S5 Info-MIAGE Mathématiques Financières Compléments sur les intérêts composés

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1 Universié de Picardie Jules Verne Année UFR des Sciences Licence menion Informaique parcours MIAGE - Semesre 5 Mahémaiques Financières COMPLEMENTS SUR LES INTERETS COMPOSES Les inérês considérés son des inérês composés don la capialisaion coïncide avec la périodicié du aux. I - Equivalence à inérês composés 1) Définiions e propriéé. Deux capiaux son équivalens, à inérês composés, un jour donné, s ils on la même valeur acuelle à cee dae, les acualisaions éan faies avec le même aux. Ainsi, deux capiaux V 1 e V 2 payables dans n 1 e n 2 périodes son équivalens aujourd hui (dae 0) au aux par période si V 1 1 n 1 V 2 1 n 2. Deux groupes de capiaux son équivalens, à inérês composés, un jour donné, si la somme des valeurs acuelles des capiaux du premier groupe es égale à la somme des valeurs acuelles des capiaux du second groupe. Règle d or des mahémaiques financières : ne jamais comparer ou égaler deux ou plusieurs capiaux sans avoir, au préalable, ramener ces capiaux à une même dae, appelée dae d équivalence. Propriéé : si deux capiaux ou deux groupes de capiaux son équivalens à un momen donné, l équivalence a lieu à ou momen, lorsque les calculs son effecués avec la soluion commerciale. 2) Exemple 1 Un débieur qui doi s acquier des dees suivanes : payables dans 1 an, payables dans 1 an e 6 mois, payables dans 2 ans e 6 mois, payables dans 4 ans, obien de son créancier de se libérer de sa dee par un paiemen unique dans 5 ans. En considéran un aux annuel de 6 %, la valeur nominale V de ce paiemen unique es : V , cee égalié correspondan à l égalié dans 5 ans (dae 5) de la valeur acuelle du paiemen unique e de la valeur acuelle des 4 dees remplacées. En muliplian ous les ermes de l égalié précédene par 1,06 5, on obien : V cee égalié correspondan à l égalié à ce jour (dae 0) de la valeur acuelle du paiemen unique e de la valeur acuelle des 4 dees remplacées. II - Escompe à inérês composés 1) Cas général Lorsqu un effe es payable à une dae éloignée (plus d un an en général), la valeur acuelle à reenir lors de l opéraion d escompe es la valeur acuelle à inérês composés. Avec la soluion commerciale, l escompe à inérês composés E es égal à la différence enre la valeur nominale V n e la valeur acuelle V a : E V n V a V n V n 1 n V n 11 n, où es le aux d escompe e n l échéance à courir de l effe. 2) Exemple 2 Un commerçan reme à son banquier un effe de payable dans 3 ans. Le aux d escompe annuel es 8,5 %. Calculer la valeur acuelle commerciale e le monan de l escompe reenu par le banquier. Valeur nominale : V n Echéance dans n 3 ans. Valeur acuelle commerciale : V a ,75. Escompe commercial : E , , 25. Séphane Ducay 1

2 III - Les annuiés A - Généraliés 1) Définiions On appelle annuiés, des sommes payables à des inervalles de emps de même durée. Lorsque le monan de chaque versemen rese idenique, on parle d annuiés consanes ; on parle d annuiés variables dans le cas conraire. Remarque : En oue rigueur, il serai préférable d uiliser le erme "annuiés" pour des versemens annuels e les ermes "semesrialiés", "rimesrialiés" e "mensualiés" dans les cas de versemens respecivemen semesriels, rimesriels e mensuels. On peu aussi considérer des versemens bimensuels, bimesriels ou bisannuels. On adapera bien sûr les résulas du paragraphe B qui son présenés dans le cas de versemens annuels : par exemple, si les versemens son mensuels, on uilisera un aux d inérê mensuel. 2) Obje Ces versemens effecués de façon régulière on généralemen pour bu : - soi de consiuer un capial (annuiés de capialisaion ou de placemen), - soi de rembourser une dee, un emprun (annuiés de remboursemen ou d amorissemen). B - Valeur acuelle d une suie d annuiés à une dae donnée Les explicaions données le son pour des versemens annuels e un aux de placemen annuel ; on adapera les résulas pour les aures périodiciés. 1) Cas général a) Formule On considère n versemens annuels V 1,V 2,...,V n ayan lieu en fin d année 1,2,...,n, c es-à-dire aux daes 1, 2,..., n, au aux annuel. La valeur acuelle de ces n versemens immédiaemen après le dernier versemen, c es-à-dire à la dae n, es : V a1 V 1 1 n1 V 2 1 n2 V n1 1 1 V n. La valeur acuelle de ces n versemens une période avan le premier versemen, c es-à-dire à la dae 0 es : V a2 V V V n1 1 n1 V n 1 n. b) Exemple 3 On considère cinq annuiés variables de 990 versée le 01/01/1998, de 650 versée le 01/01/1999, de versée le 01/01/2000, de versée le 01/01/2001, de versée le 01/01/2002. Le aux de placemen annuel es 4,5 %. La valeur acuelle au momen de la dernière annuié es : V a ,48. La valeur acuelle 2 ans après le dernier versemen es : 5991,481, ,85. La valeur acuelle des 5 annuiés un an avan le premier versemen es : V a La valeur acuelle au momen du deuxième versemen es : ,32. c) Remarque Il n y a pas de simplificaion possible des formules si les annuiés son variables. 2) Cas des anuiés consanes a) Formules On considère n versemens de même valeur V aux daes 1,2,...,n, au aux annuel. La valeur acuelle de ces n versemens immédiaemen après le dernier versemen (dae n) es : V a1 V 1n 1. La valeur acuelle de ces n versemens un an avan le premier versemen (dae 0) es : V a2 V 11n. Séphane Ducay 2

3 Démonsraion On applique les formules du cas général à V 1 V 2... V n V. On obien : V a1 V 1 n1 V 1 n2...v 1 1 V V 1 n1 1 n Le croche conien la somme des n premiers ermes de la suie géomérique de premier erme 1 e de raison 1. On en dédui que : V a1 V 1 1n V 1n 1. De même, V a2 V 1 1 V V 1 n1 V 1 n V n2 1 n1 Le croche conien la somme des n premiers ermes de la suie géomérique de premier erme 1 e de raison1 1. On en dédui que : V a2 V n V 11n (en ayan muliplié numéraeur e dénominaeur par 1). b) Exemple 4 On verse, chaque mois, 150 pendan 48 mois consécuifs au aux mensuel de 0,50 %. Valeur acuelle des 48 mensualiés au momen du dernier versemen : V a , ,67. 0,005 Valeur acuelle des 48 mensualiés un mois avan le premier versemen : V a , ,05. 0,005 Valeur acuelle des 48 mensualiés 2 mois après le dernier versemen : 8114,671, ,02. Valeur acuelle des 48 mensualiés 4 mois avan le premier versemen : 6387,051, ,19. C - Applicaions 1) Consiuion d un capial a) Principe Le capial C consiué après n versemens es la valeur acuelle de ces n versemens immédiaemen après le dernier versemen (formule V a1 ). Les valeurs acuelles de ce capial à d aures daes se calculen à parir de C en uilisan la formule des inérês composés. b) Exemple 5 (reprise de l exemple 3) On consiue un capial par un versemen de cinq annuiés variables de 990 versée le 01/01/1998, de 650 versée le 01/01/1999, de versée le 01/01/2000, de versée le 01/01/2001, de versée le 01/01/2002. Le aux de placemen annuel es 4,5 %. Capial consiué : 9901, , , , ,48. Valeur acuelle de ce capial 2 ans après le dernier versemen : 5991,481, ,85. Le versemen unique au 1er janvier 1994 qui aurai permis de consiuer le même capial au 1er janvier 1999 es 5991,481, ,87 ou encore 9901, , , , , ,87. 2) Remboursemen d un emprun a) Principe On emprune une somme C que l on rembourse en n versemens R 1, R 2,..., R n (le premier remboursemen ayan lieu une période après la remise des fonds). Une relaion enre C, R 1, R 2,..., R n, es éablie en écrivan que le capial prêé es équivalen aux n versemens (formule V a2 ). b) Exemple 6 On a empruné une somme le 1er janvier On l a remboursée en cinq semesrialiés variables : le 1er juille 1999, le 1er janvier 2000, le 1er juille 2000, le 1er janvier 2001, le 1er juille Le aux annuel es 7,64 %. Le aux semesriel équivalen s vérifie 1 a 1 s 2 e donc 1 s 1 a 1/ /2. La somme emprunée es donc : 12601,0764 1/ , ,0764 3/ , ,0764 5/2 6793,35. Séphane Ducay 3

4 c) Exemple 7 On rembourse un emprun par le paiemen de 10 rimesrialiés égales de 855, le premier versemen ayan lieu rois mois après la remise des fonds. Le aux rimesriel es 2,20 %. La somme emprunée es C , ,36. 0,022 IV - Exercices Les calculs se fon à inérês composés. Sauf indicaion conraire, la capialisaion correspond à la périodicié du aux, la soluion commerciale es adopée e chaque fois que le aux indiqué ne correspond pas à la périodicié des versemens, on uilisera le aux équivalen. Exercice 1 Soi un capial de 712 payable dans 2 ans e un capial de 848 payable dans 5 ans. Monrer qu ils son équivalens à inérês composés au aux annuel de 6 %. Exercice 2 Monrer qu on peu remplacer rois règlemens : à 1 an, à 2 ans, à 5 ans par un règlemen unique de à 4 ans, l équivalence éan assurée au aux annuel de 8,20 %. Exercice 3 Pour l acha d un appareil ménager, un commerçan propose deux formules de crédi au aux mensuel de 0,775 %. Première formule : Règlemen en 4 versemens mois après la livraison ; 95 2 mois après la livraison ; 94 3 mois après la livraison ; 86 4 mois après la livraison. Coû de l acquisiion : 375. Deuxième formule : Règlemen en 4 versemens mois après la livraison ; 91 3 mois après la livraison ; 98 5 mois après la livraison ; mois après la livraison. Coû de l acquisiion : 380. Monrer que ces deux formules de crédi à inérês composés son équivalenes. Quel es le prix de l appareil ménager au compan? Exercice 4 Un débieur a conracé quare dees auprès du même créancier : 820 payables dans 1 an e 3 mois ; 960 payables dans 2 ans e 6 mois ; 780 payables dans 3 ans e 9 mois ; payables dans 5 ans. Préféran se libérer en une seule fois, il obien de son créancier la faculé de s acquier par un paiemen unique dans 3 ans. Calculer le monan de ce paiemen, compe enu d un aux annuel de 8 %. Exercice 5 Un débieur qui s es engagé à payer au même créancier : payables dans 1 an e 6 mois, payables dans 2 ans, payables dans 2 ans e 6 mois préférerai se libérer par un paiemen unique de Quelle serai l échéance annuelle de ce paiemen au aux annuel de 5,75 %? Que peu-on dire de la siuaion? Exercice 6 Pour un prê d une durée de 3 ans, une banque offre deux possibiliés de remboursemen au même aux en rois versemens annuels consécuifs, le premier ayan lieu un an après la remise des fonds. Première proposiion : 715, e Deuxième proposiion : 1 120, e Déerminer le aux e le monan de ce prê. Séphane Ducay 4

5 Exercice 7 Un débieur qui doi rembourser à son créancier dans 2 ans e dans 5 ans obien de libérer par un paiemen unique de dans 3 ans. A quel aux annuel a éé calculé ce arrangemen? Exercice 8 On fai un placemen unique à inérês composés au aux annuel de 5,25 %. Quare ans après ce placemen, on reire chaque année Au cinquième rerai, le compe es épuisé. Quel es le monan de ce placemen unique? Exercice 9 Calculer, dans chacun des cas suivans, la valeur acquise par une suie de versemens périodiques e consans, immédiaemen après le dernier versemen : a) 18 annuiés égales de Taux annuel de capialisaion : 5,60 %. b) 12 semesrialiés égales de Taux semesriel de capialisaion : 3 %. c) 12 semesrialiés égales de Taux annuel de capialisaion : 6 %. d) 6 versemens bisannuels de Taux annuel de capialisaion : 4,75 %. Exercice 10 Déerminer, dans chacun des cas suivans, la valeur acuelle d une suie de versemens consans, une période avan le premier versemen : a) 8 annuiés de 1 050, aux annuel 4,25 %. b) 14 semesrialiés de 600, aux semesriel 2,25 %. c) 14 semesrialiés de 600, aux annuel 4,50 %. d) 9 versemens bisannuels de 2 500, aux annuel 5,35 % Exercice 11 Déerminer la valeur acuelle par une suie de 28 rimesrialiés consanes de 680 au aux annuel de 4,80 %. a) au momen du dernier versemen. b) 5 rimesres après le dernier versemen. c) 2 ans e 7 mois après le dernier versemen. d) 240 jours après le dernier versemen. Exercice 12 Déerminer la valeur acuelle d une suie de 6 annuiés consanes de au aux annuel de 4,72 %. a) 1 an avan le premier versemen. b) 2 ans e 5 mois avan le premier versemen. c) au momen du premier versemen. d) 6 mois avan le premier versemen. Exercice rimesrialiés, de 778 chacune, donnen une valeur acquise, au momen du dernier versemen, de Quel es le aux rimesriel de capialisaion? Exercice 14 On place à inérês composés 15 rimesrialiés de 150 du 1er janvier 1999 au 1er juille 2002, période pendan laquelle le aux varie. Taux rimesriels de : 1,75 % du 01/01/1999 au 31/03/2000 ; 1,25 % du 01/04/2000 au 31/03/2001 ; 1,5 % du 01/04/2001 au 01/07/2002. Quelle es la valeur définiive de ce placemen, au momen du dernier versemen, le 1er juille 2002? Séphane Ducay 5

6 Exercice 15 On effecue des versemens périodiques e consans pour se consiuer un capial de immédiaemen après le dernier versemen, quel es le monan de chaque versemen dans chacune des hypohèses suivanes? a) 10 annuiés, aux annuel 5,50 %. b) 120 mensualiés, aux mensuel 0,45 %. c) 60 mensualiés, aux annuel 4,25 %. d) 15 semesrialiés, aux annuel 5,75 %. Exercice 16 a) Combien fau-il verser d annuiés de 180, capialisées au aux annuel de 6 %, pour consiuer un capial d environ au momen du dernier versemen? b) Quel es le monan du capial consiué? Exercice 17 On emprune remboursables par une suie de versemen périodiques e consans, le premier remboursemen a lieu une période après la remise des fonds. Quel es le monan de chacun des versemens dans les cas suivans? a) 5 annuiés, aux annuel 6,25 %. b) 60 mensualiés, aux mensuel 0,45 %. c) 12 semesrialiés, aux annuel 5,50 %. Exercice 18 Une personne souhaie empruner Son budge ne lui perme pas de rembourser plus de 230 par mois. Combien de mensualiés fau-il prévoir dans ces condiions pour rembourser ce emprun de conseni au aux annuel de 7,40 %, le premier remboursemen ayan lieu un mois après la signaure du conra e la remise des fonds? Exercice 19 Malgré un aux annuel d inérê rès élevé (13,80 %), une personne emprune e s engage à rembourser sa dee en 15 versemens annuels de 2 417,76, le premier remboursemen ayan lieu un an après la signaure du conra e la remise des fonds. Vérifier que le aux annuel es bien égal à 13,80 %. Les aux d inérês ayan considérablemen baissé sur les marchés financiers, le créancier accepe de renégocier le conra e de remplacer les 9 dernières annuiés par 8 semesrialiés consanes, calculées au aux semesriel de 6 % sur le monan de la dee resan à payer immédiaemen après le versemen de la sixième annuié, la première semesrialié échéan six mois après le paiemen de la sixième annuié. Déerminer : a) le monan de la dee après le paiemen de la sixième annuié ; b) le monan de chacune des semesrialiés. Séphane Ducay 6