelle ssociée à f, plutôt que comme l pseudo-mesure ssociée à f. U utre exemple de pseudo-mesure est costitué pr les mesures de Dirc défiies pr δ c : E IR : f f c l étude détillée u Chpitre VII. où c est u réel fixé de l itervlle [,b] ; ous e feros Doos ussi u exemple d ue pseudo-mesure qui est ps ue mesure : il s git de l pseudo-mesure δ 0 + : E IR : f lim f x = limite à droite e 0 de f. x Théorème : f R o f = f 1. Dém : Soit f R ; il fut motrer sup g E g = 1 b g f dx = f 1. C est évidet si f E ; soit lors f R ; g E tel que g = 1 o b g f dx b g f dx b f dx = f 1, doc f f 1. Pr illeurs soit ue suite f E telle que f u f ; o IN f 1 = sup g E g = 1 b g f dx sup g E g = 1 b g f dx + sup g E g = 1 b g f f dx f + b f f ; e fist + o trouve f 1 f. 7

8 Outre s structure d espce vectoriel, PM possède ue multiplictio extere plus géérle que l simple multiplictio pr les réels : l multiplictio pr des foctios réglées, ce qui cofère à PM ue structure de module sur R. Nous ous coteteros pour le momet de défiir cette multiplictio, réservt l étude des modules pour le Chpitre V Défiitio : g R f PM o défiit g. f : E IR : h f g h * Théorème : f PM g R o g. f PM et g. f g f * Théorème : f, g R o g.{f} = {g f} * Corollire : f R o {f} = f.{1}. 3. Foctioelles sommbles sur [,b] Nous pouvos mitet décrire, vec u degré de clrté jmis tteit uprvt, les clsses de foctios sommbles pour l mesure de Lebesgue sur [,b], clsses que ous ommeros simplemet foctioelles sommbles sur [,b] Défiitio fodmetle L 1 est l fermeture de E ds PM pour l orme. Les élémets de L 1 s ppellet les foctioelles sommbles o dit ussi itégrbles sur [,b]. Vu le crctère fodteur et ovteur de cette défiitio ous e doos ci-dessous qutre versios de plus e plus explicites : Versio 1 : Soit f PM ; lors f L 1 ssi ε > 0 il existe g E tel que f g ε. Versio 2 : Soit f PM ; lors f L 1 ss il existe ue suite g E telle que f g 0. 8

9 Versio 3 : Soit f PM ; lors f L 1 ssi ε > 0 il existe g E tel que h E f b h g x hx dx ε h. Versio 4 : Soit f PM ; lors f L 1 ss il existe ue suite ε 0 et ue suite b g E telles que h E f h g x hx dx ε h. E résumé, les foctioelles sommbles e sot rie d utre que des pseudo-mesures prticulières : celles que l o peut pprocher e orme pr des foctioelles ssociées à des foctios étgées. O costte d illeurs que c est l coissce prélble de l espce PM qui permet de défiir ussi isémet l espce L 1, cofirmt isi le rôle crucil et fodmetl des pseudo-mesures. Isistos ussi sur le fit qu ue foctioelle sommble est u objet prfitemet et totlemet détermié, yt ue vrie vleur pour chque foctio étgée, et o ps u mchi défii presque prtout. Nottio : 1 f L 1 o ote f 1 = f. 2 O écrit f 1 f ssi f f 1 0 et o ote f = 1 lim f ; o dit que l suite f coverge e orme 1 vers f * Théorème : 1 R L 1 2 L 1 est u espce de Bch pour l orme 1 3 L 1 est fermé ds PM 4 E est dese ds L 1. Nottio itégrle : f L 1 o écrit b f x dx u lieu de b f x ; o doc b f x dx = b f x = f Lemme : Soit g E et ε > 0 ; lors il existe h C tel que g h 1 ε. Dém : Il suffit de fire u dessi! 3.4. * Corollire : C est dese ds L 1, et pr pplictio du théorème de Weierstrss, IR[X] est dese ds L 1. Récpitultif : E + C R > surj. R L 1 PM. 9

10 4. Sommes de Lebesgue Nous éoços et démotros d bord ci-dessous u lemme élémetire d lyse foctioelle, bset des livres de cours mlgré s simplicité, s géérlité et s très grde utilité ; ous y feros d illeurs plusieurs fois ppel ds cet ouvrge Lemme fodmetl de l lyse foctioelle LFAF Eocé : Soiet X et Y des espces de Bch et soit ue suite d pplictios liéires T : X Y vec sup T < +. O suppose qu il existe u sous-espce dese A de X tel que A T 0 ; lors x X T x 0. Ce lemme s éted ss peie ux suites géérlisées. Dém : Posos M = sup T ; soit x X ; soit ε > 0 et soit A tel que x ε/m ; o IN T x T + T x T T + T x T + ε ; soit N IN tel que N T ε ; lors N T x 2 ε ; doc T x Défiitio : Soit = 0 < 1 <... < p = b ue subdivisio D de [, b] ; o pose D = mx r r+1 r ; o défiit f L 1 W D f = p 1 r = 0 1 r+1 r r+1 r f u du 1 ] r, r+1 [. W D f est l foctio étgée dot les vleurs sot les moyees de f sur les itervlles ] r, r+1 [. Ces foctios costituet les sommes de Lebesgue ssociées à f * Théorème : f L 1 o W D f E et b W D f dx = b f dx Théorème : f L 1 o W D f W D f et doc WD f 1 f 1. Dém : L première iéglité est trivile ; de plus o WD f 1 = b W D f dx b W D f dx = b f dx = f Théorème : f C o W D f u f qud D 0. Dém : Soit ε > o et soit η > 0 tel que x, y [, b] o it x y η fx fy ε ; soit = 0 < 1 <... < p = b 10

11 ue subdivisio D de [, b] telle que D η ; r [[ 0, p 1 ]] choisissos r+1 ξ r [ r, r+1 ] tel que f u du = f ξ r r+1 r ; r p 1 o lors W D f = fξ r 1 [ r, r+1 ] ; o e déduit x [ r, r+1 ] r = 0 WD fx f x = f ξ r f x ε ; doc W D f u f Théorème : f L 1 o W D f 1 f qud D 0. Dém : O pplique le LFAF ux opérteurs liéires W D I : L 1 L 1. Les sommes de Lebesgue costituet doc ue suite géérlisée explicite de foctios étgées coverget e orme 1 vers ue foctioelle sommble doée. 5. Espces ordoés. Ordre ds PM Les espces vectoriels muis d u ordre comptible vec l structure d espce vectoriel costituet u cdre fodmetl pour toutes les théories exposées ds ce livre, e prticulier sous l forme des espces de Riesz. Nous doos ci-dessous les défiitios et propriétés de bse reltives à ces espces Défiitio : Si V est u espce vectoriel mui d u ordre o ote V + = { u V u 0 } Défiitio : U espce vectoriel V mui d u ordre est u espce ordoé ssi 1 λ IR + u V + λ u 0 2 u, v V [ v u v u 0 ] 5.3. * Théorème : Si V est u espce ordoé il e est de même de tous ses sous-espces Théorème : Soit V u espce ordoé ; lors u, v V + u + v V +. Dém : O u + v u = v 0, doc u + v u Défiitio : U espce ordoé V est rchimédie ssi u, v V + [ λ IR + λ u v u = 0 ], 11

12 ou de mière équivlete ssi u, v V + [ λ IR + u λ v u = 0 ] * Théorème : Si V est u espce ordoé rchimédie il e est de même de tous ses sous-espces. Exemple : F est u espce ordoé rchimédie pour l ordre turel : [ ] f, g F f g ssi x [, b] f x g x Défiitio : U sous-espce W d u espce ordoé V est itégrl ou solide ssi v V + w W + v w v W * Théorème : W est u sous-espce itégrl de l espce ordoé V ssi v V x, y W x v y v W * Théorème : Soit V u espce ordoé et W u sous-espce itégrl de V ; lors V/ W possède ue structure turelle d espce ordoé vec l ordre défii pr : û, v V/W û v ss il existe w W tel que u v + w Défiitio fodmetle : O défiit u ordre turel ds PM e post f, g PM f g ssi h E + f h g h Théorème : PM mui de cet ordre est u espce ordoé rchimédie. Dém : O PM + = { } f PM h E + f h 0 ; motros que PM est rchimédie ; soiet f, g PM + tels que λ IR + λ f g ; soit h E + ; o doc λ IR + λ f h g h, doc ussi 0 f h λ g h ; e fist λ 0 + o trouve f h = 0 ; doc h E f h = f h + f h = 0, où h + et h sot les prties positive et égtive de f, doc f = * Théorème : Soit f PM + ue suite covergete e orme vers f PM ; lors f PM +. Ce résultt équivut à l coservtio des iéglités pr pssge à l limite ds PM * Théorème : f PM + o f = f 1. 12

13 6. Théorème de covergece mootoe Nous doos pour commecer l défiitio des pseudo-mesures spéciles, qui costituet l forme tive sous lquelle se présetet souvet les pseudo-mesures. Elles ous servirot etre utres à l démostrtio du théorème de covergece mootoe Défiitio : Ue pseudo-mesure spécile sur [,b] est ue pplictio φ : E + IR telle que 1 h, k E + λ, µ IR + φ λ h + µ k = λ φ h + µ φ k 2 il existe M > 0 tel que h E + φ h M h Ue pseudo-mesure spécile costitue doc e quelque sorte ue forme liéire ormée défiie sur les foctios étgées positives. Nottio : O ote PM S l espce vectoriel des pseudo-mesures spéciles sur [,b] Théorème : Toute pseudo-mesure spécile φ s éted de mière uique e ue pseudo-mesure, ppelée prologemet de φ à E. Dém : Soit φ PM S ; o pose h E φ h = φ h + φ h, h + et h étt les prties positive et égtive de h ; motros que φ PM. O cliremet h E λ IR + φ λ h = λ φ h. b O h E φ h = φ [ h + ] φ [ h ] = φ h φ h + = φ h. c O h + k + h + k = h + k = h + h + k + k doc h + k + + h + k = h + k + h + + k +, doc φ [ h + k +] + φ h + φ k = φ [ h + k ] + φ h + + φ k + doc φ [ h + k +] φ [ h + k ] = φ h + φ h + φ k + φ k c-à-d φ h + k = φ h + φ k. d O h E φ h = φ h + φ h φ h + + φ h M h + + h 2 M h. e L uicité est évidete cr si φ PM, pr liérité o écessiremet h E φ h = φ h + φ h * Corollire : L pplictio PM PM S : f f est u isomorphisme liéire. E + Autremet dit ue pseudo-mesure spécile est i plus i mois que l restrictio 13

14 d ue pseudo-mesure à E +, ce qui peut s écrire PM S = PM. E Théorème de covergece mootoe ds PM Eocé : Soit f PM ue suite mootoe ; supposos qu il existe M > 0 tel que IN f M ; lors f coverge e orme vers ue pseudo-mesure f PM ; o doc ussi lim f = f. Dém : O peut supposer l suite f croisste et positive ; o pose g E + f g = lim f g ; l limite existe bie cr l suite f g est croisste et IN f g f g M g. O doc f PM S ; otos ecore f le prologemet de f à E. O cliremet IN f f 0, doc f f = f f 1 = f 1 f 1 0 ; doc f f. Nottio : O ote ou décroisste. f = Sup f ou If f suivt que l suite f est croisste Remrquos à quel poit l démostrtio de ce théorème célébrissime se révèle élémetire ds otre théorie * Corollire : Soit f PM ue suite croisste telle que sup f < + ; lors o g E + Sup f g = sup [ f g ] et Sup f = sup f. Le théorème de covergece mootoe est mifestemet vri ds importe quel sous-espce fermé de PM ; e prticulier o le 6.6. * Théorème de covergece mootoe ds L 1 Soit f L 1 ue suite mootoe ; supposos qu il existe M > 0 tel que IN f 1 M ; lors f coverge e orme 1 vers ue foctioelle f L 1 ; o doc ussi lim f 1 = f 1. 14

15 7. Vleur bsolue d ue pseudo-mesure L vleur bsolue costitue u élémet structurel fodmetl de PM et lui cofère le sttut d espce de Riesz. Ellet permet d importer ds PM ue prtie sigifictive des cocepts et des outils de l lyse réelle Défiitio : Soit f PM ; o pose h E + f h = h f * Lemme : h E + λ IR + o f λ h = λ f h * Lemme : h E + o f h f h Théorème : h E + f h = sup k E, k h f k = sup k E, k h f k. Dém : O h E + f h = h f = sup h f k = sup f k h k E, k 1 k E, k 1 = sup f k. k E, k h 7.5. Lemme : Soiet h 1, h 2 E + tels que h 1. h 2 = 0 ; lors f h1 + h 2 = f h1 + f h2. Dém : f h1 + h 2 = sup k = k E k h 1 +h 2 f sup k1 + k 2 k 1, k 2 E k 1 h 1, k 2 h 2 f = sup k1 + k 1, k 2 E k 1 h 1, k 2 h 2 f f k 2 = sup k1 + sup k2 = k 1 E k 2 E k 1 h 1 f k 2 h 2 f f h1 + f h Théorème : f PM S. Dém : Il reste à motrer que h, k E + f h + k = f h + f k. Soiet h, k E + ; o peut trouver ue prtitio de [,b] e itervlles I r 1 r telle que h = α r 1 I r et k = β r 1 I r vec r [[1, ]] α r IR + et β r IR +. r=1 r=1 [ O lors f h + k = f ] α r + β r 1 I r = [ ] f αr + β r 1 I r r=1 r=1 = α r + β r f 1Ir = α r f 1Ir + r=1 r=1 r=1 β r f 1Ir = f h + f k. Nottio : Nous cotiuos à oter f le prologemet de f à E Théorème : f PM + et f = f. 15

16 Dém : h E o f h = f h + f h f h + + f h = f h + + h = f h = h f f h ; doc f PM ; d utre prt o cliremet f 0, doc f = f 1 = f Défiitio : f PM o ppelle f l vleur bsolue de f Théorème : f PM h R o f h f h. Dém : h E + : o f h sup f k = f h k E, k h b h E : o f h = f h + + h = f h + + f h f h + + f h f h + + f h = f h + + h = f h c h R : vri pr desité de E ds R Théorème : f PM g PM + o Dém : f g [ h E f h g h ]. : O h E fh f h g h. b : O h E + f h = sup k E, k h f k sup k E, k h g k = g h Théorème : f PM h R o f h f h. Dém : h E : c est l iéglité de l orme. b h R : vri pr desité de E ds R Théorème : f, g PM o f g f g. Dém : f g f = f 1 g 1 = g. Les théorèmes qui suivet motret que l vleur bsolue ds PM jouit des mêmes proriétés que ds R. L vleur bsolue ds PM est doc à l fois l imge pr dulité de l vleur bsolue ds R, et s géérlistio puisque R PM Théorème : f PM g PM + o f g g f g. 16

17 Dém : : O h E + f h f h g h, c-à-d g h f h g h. b : O k E + f k g k ; doc k E fk = f k + f k f k + + f k g k + + g k = g k ; o doc h E + f h = sup k E, k h f k sup k E, k h g k = g h * Corollire : f PM f f f Théorème : f, g PM o f + g f + g. Dém : O h E + = f h + g h = f + g h. [ ] f + g h = sup f k + g k sup k h k h f k + sup k h g k * Corollire : f, g PM o f g f g * Corollire : f, g PM o f g f g * Corollire : L pplictio PM PM + : f f est cotiue pour l toplologie de l orme Théorème : Si f R, l vleur bsolue de f défiie ds PM coïcide vec l vleur bsolue ordiire de f. Dém : C est évidet si f E. Notos provisoiremet l vleur bsolue défiie ds PM pr α. Soit f R et soit f E telle que f u f ; o f α f α c-à-d f f α = f. f α ; or o f u f, doc f u f, doc f f ; doc Corollire : f L 1 f L 1. f Dém : Soit ue suite f E telle que f 1 f ; lors IN f E et 1 f, doc f L 1. Remrque : Etomet l réciproque de cette propositio est vrie elle ussi : si f PM et si f L 1, lors f L 1 Corollire VI Théorème : f PM g R o g f = g f. 17

18 Dém : Soit d bord g E ; lors h E + o g f h = sup g fk k h f g k f l = f g h = g f h ; = sup k h f g k = sup k h sup l g h pr illeurs doos-ous h E + ; soit ε > 0 et l E tel que l g h et f g h ε fl ; défiissos k E pr : x [, b] kx = 0 ssi g x = 0, sio k x = lx/g x ; o k h et doc g f h ε = f g h ε f l = f g k = g f k g f h ; doc h E + g f h = g f h, doc ussi h E g f h = g f h, c-à-d g f = g f. Le résultt géérl se déduit lors de l desité de E ds R pour l topologie uiforme. Nous pouvos mitet géérliser le Suprémum et l Ifimum ux pseudo-mesures, vec des défiitios et des propriétés logues u cs des foctios réelles Défiitio : O pose f, g PM Sup { } f, g = f g = 1 2 f + g + f g PM et If { } f, g = f g = 1 2 f + g f g PM * Théorème : Les lois et sot idempotetes, commuttives et ssocitives * Théorème : f, g PM f g f f g Défiitio : O pose f PM f + = f 0 = 1 2 f + f PM + et f = f + = f 0 = 1 2 f f PM * Théorème : f PM f + f = 0, f = f + f et f = f + + f = f + f = f f. Ces propriétés costituet quelques exemples du très riche ctlogue des reltios vérifiées pr les lois et, que ous détilleros ds le Chpitre II, coscré ux espces de Riesz géérux. 18

19 8. Mesures et mesures diffuses sur [,b] Il mque ux pseudo-mesures, mlgré leurs excelletes propriétés, ue coditio supplémetire de cotiuité ss lquelle les théorèmes clssiques de covergece, et e prticulier le théorème de covergece domiée de Lebesgue, e s ppliquet ps. Cosidéros pr exemple l suite g costituée pr les foctios crctéristiques des itervlles ouverts ] [ 0, 1 IN, suite mifestemet domiée! Il est clir que l suite g coverge simplemet et o uiformémet vers 0. Mis si ous fisos gir l pseudo-mesure δ 0 + : g lim g sur l suite g ous obteos IN δ g = 1, lors qu évidemmet δ = 0. O est doc turellemet meé à poser l défiitio suivte : 8.1. Défiitio : f PM est ue mesure ssi c [, b] lim d c ± f 1 ] c, d [ = 0. Cette propriété s ppelle l hypercotiuité des mesures. O ote M = { f PM f mesure } Défiitio : f M est ue mesure diffuse ssi c [, b] f 1{c} = 0. O ote M D = { f PM f mesure diffuse }. L mesure diffuse E IR : h b hx d x est utre que l mesure de Lebesgue. Remrque : Pour des exemples de mesures o diffuses et de pseudo-mesures qui e sot ps des mesures, voir Chpitre VII 3 et * Théorème : L 1 M D M PM Théorème : M et M D sot des sous-espces fermés de PM. Dém : Motros que M est fermé ds PM. Soit ue suite f M telle que f f PM ; il fut motrer f M. Soit c [, b] et soit ε > 0 ; soit N IN tel que fn f ε ; o d [, b] f 1 ] c, d [ fn 1 ] c, d [ + fn f 1 ] c, d [ fn 1 ] c, d [ + ε, doc lim d c ± f 1 ] c, d [ ε ; o doc L fermeture de M D est évidete. lim f 1 ] c, d [ = 0. d c ± 19

20 8.5. Théorème : f PM o f M f M. Dém : : Soit ε > 0 et soit h E tel que h 1 et f f h + ε ; soit I u itervlle de [, b] et soit E = [, b] I ; o peut écrire f 1I + f 1E = f 1 = f f h + ε = f h 1 I + f h 1 E + ε f h 1 I + f 1E + ε ; doc f 1I f h 1 I + ε. E pret I = ] c, d [ o obtiet lim d c ± f 1 ] c, d [ lim d c ± f h 1 ] c, d [ + ε ; or h est loclemet costte à guche ou à droite de c, doc doc lim f 1 ] c, d [ ε ; doc d c ± b : O lim d c ± lim f 1 ] c, d [ = 0. d c ± f 1 ] c, d [ lim d c ± f 1 ] c, d [ = 0. lim f h 1 ] c, d [ = 0, d c ± 8.6. Théorème : f PM o f MD f M D. Dém : Résulte de l églité évidete c [, b] f 1{c} = f 1{c} * Corollire : f PM est ue mesure diffuse ssi c [, b] lim d c ± f 1 [ c, d ] = Théorème : Soiet f M +, g E et ε > 0 ; lors il existe h C tel que h = g et f g h < ε. Dém : Il suffit de fire u dessi! 8.9. * Corollire : f M o f = sup f g. g C, g = * Corollire : f M o f C = 0 f = 0 et f IR[X] = 0 f = 0 Ce derier corollire équivut à dire qu ue mesure est etièremet détermiée pr ses vleurs sur les foctios cotiues ou même simplemet sur les polyômes. Rppelos émois qu e tt que pseudo-mesure, ue mesure est de toute fço etièremet détermiée pr ses vleurs sur les foctios étgées. 20

21 9. Covergece fie ds PM Nous ous itéressos à u ouveu type de covergece, l covergece fie, isi déommée cr plus fie que l covergece e orme. Cette covergece est l logue pour PM de l coditio de covergece ds IR doée pr l églité de l limite iférieure et de l limite supérieure. Mis lors que ds IR cette coditio est équivlete u critère de Cuchy pour l orme, il e est plus de même ds PM Défiitio : Ue suite f PM est domiée ss il existe F PM + tel que IN f F. Provisoiremet toutes les suites serot supposées domiées Défiitio : Pour toute suite f PM o pose Sup f = Sup f 0 f 1... f et If f = If f 0 f 1... f. Ce sot respectivemet le Suprémum et l Ifimum de l suite f ; o évidemmet toujours If f Sup f * Théorème : Pour toute suite f PM + o If f if f sup f Sup f Défiitio : Soit ue suite f PM ; o pose IN g = If p f p et h = Sup p f p ; g est ue suite croisste, h ue suite décroisste ; o pose esuite Lim f = Sup g = Sup If p f +p PM et Lim f = If h = If Sup p f +p PM. Ce sot respectivemet l Limite Iférieure et l Limite Supérieure de l suite f ; o évidemmet toujours Lim f Lim f. 21

22 9.5. Défiitio : O dit que f coverge fiemet vers f L 1 ssi f = Lim f = Lim f, c-à-d ssi f = Sup If p f +p = If Sup p f +p ; o écrit f f et o ote f = Lim f Théorème : Soiet f, f PM ; lors f f ssi Lim c-à-d ssi l suite Dém : φ = Sup p : Soit IN ; o r doc r f r f doc Sup r f r f b : Soit IN ; o Sup f +p f = p de même o If p If p fp f 0. If p f p f = If f p f p If p f p f f r f Sup p Sup p f +p f Sup f+p f Sup p p f +p f = If p f p f f p f Sup p ; f+p f = Sup r f+p f Sup p f f = 0, Sup p f +p f f p f, 0. fr f 0 ; f+p f Critère prtique : Soiet f, f PM ; lors f f ssi ε > 0 il existe p IN tel que q p Sup fr f ε. p r q 9.8. * Corollire : f, f PM o f f f f ; de plus si f est mootoe o f f f f * Théorème : Soiet f, f PM tels que f f ; lors Lim f f Lim f Théorème : Pour toute suite f PM + o Lim f lim f lim f Lim f. 22

23 Dém : O IN sup qud + ; doc lim p f+p f Sup p Lim f. f +p ; or Sup p f +p Lim f Défiitio : O dit que l suite f PM est Cuchy-fie C-fie ssi l suite φ = Sup p > fp f Théorème : PM est complet pour l covergece fie. sup p > Dém : Soit fp f f PM ue suite C-fie ; o IN Sup fp f 0, doc f p > ds PM pour l orme ; posos f = lim f PM. est ue suite de Cuchy Motos que f f ; soit ε > 0 ; soit IN tel que f f ε et Sup p > fp f ε ; comme p IN fp f fp f + f f, o peut écrire Sup fp f p > Sup fp f + f f 2 ε. p > Critère prtique : L suite f PM est Cuchy-fie ssi ε > 0 il existe p IN tel que q > p Sup fr f p ε. p < r q Désormis les suites e serot plus supposées domiées à priori ; remrquos émois que l covergece fie implique toujours l domitio ; utremet dit, ue suite qui coverge fiemet est écessiremet domiée * Théorème : Soit ue suite f PM telle que f < + ; = 0 lors f et f coverget fiemet ds PM ; de plus f 0. = = 0 = 0 Dém : O p < q Sup p < r q doc fp + f p f r fp + fp fq Sup q p = 0 f et fp = 0 r = p r = p Sup p < r q fr ; fp + fp fr f coverget fiemet ds PM ; de plus p IN fp r = p fp, doc f 0. 23

24 9.15. Théorème : Soit f PM et soit ue suite f PM telle que f f ; lors il existe ue sous-suite f telle que f f. Dém : O costruit ue suite strictemet croisste d idices IN tels que IN f f 1/2 ; lors o pour tout idice Sup fr f fr f 1/2 r = 2/2 ; doc f r r = r = f Théorème : L covergece fie ds PM est ue covergece o topologique. Dém : Soit ue suite f PM coverget e orme vers 0, mis e coverget ps fiemet pr exemple e étt ps domiée ; supposos qu o puisse défiir l covergece fie à prtir d ue topologie ; comme l suite f e coverge ps fiemet vers 0, il existe u voisige V de 0 pour cette topologie et ue sous-suite f tels que f V ; mis comme l suite f coverge e orme vers 0, elle cotiet ue sous-suite f qui coverge fiemet vers 0 ; o doc à prtir d u certi rg f V ; cotrdictio. 10. Suprémum et Ifimum géérlisés ds PM O géérlise ux prties de PM les otios de Suprémum et d Ifimum, déjà recotrés pour les prties fiies et les suites de PM voir 6. 4, 7. 22, Défiitio : Soit A ue prtie de PM stisfist ux propriétés suivtes : 1 Il existe F PM tel que f A f F A est domiée supérieuremet 2 f, g A o f g A A est stble pour l loi ; o pose lors. h E + Φ h = sup f A f h Théorème : Φ PMS. Dém : O cliremet h E + λ 0 Φ λ h = λ Φ h. Motros que h, k E + Φ h + k = Φ h + Φ k ; o f A h, k E + f h + k = f h + f k Φ h + Φ k, doc Φ h + k Φ h + Φ k. Pr illeurs soiet h, k E + et ε > 0 ; il existe f, g A tels que f h Φ h ε et f k Φ k ε ; o doc Φ h + Φ k 2 ε f h + g k f gh + f gk 24

25 f gh + k Φ h + k. O e déduit Φ h + k = Φ h + Φ k. De plus soit f 0 A ; o f A h E + f0 h f h F h, doc h E + f0 h Φh F h, doc h E + Φh mx { f0 h, F h } mx { f0, F } h. Nottio : O ote ecore Φ le prologemet de Φ à E * Théorème : 1 Φ PM 3 f A f Φ 2 Φ F 4 G [ PM f A f G Φ G ]. O pose Φ = Sup A = Sup f A f. Si A est domiée iférieuremet et stble pr, o défiit If A = If f de mière f A logue. Sup A se omme le Suprémum de A et If A se omme l Ifimum de A Théorème : if f A Φ f = 0. Dém : f A o Φ f = Φ f 1 = Φ 1 f 1, doc [ Φ f = if Φ 1 f 1 ] = Φ 1 sup f 1 = 0. f A f A if f A * Corollire : Φ = lim f u ses d ue limite géérlisée. f A * Corollire : Si A est iclus à u sous-espce fermé de PM, lors Sup A et If A pprtieet ussi à ce sous-espce Défiitio : Soit A ue prtie de PM domiée supérieuremet. O pose AA = { f1 f 2... f IN et f1, f2,... f A }. Alors AA est ecore domiée supérieuremet et de plus stble pour l loi ; o peut doc poser Sup A = Sup AA. Idem pour If A. 25

26

27 CHAPITRE II ESPACES DE RIESZ U espce de Riesz est u espce ordoé possédt ue vleur bsolue à vleurs ds l espce lui-même. IR e est l exemple miiml et prdigmtique. De ombreux espces de foctios, les espces PM et L 1, isi que l pluprt des espces défiis ds les chpitres suivts, sot des espces de Riesz. L itérêt primordil de cette structure est d bsorber efficcemet ds u même formlisme les espces de foctios, de foctioelles, de mesures et de pseudo-mesures. 1. Défiitio et propriétés 1.1. Défiitio : U espce ordoé V est u espce de Riesz ss il existe ue pplictio : V V +, ppelée vleur bsolue, telle que [ ] u V v V + u v v u v Théorème : Ds u espce de Riesz V o u, v V 1 u u u 2 u 0 u = u 3 λ IR λ u = λ u 4 u + v u + v 5 u v u v Dém : 1 u V o u V + et u u, doc u u u. 2 : Soit u 0 ; o u u u, doc u u ; or u u, doc u = u. b : Trivil. 3 u V o u u u, doc u u u, doc u u, doc ussi u = u u, doc u = u. D utre prt soit λ > 0 ; o u u u, doc λ u λ u λ u, or λ u V +, doc λ u λ u ; o doc ussi λ u = λ 1/λ λ u λ 1/λ λ u = λ u ; doc λ u = λ u. 27

28 4 u, v V o u v u + v u + v, doc u + v u + v. 5 u, v V o u = v + u v v + u v ; e itervertisst u et v o v u + u v, doc u v u v u v, doc u v u v. Exemples d espces de Riesz : E, C, R, F, L 1, M D, M, PM Théorème : Il existe u plus ue vleur bsolue ds u espce ordoé. Dém : Soit V u espce ordoé et soiet 1 et 2 deux vleurs bsolues ds V ; o u V u 1 u u 1, doc u 2 u 1 ; de même o trouve u 1 u 2, doc u 1 = u 2. Remrque : E dépit de s simplicité, ce théorème est prticulièremet itéresst puisqu il ous ppred que l structure d espce ordoé détermie déjà l structure d espce de Riesz : u espce de Riesz est u espce ordoé ds lequel o peut défiir ue vleur bsolue, vt même que d être u espce ordoé ds lequel o défii ue vleur bsolue Défiitio : Soit V u espce de Riesz ; u, v V o pose u v = 1 2 u + v + u v et u v = 1 2 u + v u v Défiitio : Soit V u espce de Riesz ; u V o pose u + = u 0 = 1 2 u + u et u = u + = u 0 = 1 2 u u. u + et u s ppellet l prtie positive et l prtie égtive de u Théorème : Propriétés des lois et ds u espce de Riesz V u, v, w, x V 1 λ IR + λ u + = λ u + et λ u = λ u 2 λ IR + λ u v = λ u λ v et λ u v = λ u λ v 3 u v = u v et u v = u v 4 u + v u + w = u + u w et u + v u + w = u + u w 28

29 5 u v u u v 6 u u = u u = u idempotece 7 u v = v u et u v = v u commuttivité 8 u v w = u v w et u v w = u v w ssocitivité 9 u v w = u v u w et u v w = u v u w distributivité 10 v w u v u w et u v u w mootoie 11 u v u u v 12 u v et u w u v w [ u v est l bore iférieure de u et v ] 13 u w et v w u v w [ u v est l bore supérieure de u et v ] 14 u v u v = u 15 u v u v = v 16 u v + u v = u + v et u v u v = u v 17 u u = u et u u = u 18 u + u = 0 19 u = u + u 20 u = u + + u = u + u 21 u v u + v + et u v 22 2 u v + u + v + u + + v + et 2 u v u + v u + v 23 u v + = u + v + et u v = u v 24 u v + = u + v + et u v = u v. 25 u v = u + v + u v et u v = u + v + u v 26 u v u v et u v u v 27 u + v u v = u + v 28 u v = 0 u + v = u + v 29 u v w x u w + v x et u v w x u v + w x 29

30 30 u w u v w = u v w déf = u v w 31 u, v, w V + u v + w u v + u w 32 v, w V + [ u = v w et v w = 0 v = u + et w = u ]. O costte qu o retrouve toutes les propriétés de l ordre ds IR, suf bie sûr celles liées à l totlité de cet ordre. A cette restrictio près o peut doc éocer : Si c est vri ds IR, c est vri ds u espce de Riesz. Tous ces résultts sot de démostrtio élémetire voir Ze [34] et ous les utiliseros libremet et bodmmet ds l suite Théorème de blyge ds L 1 : f L 1 o 1 lim α + α f = f. Dém : Soit ε > 0 et soit g E tel que f g 1 ε ; o α > 0 α f f 1 α f α g 1 + f g 1 + α g g 1 2 f g 1 + α g g 1 2 ε + α g g 1 ; or α g o α g = g ; doc α g o α f f 1 2 ε * Corollire : 1 lim α + α f α = f. 2. Treillis Défiitio I : U esemble ordoé E est u treillis ssi, b E l pire {, b } possède u mjort miimum oté b et u miort mximum oté b. O e déduit, b T b b. Remrque : Rppelos que, ds u esemble ordoé, u élémet est miimum s il est iférieur à tous les utres il est doc écessiremet uique ; pr cotre u élémet est miiml si ucu utre e lui est iférieur, ce qui est ue propriété plus fible qui ssure ps l uicité Défiitio équivlete II : U esemble E est u treillis ss il existe deux lois de compositio sur E, otées et, commuttives, ssocitives et idempotetes, telles que, b E [ b = b = b ]. 30

31 O peut lors défiir u ordre sur E pr l coditio, b E b b =. Pour cet ordre et costituet effectivemet les opértios de mjort miimum et de miort mximum Défiitio équivlete III : U esemble E est u treillis ss il existe deux lois de compositio sur E, otées et, commuttives et ssocitives, vérifit l propriété d bsorptio, b E b = b =. Remrque : L propriété d bsorptio à elle seule implique déjà l idempotece des lois et ; e effet o peut lors écrire T = [ ] = = [ ] = Théorème fodmetl U espce ordoé est u treillis ssi c est u espce de Riesz. Dém : : Soit V u espce ordoé posédt ue structure de treillis ; o pose u V u = u u ; motros que est ue vleur bsolue sur V. O u V u u et u u, doc 2 u u + u = 0, doc u 0. D utre prt o peut écrire u V v V + : u v u u v u v et u v v u v. b : Coséquece des propriétés 6, 11, 12, Sous-espces d u espce de Riesz 3.1. Défiitio : Soit V u espce de Riesz ; u sous-espce W de V est cohéret ssi W est stble pour les lois et. Remrque : W étt u sous-espce, l stbilité pour l ue des lois implique l stbilité pour l utre Théorème : W est cohéret ssi u V o u W u W. 31

32 Dém : : Si u W o u = u u W. b : Si u, v W o u v = 1 2 u + v + u v W * Théorème : Soiet V u espce de Riesz et W u sous-espce de V ; lors W est u espce de Riesz pour l structure iduite ssi W est cohéret * Théorème : M et M D sot des sous-espces cohérets et itégrux de PM Théorème : Soiet V u espce de Riesz et W u sous-espce de V cohéret et itégrl ; lors V/ W possède ue structure turelle d espce de Riesz e défiisst l vleur bsolue pr û V/W û = u, c-à-d u + W = u + W. Dém : Motros d bord que cette défiitio est idépedte des représetts choisis, c-à-d que u, v V û = v u = v, c-à-d ecore u, v V u v W u v W. Soiet doc v V et w W ; il fut motrer que v + w v W ; or o w v + w v w ; de plus w W cr W est cohéret ; o e déduit v + w v W cr W est itégrl. Démotros esuite que est bie ue vleur bsolue sur V/W, c-à-d que û V/W v V/W [ ] + û v v û v. : Supposos û v ; lors il existe w W tel que u v + w, c-à-d v w u v + w ; o e déduit v u + w et u v + w, doc v û v. b : Supposos v û v ; lors il existe w 1, w 2 W tels que v u + w 1 et u v + w 2 ; o e déduit v w 1 u v + w 2, doc v w 1 w 2 u v + w 1 w 2, doc u v + w 1 w 2, doc û v. 4. Domies de Riesz sur u espce de Riesz Défiitio : Soiet A et V deux espces de Riesz ; o dit que V est u domie de Riesz sur A ss il est mui d ue multiplictio extere biliéire A V V :, u u telle que A u V u = u. 32

33 4.2. Théorème : Ds u domie de Riesz V sur A o 1 A + u V + u V + 2, b A + u, v V [ + b et u v u b v ] 3, b A u V + b u = u b u et b u = u b u 4 A + u, v V u v = u v et u v = u v Dém : 1 u = u = u V +. 2 b u 0, doc b u u ; de même b v u 0, doc b v b u ; doc b v b u u. 3 b u = b b u = 1 2 u + b v b u = 1 2 u + b v b u = 1 2 u + b v u b u = u b u. 4 Idem. Exemples : R, L 1, M D, M, PM sot des domies de Riesz sur R. 5. Espces semi-ormés de Riesz 5.1. Défiitio : U espce de Riesz V mui d ue semi-orme resp. orme s est u espce semi-ormé resp. ormé de Riesz ssi u, v V u v u s v s Théorème : Ds u espce semi-ormé de Riesz V o u, v V 1 u = v u = v s 2 u s = u s 3 u v s u v s Dém : C est trivil ; démotros pr exemple 2 : o u V u = u, doc u s = u s * Théorème : U espce ormé de Riesz est rchimédie Défiitio : U espce ormé de Riesz V est u espce de Riesz-Bch ou 33

34 treillis de Bch ssi V est complet pour l orme. Si de plus V est u espce de Hilbert o prle d u espce de Riesz-Hilbert. Exemples d espces de Riesz-Bch : C,,, F,,, L 1,, 1, M,,, PM,,. 6. N-dul d u espce semi-ormé de Riesz Nous ous proposos de géérliser à u espce semi-ormé de Riesz quelcoque l costructio qui ous permis d obteir PM à prtir de E Défiitio : Soit V u espce semi-ormé de Riesz et soit V le N-dul de V ; V est u espce de Bch pour l orme dule défiie pr φ V φ = sup u V, u = 1 φ u = sup u V, u 1 φ u 6.2. Défiitio : O défiit u ordre ds V de l mière suivte : φ, ψ V o pose φ ψ ssi u V + φ u ψ u * Théorème : V est u espce ordoé Défiitio : O pose φ V u V + φ u = sup φ v = sup φ v v V, v u v V, v u u V φ u = φ u + φ u 6.5. Théorème : est ue vleur bsolue sur V, qui est doc u espce de Riesz. Dém : Idetique à l démostrtio fite ds le cs de PM Théorème : φ V u V o φ u φ u. Dém : Idetique à l démostrtio fite ds le cs de PM Théorème : φ V o φ = φ. 34

35 Dém : Soit φ V ; o φ = sup φ u sup φ u u V, u = 1 u V, u = 1 = sup φ u = φ ; o doc φ φ ; soit ε > 0 ; u V +, u = 1 choisissos u V + tel que u = 1 et φ φ u + ε ; choisissos esuite v V tel que v u et φ u φ v + ε ; o doc φ φ v + 2 ε ; or v u, doc v u = 1, doc φ v φ, doc φ φ + 2 ε ; o e déduit φ φ * Corollire : φ, ψ V o φ ψ φ ψ. Dém : φ = φ = = sup u V +, u = 1 φ u sup u V, u = 1 sup u V +, u = 1 φ u = ψ u = ψ. sup u V, u = 1 φ u + φ u E coclusio o obtiet le 6.9. * Théorème : Le N-dul d u espce semi-ormé de Riesz est u espce de Riesz-Bch. 7. Quotiet d u espce de Riesz-Bch 7.1. Théorème : Soit W u sous-espce fermé de l espce de Bch V, ; o défiit sur l espce quotiet V/ W l orme û = if u + w ; lors V/ W w W est complet pour cette orme et costitue doc u espce de Bch. Dém : Démotros d bord que est bie ue orme sur V/ W. 1 Soit û V/ W tel que û = 0 ; il existe doc ue suite w W telle que u + w 0, c-à-d w u, doc u W, c-à-d û = 0. 2 λ û = λ u = if λ u + w = λ if u + w/λ = λ if u + w = λ û w W w W w W 3 Soiet û, v V/ W et soit ε > 0 ; il existe w 1, w 2 W tels que u + w 1 û + ε et u + w 2 v + ε ; o peut doc écrire û + v = u + v = if u + v + w u + v + w 1 + w 2 w W u + w 1 + v + w 2 û + v + 2 ε ; 35

36 comme ε est rbitrire, o bie û + v û + v. Remrquos e psst que u V û u. Motros mitet que V/ W est complet pour l orme. Soit û V/ W ue suite de Cuchy ; il existe doc ue suite strictemet croisste i IN telle que i IN i û û i 1 ; o e prticulier 2i i IN u i+1 û i 1 2 ; il existe doc ue suite w i i W telle que i IN u i+1 u i + w i 2 2 = 1 i 2 ; posos i IN v i 1 i = u i + i 1 o i IN v i+1 v i = u i+1 u i + w i 1 2 i 1, doc j > i v j v i j 1 k =i v k +1 v k j 1 k =i 1 2 k 1 k =i k =0 1 2 k 1 = 1 2 i 2 ; doc v i est ue suite de Cuchy ds V ; soit v V s limite ; o i IN i û v û û i + û i v = û û i + v i v û û i + v i v 1 2 i i i 3 ; doc û v. w k ; 7.2. Défiitio : Soiet V 1, V 2 des sous-espces fermés de V tels que V = V 1 V 2 ; supposos v 1 V 1 if v 1 + v = v 1 et v 2 V 2 if v 2 + v = v 2 ; v V 2 v V 1 lors o dit que l décompositio V = V 1 V 2 est ormle. Remrque : Ue décompositio quelcoque V = V 1 V 2 vérifie déjà trivilemet v 1 V 1 if v V 2 v 1 + v v 1 et v 2 V 2 if v V 1 v 2 + v v Théorème : Soiet V 1, V 2 des sous-espces fermés de V tels que V = V 1 V 2 ; soiet π 1 et π 2 les projectios ssociées à cette décompositio ; lors l décompositio V = V 1 V 2 est ormle ssi V 1 V 2 : u + V 1 π 2 u et V 2 V 1 : u + V 2 π 1 u sot des isométries bijectives. Dém : u + V 1 = if v V 1 u + v = if v V 1 π 1 u + π 2 u + v = if v V 1 π 2 u + v ; doc u + V 1 = π 2 u et u + V 2 = π 1 u ssi l décompositio V = V 1 V 2 est ormle Défiitio : 36

37 Soit V u espce de Riesz-Bch ; o dit qu u sous-espce W de V est totl ssi W est cohéret, itégrl et fermé Théorème : Soiet V u espce de Riesz-Bch et W u sous-espce totl de V ; lors V/ W possède turellemet ue structure d espce de Riesz-Bch. Dém : V/ W possède ue structure d espce de Riesz d près le Théorème II 3.5 et ue structure d espce de Bch d près le Théorème II 7. 1 ; il reste doc à motrer que V/ W est bie u espce de Riesz-Bch, c-à-d que [ ] û, v V/ W û û û v, c-à-d ecore u, v V w W [ u v + w ] if x W u + x if x W v + x. L démostrtio utilise plusieurs lemmes. Lemme 1 : u, v V u u v u + v. Dém : u u + v u et u u + v v, doc u u + v u v. Lemme 2 : u, v V u + v u u + v u v. Dém : E ppliqut le Lemme 1 à u et v o obtiet u u v u + v ; or u u v = u + + u u + v u v = u + u + v + u u v = u + u + v u u v = u u + v u v ; doc u + v u u + v u v. Lemme 3 : u V û = û, c-à-d if u + w = if u + w. w W w W Dém : Soit u V ; d près le Lemme 1 o w W 0 u u w u + w, doc u u w u + w, doc u u w if if u + x if x W le Lemme 2 if w W w W u + w if w W w W Lemme 4 : u, v V + [ u v û v ], u + w ; d utre prt d près u u + w u w if x W [ c-à-d u, v V + u v if u + x if v + y x W y W ]. u + x. 37

38 Dém : E ppliqut le Lemme 1 o obtiet u, v V + tels que u v et w W 0 u u w v v w v + w, doc u u w v + w ; doc if x W u + x if w W u u w if w W v + w. Fi de l démostrtio du théorème : Soiet u, v V et w W tels que u v + w ; lors o û = û v + w = v = v. 8. Morphismes et isométries de Riesz Défiitio : Soiet V et V deux espces de Riesz ; l pplictio liéire φ : V V est u morphisme de Riesz ssi u V φ u = φ u * Théorème : Si φ : V V est u morphisme de Riesz o u, v V 1 u 0 φ u 0 2 u v φ u φ v 3 φ u v = φ u φ v 4 φ u v = φ u φ v Si l pplictio liéire φ vérifie seulemet les coditios 1 et 2, d illeurs cliremet équivletes, o dit que φ est croisste. Exemples : µ PM + l pplictio R PM : f f. µ est u morphisme de Riesz. f R + l pplictio PM PM : µ f. µ est u morphisme de Riesz Défiitio : Soiet V et V deux espces semi-ormés de Riesz ; le morphisme de Riesz φ : V V est ue isométrie de Riesz ssi u V φ u s = u s. Si V et V sot des espces de Riesz-Bch o prle d ue isométrie de Riesz-Bch. Ue isométrie de Riesz-Bch est toujours ijective, mis ps écessiremet bijective. 38

39 CHAPITRE III FONCTIONS POSITIVES SEMI-CONTINUES SUPERIEUREMENT Les foctios positives semi-cotiues supérieuremet costituet l outil théorique idispesble à l démostrtio du théorème de covergece domiée de Lebesgue. E prticulier le théorème de semi-complétude de l esemble de ces foctios est à l bse du théorème de complétude de l espce des foctios uiverselles. 1. Défiitio : Ue foctio f F + est semi-cotiue supérieuremet scs ssi c [, b] lim fx fc. x c 2. Théorème : Si f F + est scs, lors f est borée, c-à-d f F +, et f tteit s bore supérieure. Dém : Supposos que f e soit ps borée et soit ue suite x [, b] telle que fx +. Pr compcité de [, b], il existe ue sous-suite x qui est covergete ; posos c = lim x ; lors o + = lim fx fc, ce qui est cotrdictoire. Soit M l bore supérieure de f ; lors il existe ue suite x [, b] telle que fx M. Pr compcité de [, b], il existe ue sous-suite x qui est covergete ; posos c = lim x ; lors o M = lim fx fc, doc fc = M. O ote S = { f F } { + } f scs, ES = f E + f scs = E S et RS = { f R } + f scs = R S. O cliremet ES RS S F + et C + RS. 3. Théorème : ES, RS et S sot stbles pour les lois +,,, et pour l multiplictio pr u réel positif. Dém : Il suffit de motrer le théorème pour S : Soiet f, g S et posos h = f + g ; o c [, b] lim h lim f + lim g c c c f c + g c = hc. b Soiet f, g S et posos h = f g ; o c [, b] lim h lim f lim g c c c f c g c = hc. c Soiet f, g S et posos h = f g ; o c [, b] lim h = lim f lim g c c c f c g c = hc. 39

40 d Soiet f, g S et posos h = f g ; o c [, b] lim c h lim c f f c ; de même lim c h g c ; doc lim c h f c g c = hc. e Soit f S et λ 0 ; o c [, b] lim c λ f = λ lim c f λ f c. 4. Théorème : Soit f F + ; lors f S ssi α > 0 l esemble { x [, b] fx < α } est ouvert ds [, b]. Dém : : Soit α > 0 ; il fut motrer que l esemble E = { x [, b] f x < α } est ouvert ds [, b] ; soit c E ; comme f c < α il existe u itervlle ouvert I cotet c tel que x I f x < f c + [α f c] = α ; doc I E, ce qui motre que E est ouvert. b : Soit c [, b] ; il fut motrer que lim x c f x f c, c-à-d que α > 0 il existe u itervlle ouvert I cotet c tel que x I f x < f c + α ; soit α > 0 et soit E = { x [, b] f x < f c + α } ; E est ouvert et c E ; il existe doc bie u itervlle ouvert I [, b] tel que c I E. 5. Théorème de semi-complétude de S Soit f S, f suite décroisste, f f F + ; lors f S. Dém : Posos f = if f F + ; soit c [, b] ; o IN lim c f lim c f f c ; doc lim c f if f c = fc. Eocé équivlet : Pour toute suite f S o if f S. IN 6. Théorème de covergece uiforme ds S Géérlistio du théorème de Dii Soit f S, f suite décroisste, f 0 ; lors f u 0. Dém : Soit ε > 0 ; o pose IN E = { x [, b] f x < ε } ; o IN E est ouvert ds [, b] b IN E E +1 c E = [, b] IN 40

41 Il existe doc N IN tel que E N = [, b] ; doc x [, b] f N x < ε ; doc f u Théorème de stbilité Riesz-Ngy [26] p. 34 Soit A ue prtie de F + stble pour l loi ; o ote A l esemble de toutes les foctios de F + qui sot limites simples de suites décroisstes de A ; lors o 1 A est stble pour l loi 2 A = A 3 Si A est stble pour les lois +,, ou pour l multiplictio pr u réel positif, il e est de même de A. Dém : 1 Soiet f, g A des suites décroisstes ; posos f = if f A et g = if g A. O IN 0 f g f g f f + g g, doc f g = if f g A. 2 Soit f A ue suite décroisste et posos f = if f F + ;. soit IN f k A ue suite décroisste telle que f = if f k ;. k posos k IN g k = f 0k f 1k... f k k A ; l suite g k est décroisste, doc g = if k g k A ; lors o k IN g k f 0 f 1... f k = f k ; doc g f ; b o k g k f k, doc IN g f ; doc g f. E coclusio f = g A. 3 Evidet. Remrque : Le théorème de semi-complétude de S peut s exprimer sous l forme S = S. 8. * Lemme : Soit F u itervlle fermé de [, b] ; lors 1 F ES. 9. Théorème : Soit F u fermé de [, b] ; lors 1 F ES. 41

42 Dém : Soit Ω l ouvert complémetire de F ds [, b] ; o peut écrire Ω = IN Ω vec Ω = réuio fiie des itervlles mximux de Ω de logueur 1. Notos IN F le complémetire de Ω ds [, b] ; lors o IN 1 F ES cr F est ue réuio fiie d itervlles fermés de [, b]. b l suite 1 F est décroisste cr l suite Ω est croisste ;. c F = F, doc 1 F = if 1 F. IN E coclusio 1 F ES. 10. Théorème : ES = S. Dém : O déjà ES S = S. Il reste à motrer l iclusio opposée. Soit f S ; e cosidért évetuellemet f/ f o peut supposer f 1 ; o pose IN k [[ 0, ]] F k = { x [, b] } fx k/, et IN f = 1 1 F k ; IN k [[ 0, ]] F k est u fermé de [, b], doc k = 0 IN f ES. De plus IN k [[ 0, ]] x [, b] o k/ fx < k + 1/ f x = k + 1/ > fx ; doc IN o f f et f f 1 ; o e déduit f u f. Posos IN g = f 0 f 1... f ES ; l suite g est décroisste et o IN f g f ; doc g u f, doc f [ES ] = ES. 42

43 CHAPITRE IV THEOREME DE LEBESGUE SUR [,b] Ce chpitre est coscré à l démostrtio du théorème de covergece domiée presque prtout sur [,b]. E fit ous démotros u théorème de covergece borée prtout sur [,b], que ous ppelos simplemet théorème de Lebesgue ; ous expliquos à l fi du chpitre pourquoi, mlgré les ppreces, il y ucue perte de géérlité. Chemi fist ous costruisos deux extesios successives fodmetles de l espce des foctios réglées : d bord l espce des foctios pseudo-réglées, puis l espce des foctios uiverselles. 1. Théorème de Lebesgue ds R 1.1. Lemme : Soiet deux suites φ, ψ PM + ; lors o If ψ = 0 ψ φ + If φ Dém : O IN ψ 0 ψ 1... ψ ψ0 ψ 1... ψ φ 0 φ 1... φ + φ0 φ 1... φ r = 0 o e déduit ψr φ r + φ0 φ 1... φ ; If ψ r = 0 ψr φ r + If φ Lemme de covergece fie ds RS Soit ue suite f RS telle que f b 0 ; lors µ PM + o f µ 0 ; e coséquece µ f = f µ 0. Dém : L suite f µ est domiée cr l suite f est borée ; soit IN ψ = Sup f +p µ M + ; il fut démotrer ψ 0. Posos, p IN p IN g p = f f f +p RS ; o g p µ = f µ f +1 µ... f +p µ, doc pour fixé g p µ ψ qud p +. Soit ε > 0 et soit ue suite ε > 0 telle que = 0 ε ε ; choisissos IN u idice p IN tel que ψ g p µ ε ; o pose IN g = g p RS ; 43

44 o doc IN ψ g µ ε ; d utre prt IN o g sup p IN or qud + o sup p IN f +p lim f = 0, doc g 0. Posos IN h = g 0 g 1... g RS ; o IN h g, f +p ; doc h 0 ; de plus l suite h est décroisste, doc h u 0, doc h µ 0 ; o peut dès lors écrire If g µ = If h µ = 0. If E ppliqut le lemme précédet o obtiet doc ψ = 0 ψ g µ + If g µ ε ε ; = 0 If ψ = 0. comme ε est rbitrire o e déduit 1.3. Lemme d pproximtio ds E + f E + µ M + ε > 0 il existe g ES tel que g f et µ f g ε. Dém : Soit f E + et µ M + ; o costruit g ES de l mière suivte : o ule f ds des itervlles ouverts cotet les poits de discotiuité de f, ss chger les vleurs de f ux poits de discotiuité eux-mêmes ; o obtiet isi ue foctio g ES vec g f ; e vertu de l hypercotiuité de µ, o peut redre ces itervlles suffismmet petits pour que µ f g ε. Remrque : C est ici qu iterviet l coditio µ M + u lieu de µ PM +. E coséquece l extesio du lemme de covergece fie à des espces plus géérux que R S e s ppliquer qu ux mesures Lemme d pproximtio ds R + f R + µ M + ε > 0 il existe g ES tel que g f et µ f g ε. Dém : Soit f R + ; soit h E + tel que h f et f h ε/ µ ; soit g ES tel que g h et µ h g ε ; lors o g f et µ f g = µ f h + µ h g 2 ε Lemme de covergece fie ds R + Soit ue suite f R + telle que f b 0 ; lors µ M + o f µ 0 ; e coséquece µ f = f µ 0. 44