La puissance nième d une matrice 2X2

Transcription

1 L puissce ième d ue mtrice X L puissce ième d ue mtrice (détils)... Le théorème de CLEY-HMILTON (pour les mtrices x)... lgorithme de clcul de l puissce ième...6 Suite umérique ssociée à l puissce ième...7 L puissce ième d ue mtrice (propriétés)... Solutio de l exercice 7... Solutio de l exercice... Solutio de l exercice... Solutio de l exercice...

2 L puissce ième d ue mtrice (détils) Rppel (risoemet pr récurrece) Pour N P est ue propriété qui peut être vrie ou fusse. Si P est vrie et si lorsque P est vrie lors P est ecore vrie, P est vrie pour tout etier. Pour vérifier que P est vrie pour tout etier o vérifie que : ) P est vrie ) si P est vrie (hypothèse de récurrece) lors P est ecore vrie. Défiitio pr récurrece de l puissce ième d ue mtrice Si est ue mtrice, est défiie pr récurrece : P est l propriété «est défiie». est défiie pour : I. Si est défiie lors est défii pr : E prticulier puisque I. Propriété évidete Pour tout etier N :. Preuve pr récurrece ) L propriété est vrie pour : puisque et I. ) Si est vrie lors est ecore vrie, e effet :, pr hypothèse et :. Doc :. Exercice 7 vérifier pr récurrece que pour tout etier : Mise e grde : e géérl. ' '

3 Le théorème de CLEY-HMILTON (pour les mtrices x) Ce théorème se prologe ux mtrices, il est ssocié u clcul de l puissce ième d ue mtrice (à liges et coloes). ' L trce de Tr () Le détermit de Det() ' Le polyôme crctéristique de P ( ) Tr() Det() Le spectre de S pe () { i / P( i ) } : le spectre de est l esemle des rcies de so polyôme crctéristique P ( ). Ue rcie de P ( ) peut être u omre complexe. Le théorème de CLEY-HMILTON Si est ue mtrice lors Tr() Det()I O ) ') ' ' Exemple Exercice ) Vérifier l églité ) Vérifier que pour toute mtrice : Tr() Det()I O. ) Clculer le plus simplemet possile.

4 6 lgorithme de clcul de l puissce ième Tr() Det()I O s écrit : Tr() Det()I. Tr Det() ' ' Propriété Pour tout etier N: tr(). det(). Preuve L propriété est vrie pour : Tr() Det(). Si l propriété est vrie pour lors elle est ecore vrie pour : Tr(). det(). Tr(). det(). tr(). det(). D près l propriété de récurrece l propriété est vrie pour tout etier N. tr(). det().... tr(). tr(). det(). tr(). det(). det().... Exemple de clcul «ps à ps» Tr(), Det(). I Exercice l ide de l exemple clculer et 6

5 7 ' Suite umérique ssociée à l puissce ième et o veut exprimer pour tout N l mtrice. ' Nottio Pour N : ' ' Propriété des suites { } N { } N { ' } N { } N D près le théorème de CLEY-HMILRON : tr(). det(). E utilist les suites umériques précédetes : tr(). det(). ' ' ' ' tr() det(). tr()' det()' N ' N u qui vérifie : Les suites { } { } N { } { } N forme de l suite { } N u tr()u det() u tr() det() tr() det()' sot toutes de l Ce type de suite ser dit «le type de suite ssocié à l mtrice».. De telles suites sot dites «suites récurretes». Exercice ) Doer les types de suites ssociées ux mtrices suivtes : 6 ) O sit que les réels et sot les rcies du polyôme T D. Soit ue mtrice telle que Tr () T et Det() D. Doer l riso pour lquelle le type de suite ssocié à est le même que le type de suite ssocié à l mtrice.

6 L puissce ième d ue mtrice (propriétés) Ces propriétés serot vues ussi pour les mtrices à liges et coloes. Propriété Si et sot des mtrices lors pour tout N: ( B) Propriété Si est ue mtrice lors pour tout N: Det B (Det( )) Propriété Si est ue mtrice et si Det() lors pour tout N:.. est iversile et Remrque prfois o écrit u lieu de. Trvil à fire N et k N ; et B sot des mtrices. ) Vérifier pr récurrece les propriétés ) ( B) B et ) Det (Det( )), B) À l ide des propriétés ) et ) vérifier que si est iversile lors ussi iversile et. C) Vérifier que si et B sot iversiles lors ( B) est iversile et ( B) B C) Vérifier que récurrece). k k et k k (o peut utiliser l est

7 Solutio de l exercice 7 Exercice 7 vérifier pr récurrece que pour tout etier : Mise e grde : e géérl. ' ' Solutio L propriété est vrie pour puisque pr défiitio : ). x défiitio pr ussi puisque ( I Si est vrie lors est ecore vrie. Preuve Pr défiitio : D près l hypothèse de récurrece : Doc : Le clcul doe : O otiet Doc : est vrie lors pour tout N d près le pricipe de récurrece.

8 Solutio de l exercice Exercice ) Vérifier l églité ) Vérifier que pour toute mtrice :. O Det()I Tr() ) Clculer le plus simplemet possile. Solutio ) ). O Det()I Tr() O. Det()I Tr() O ')I ) : ')I ) doc ' ') ) ' ' )' ) ' ') ) ') ) )' ) ') ) ') ' ) ' ' ' ' ' ' ' )

9 Solutio de l exercice Exercice l ide de l exemple clculer 6 et Solutio L exemple est :. Det(), Tr() : I 6 6 Doc : ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

10 Solutio de l exercice Exercice ) Doer les types de suites ssociées ux mtrices suivtes : 6 ) O sit que les réels et sot les rcies du polyôme T D. Soit ue mtrice telle que Tr () T et Det() D. Doer l riso pour lquelle le type de suite ssocié à est le type de suite ssocié à. Solutio ) : :. : u u u. u u u u : u u : u u u : u u u 6 : u u u : u u u :u u u : u u u. ) O coît l expressio de l somme et du produit des rcies d u polyôme du secod degré c x x c. L somme le produit. Type de suite ssocié à : u Tu Du Type de suite ssocié à : T D u u u u u Tu Du puisque et sot les rcies du polyôme T D. ( )