Université Ibn Zohr. Faculté des Sciences Juridiques Économiques et Sociales. Analyse. mathématique II. Mohamed HACHIMI

Transcription

1 Uversté Ib Zohr Fculté des Sceces Jurdques Écoomques et Socles Alyse mthémtque II Mohmed HACHIMI FILIERE SCIENCES ECONOMIQUES ET GESTION PREMIERE ANNEEEG Semestre 2

2 Tble des mtères 1 Sutes 3 1. Déftos 3 2. Sutes covergetes 3 3. Opértos sur les lmtes 7 4. Théorèmes de comprsos 8 5. Sutes récurretes 9 6. EXERCICES 12 2 Séres Déftos Covergece Séres à termes postfs Séres à termes quelcoques EXERCICES 19 3 Mthémtques fcères Les térêts smples Les térêts composés Equvlece Les utés Les empruts dvs Les empruts oblgtres EXERCICES 46

3 1 Sutes 1. Déftos Défto 1.1 O ppelle sute de ombres réels toute pplcto u d ue prte I de N ds R. O désge souvet pr (u ) I ou (u ) l sute u. L mge de pr u e se ote ps u() ms u. Le terme u s ppelle terme géérl de l sute. L pplcto défe sur N pr u() = cos 2 est ue sute de ombres réels dot le terme géérl est u = cos 2. Ds l sute, ous supposeros que I sot l esemble des eters turels supéreurs ou égux à u eter turel 0. Défto 1.2 Sot (u ) ue sute de ombres réels. O dt que (u ) est sttore s u +1 = u I O dt que (u ) est crosste s u +1 u I O dt que (u ) est décrosste s u +1 u I 1. L sute, de terme géérl u = 1/, est décrosste. 2. L sute, de terme géérl u = 2, est crosste. 3. L sute, de terme géérl u = cos 2π, est sttore. Défto 1.3 Sot (u ) ue sute de ombres réels. O dt que (u ) est mjorée s M R, I : u M. O dt que (u ) est morée s m R, I : u m. O dt que (u ) est borée s elle est à l fos mjorée et morée. 1. L sute, de terme géérl u = s 3, est mjorée pr 1 et morée pr 1. Doc elle borée. 2. L sute, de terme géérl u = 2, est morée (pr 0) ms elle est ps mjorée. 2. Sutes covergetes Défto 1.4 Sot (u ) ue sute réelle et l u réel. O dt que (u ) coverge vers l s et seulemet s : ε > 0, N N : > N = u l < ε.

4 1 Sutes 4 O dt que l est l lmte de (u ). O ote lm u = l ou lm u = l Cosdéros l sute de terme géérl u = 1/, motros que lm u = 0. Pour cel sot ε > 0, motros qu l exste u cert eter N tel que pour tout N o t u < ε. u < ε 1 < ε 1 ε < Il sufft doc de predre N supéreur à 1/ε. Preos pr exemple N = E( 1 ε ) + 1. As pour N, o > 1/ε, pr sute 1/ < ε d où u < ε. 2. Cosdéros l sute de terme géérl u = 1 + ( 1) Démotros que cette sute coverge vers 1. Sot ε > 0, o : N, 1 + ( 1) 1=( 1) = 1 et pr sute : N, ( u 1 < ε) 1 < ε > 1 ε l sufft doc de chosr pour N l eter turel E 1 ε + 1 Défto 1.5 Sot (u ) ue sute réelle. O dt que (u ) ted vers + qud ted vers + s et seulemet s : A > 0, N N : > N = u > A. O ote lm u = + ou lm u = +. + Défto 1.6 Sot (u ) ue sute réelle. O dt que (u ) ted vers qud ted vers + s et seulemet s : A > 0, N N : > N = u < A. O ote lm u = ou lm u =. + Cosdéros l sute de ombres réels u défe pr u = 2. Démotros que lm u = +. O : N, 2 > A > A 2. Il sufft doc de predre pour N l eter E A Théorème 1.1 S ue sute dmet ue lmte, lors cette lmte est uque. Défto 1.7 Sot (u ) ue sute réelle. O dt que l sute (u ) est covergete s et seulemet s l exste u réel l vers lequel elle coverge. O dt que l sute (u ) est dvergete s et seulemet s elle est ps covergete.

5 1 Sutes 5 Remrque : Ue sute dvergete est doc : sot ue sute qu ted vers + ou vers ; sot ue sute qu ps de lmte qud ted vers +, c-à-d : l R, ε > 0, N N, N : > N = u l ε. 1. L sute (u ) défe pr u = 2 est dvergete cr lm u = L sute (u ) défe pr u = ( 1) =8< est : dvergete. E effet : sot l u réel quelcoque. Posos 1 l 1 s l 1, ε 2 1 s l = 1 Cosdéros u eter turel quelcoque N et preos =(2N s l 1, 2N + 1 s l = 1 O lors pour l 1 : > N et u l = u 2N l = ( 1) 2N l = 1 l = 2ε > ε; pour l = 1 : > N et u l = u 2N+1 l = ( 1) 2N+1 l = 2 = 2 > ε. Proposto 1.1 Sot (u ) ue sute réelle. S (u ) est covergete lors elle est borée Ue sute borée est ps toujours covergete. u = ( 1). Sutes mootoes : le théorème suvt doe u crtère ssez commode de covergece. Théorème 1.2 Toute sute crosste mjorée est covergete. Toute sute décrosste morée est covergete. Sot (u ) l sute défe sur N pr : u = O : u = = 3 8 et pr sute : N, u +1 u = 3 2( + 1) = = 16 (2 + 5)(2 + 7) > 0. L sute (u ) est crosste. D utre prt : N, u 3. L sute (u ) est mjorée, elle est doc covergete.

6 1 Sutes 6 Sutes extrtes : Défto 1.8 Soet ϕ : I I ue pplcto strctemet crosste et (u ) ue sute réelle. O ppelle sute extrte de (u ), l sute (v ) défe pr : v = u ϕ() pour tout I. L pplcto v est utre que u ϕ. 1. Les sutes (u 2 ) et (u 2+1 ) sot deux sutes extrtes de (u ). 2. Les sutes (v ) et (w ) respectvemet défes pr v = 1 et w = 1 sot deux sutes extrtes de l sute (u ) de terme géérl u = ( 1). E effet, v = u 2 et w = u 2+1. Théorème 1.3 Sot (u ) ue sute et l u réel. S l sute (u ) coverge vers l, lors toute sute extrte de (u ) coverge églemet vers l. E prtculer : toute sute dot o peut extrre deux sutes qu coverget vers des lmtes dfféretes, est dvergete. L sute (u ) défe pr u = ( 1) est dvergete cr ses deux sutes extrtes (u 2 ) et (u 2+1 ) coverget respectvemet vers 1 et 1. D près le Théorème 1.3 : s l sute (u ) coverge vers l, lors les sutes (u 2 ) et (u 2+1 ) coverget vers l; ms ds ce cs o uss ue récproque : Théorème 1.4 Sot (u ) ue sute et l u réel. S les sutes (u 2 ) et (u 2+1 ) coverget vers l, lors (u ) coverge églemet vers l. Sutes djcetes : Défto 1.9 Deux sutes (u ) et (v ) sot dtes djcetes s l ue est crosste, l utre est décrosste et lm(u v ) = 0. Proposto 1.2 Soet (u ) et (v ) deux sutes djcetes lors elles sot covergetes et coverget vers l même lmte. Sot les sutes de termes géérux : Pour tout o : u +1 u = v +1 v = u = ! + 1 2! + + 1!, v = u + 1! 1 ( + 1)! 0 1 ( + 1)! + 1 ( + 1)( + 1)! 1! = 1 0. ( + 1)( + 1)! Doc, l sute (u ) est crosste et l sute (v ) est décrosste. D utre prt, v u = 1! et pr sute lm(u v ) = 0. Les sutes (u ) et (v ) sot doc djcetes.

7 1 Sutes 7 3. Opértos sur les lmtes Les résultts essetels sot présetés ds les tbleux c-dessous, ds lesquels (u ) et (v ) désget deux sutes dmettt des lmtes respectves l et l fes ou fes. Ds les cs sglés pr «IND», l y ps de cocluso e géérl ; o dt lors que c est u cs de forme détermée. Lmte d ue somme : S lm u = l l l + + et s lm v = l + + lors lm u + v = l + l + + IND Lmte d u produt : S lm u = l l > 0 l > 0 l < 0 l < et s lm v = l lors lm u v = ll IND Lmte d u quotet : Cs où lm v 0 S lm u = l l + + et s lm v = l 0 l > 0 l < 0 l > 0 l < 0 lors lm u v = l l IND Cs où lm v = 0 S lm u = l > 0 l > 0 l < 0 l < et s lm v = lors lm u v = IND lm v = 0 + : sgfe que (v ) coverge vers 0 e restt postve. lm v = 0 : sgfe que (v ) coverge vers 0 e restt égtve.

8 1 Sutes 8 Formes détermées : Les tbleux précédets fot pprître qutre stutos où l o e peut ps coclure de fço géérle : 0 0, 0,, + ce sot les formes détermées recotrées pour le momet; l y e uss tros utres : ce sot les formes détermées expoetelles. 1, 0 0, 0 Sur cet exemple, ous motros que s lm u = 0 et lm v = + lors u v peut vor tous les comportemets possbles e + : Sot w = u v = 1 3 = 1 2, ds ce cs lm w = 0 ; Sot w = u v = 1 2 =, ds ce cs lm w = + Sot w = u v = ( 1) 4. Théorèmes de comprsos = ( 1), ds ce cs w ps de lmte. Proposto 1.3 Sot (u ) ue sute réelle telle que u 0 pour tout I. S (u ) coverge vers l lors l 0. Cosdéros l sute (u ) défe pr : u = O : N, u 3. D utre prt, 1 N, u +1 u = 3 2( + 1) = = 2 (2 + 1)(2 + 3) > 0. L sute (u ) est crosste mjorée, elle est doc covergete. Comme u 0, N, lors lm u 0. Proposto 1.4 Sot (u ) et (v ) deux sutes réelles telles qu à prtr d u cert rg N o u v (c est à dre que N, u v ). S (u ) et (v ) coverget, lors lm u lm v. S lm u = +, lors lm v = +. S lm v =, lors lm u =. Théorème 1.5 Soet (u ), (v ) et (w ) tros sutes réelles. O suppose qu l exste u cert rg N N tel que u v w pour tout N. S (v ) et (w ) coverget vers ue même lmte l lors (u ) coverge uss vers l même lmte l.

9 1 Sutes 9 Cosdéros les sutes u = 1, v = ( 1) et w = 1. O : u v w pour tout 1. Comme lm u = lm w = 0, lors o e dédut que lm v = lm ( 1) = Sutes récurretes 5.1. Sute rthmétque Défto 1.10 O ppelle sute rthmétque de premer terme u 0 et de rso r, l sute (u ) défe pr : u +1 = u + r, pour tout N Proposto 1.5 S (u ) est ue sute rthmétque de premer terme u 0 et de rso r, lors u = u 0 + r pour tout N. Covergece : Proposto 1.6 Sot (u ) ue sute rthmétque de rso r. Alors : s r = 0, (u ) est sttore (u = u 0 N) et lm u = u 0. s r > 0, (u ) est crosste et lm u = +. s r < 0, (u ) est décrosste et lm u =. Somme des + 1 premers termes : Proposto 1.7 Sot (u ) ue sute rthmétque de rso r. L somme S des + 1 premers termes de (u X ) est doée pr : S = k=0 u k = u 0 + u u = ( + 1) u 0 + r 2 O uss : S = ( + 1) u 0 + u 2 Ce résultt permet de trouver l somme S d ue sute rthmétque e utlst le premer terme et le derer terme. L somme des premers eters turels : est l somme des +1 premers termes de l sute rthmétque de premer terme u 0 = 0 et de rso r = 1. O doc : ( + 1) = 2 Ce résultt est mportt et l permet de retrouver l somme S quelcoque. pour ue sute rthmétque

10 1 Sutes Sute géométrque Défto 1.11 O ppelle sute géométrque de premer terme u 0 et de rso q, l sute (u ) défe pr : u +1 = q u pour tout N. Proposto 1.8 S (u ) est ue sute géométrque de premer terme u 0 et de rso q, lors u = u 0 q pour tout N. Covergece : Proposto 1.9 Sot (u ) ue sute géométrque de premer terme u 0 o ul et de rso q. Alors : s q = 1, (u ) est sttore (u = u 0 N) et lm u = u 0. s q = 1, (u ) est dvergete. s q < 1, (u ) coverge vers 0. s q > 1, (u ) est dvergete. 1. L sute (( 1) ) est ue sute géométrque (de rso 1) dvergete. 2. L sute ((1/2) ) est ue sute géométrque (de rso 1/2) covergete. Proposto 1.10 L sute (q ) coverge s et seulemet s q ] 1, 1] Somme des + 1 premers termes : Proposto 1.11 Sot (u ) ue sute géométrque de rso q. L somme S des + 1 premers termes de (u X ) est doée pr : S = u k = u 0 + u u = ( + 1)u 0 s q = 1 ; S = X k=0 k=0 u k = u 0 + u u = u 0 q +1 1 q 1 s q Cosdéros l sute géométrque de premer terme u 0 = 1 et de rso q 1. O doc : 1 + q + q q = 1 q+1 1 q Ce résultt permet de retrouver l somme S des + 1 premers termes d ue sute géométrque quelcoque. 2. Soet, b deux réels (où b 0 et b ) et N. Cosdéros l sute géométrque de premer

11 1 Sutes 11 terme u 0 = b 1 et de rso q =. O doc : b S 1 = b 1 + b 1 b + b 1 b2 + + b 1 b 1 = b 1 + b 2 + b b b = b 1 = b b b O retrouve doc u résultt be cou du lecteur : b = (b ) b 1 + b 2 + b b 2 + 1Š 5.3. Sute vérft ue relto de l forme u +1 = f(u ) Défto 1.12 L sute (u ) est dte sute récurrete s elle est de l forme : 8<:u 0 doé où f ue focto réelle défe sur u tervlle I. u +1 = f(u ) Exstece d ue sute u +1 = f(u ) : Pour que l sute (u ) sot défe sur N, l fut que : u I, N. Cette proprété est vérfé lorsque f(i) I. Ds ce cs, pour N doé o : u N I = u I N. 1. Les sutes rthmétco-géométrques sot des sutes récurretes : (u 0 doé u +1 = f(u ) vec f(x) = x + b. Défto 1.13 O ppelle équlbre (ou pot fxe) de l relto u +1 = f(u ) tout ombre réel l vérft l = f(l). Ds le cs où f est ue focto cotue, ous vos le résultt trés utle suvt : Théorème 1.6 S (u ) est covergete vers l et s f est cotue e l lors l est u équlbre de l relto u +1 = f(u ),.e. l = f(l). Ce résultt ffrme que, ds le cs de covergece, l lmte de l sute (u ) est ue soluto de l équto l = f(l) ; ms l e prouve ps l covergece elle même. L équto l = f(l) pourrt vor ue soluto ss que l sute (u ) coverge. s l équto l = f(l) dmet ps de soluto, lors (u ) dverge.

12 1 Sutes 12 Sot (u ) l sute récurrete défe pr : u 0 = 0 et u +1 = u L focto f : x x est cotue sur R. Ue lmte possble de (u ) est doée pr l relto : l = l Or, l équto l 2 2l + 2 = 0 ps de soluto. L sute e peut doc être covergete. Pour étuder l covergece d ue sute récurrete, o utlse souvet le résultt suvt : Proposto 1.12 S f est ue focto crosste sur I, l sute récurrete défe pr u 0 I et l relto u +1 = f(u ) est mootoe. As, s u 0 < u 1 = f(u 0 ), lors l sute (u ) est crosste. s u 0 > u 1 = f(u 0 ), lors l sute (u ) est décrosste. O cosdère l sute (u ) défe pr u 0 = 0 et u +1 = 2 + u Motros que u est crosste : l focto f : x 2 + x est défe et crosste sur R +. comme u 0 = 0 < u 1 = 2, lors (u ) est crosste. Motros, pr récurrece, que u est mjorée pr 3 : l proprété est vre pour = 0 pusque u 0 < 3. supposos que l proprété est vre pour, c-à-d u 3, lors 2 + u 5 et 2 + u 5 3. Doc l proprété est vre pour + 1. O e coclut que : N u 3. L sute (u ) est crosste et mjorée doc covergete. Clculos l lmte de (u ) : Sot l l lmte de (u ), doc elle vérfe : l est doc soluto de l équto : l = f(l) l = 2 + l (l 0 l 2 = 2 + l. l = 2. Doc l seule lmte possble pour (u ) est 2. As, l sute (u ) coverge vers EXERCICES

13 2 Séres 1. Déftos Pu Défto 2.1 Sot (u ) N ue sute réelle. O ppelle sére de terme géérl u que l o oter Š, X l sute dot le terme géérl est S = u 0 + u u = u k. S s ppelle somme prtelle des + 1 premers termes de l sute (u ). O cosdère l sére P Šde terme géérl u =, R. L sére P Šc est doc l sute de terme géérl =8< : 1 +1 S = u 0 + u u = s s = 1. L sére (P ) s ppelle sére géometrque. Défto 2.2 O ppelle somme des séres Pu Š Šet Pv Šl sére Pw Šde terme géérl Š w = u + v. Pu Pv O ppelle produt de l sére pr le ombre réel λ, l sére de terme géérl v = λu. k=0 2. Covergece Défto 2.3 L sére Pu Šde terme géérl u est dte covergete s l sute (S ) des sommes prtelles est covergete vers ue lmte fe S. O écrt lors, S = lm S = + X k=0 u k, S est l somme de l sére. Défto 2.4 O dt que l sére Pu Šest dvergete s et seulemet s elle est ps covergete. Autremet dt, l sére Pu Šest dvergete s (S ) ps de lmte, ou elle ted vers l f.

14 2 Séres Cosdéros l sére (Pu ) de terme géérl u = 1 3. L somme prtelle des + 1 premers termes de l sute (u ) est lors S = u 0 + u u = Pr sute, lm S = lm = 3 2. Doc l sére (Pu ) est covergete et + X =0 u = = Cosdéros l sére Xu Šde terme géérl u = 1/, 1. Cette sére est coue sous le om de sére hrmoque, étudos s covergece. S = S 2 = Fsos l dfférece S 2 S, o obtet As, {z } S 2 S = termes S 2 S = 1 2 ( ) D utre prt, s S coverge lors S 2 coverge uss et lm S 2 = lm S et pr coséquet : lm(s 2 S ) = 0. Or, l résulte de ( ) que l o : lm(s 2 S ) 1 2 d où ue cotrducto. L sére est doc dvergete. L sére hrmoque est dvergete. Remrques : L somme d ue sére covergete et d ue sére dvergete est ue sére dvergete. L somme de deux séres dvergetes peut être ue sére covergete. Défto 2.5 Deux séres (Pu ) et (Pv ) sot dtes de même ture s elles coverget toutes les deux ou dverget toutes les deux. Proposto 2.1 Soet (Pu ) et (Pv ) deux séres de termes géérux respectfs u et v. S ces termes e dffèret que pour u ombre f d dces, lors les deux séres sot de même ture.

15 2 Séres 15 Coséqueces : L ture d ue sére e chge ps e supprmt ou o modft u ombre f de ses termes. Deux sutes dot les termes géérux sot égux à prtr d u cert rg sot de même ture. Codto écessre de covergece : Théorème 2.1 S l sére (Pu ) est covergete, lors l sute (u ) coverge vers 0. L récproque est fusse e géérl, vor l exemple c-dessous : 1. Le terme géérl u = 1 de l sére hrmoque coverge vers 0 ; ms ous vos déj vu que l sére hrmoque est dvergete. 2. L sére (Pu ) de terme géérl u = 1 est covergete et lm u = 0. 3 Le résultt du Théorème 2.1 est surtout utlsé sous s forme cotrposée : Théorème 2.2 S l sute (u ) e coverge ps vers 0, lors l sére (Pu ) est dvergete. 1. L sére (Pu ) de terme géérl u = ( 1) est dvergete cr l sute de terme géérl ( 1) ps de lmte. 2. L sére (Pu ) de terme géérl u = est dverge cr lm u = 2 0. Commetre : L codto lm u = 0 est écessre à l covergece de l sére (Pu ) ms ps suffste ( l sére peut très be dverger qud même). Elle e peut doc servr qu à cofrmer l dvergece d ue sére, lorsque l lmte de so terme géérl est o ulle. Somme des séres : Défto 2.6 Soet λ u réel, (Pu ) et (Pv ) deux séres covergets de sommes respectves U et V. Alors : l sére (P(u + v )) est covergete de somme U + V. l sére (P(λu )) est covergete de somme λu. Séres de Rem : Défto 2.7 Ue sére réelle est dte sére de Rem s so terme géérl est de l forme : u = 1 α où N, α R. Théorème 2.3 Ue sére de Rem X 1 α coverge s et seulemet s α > 1.

16 2 Séres Séres à termes postfs Défto 2.8 Ue sére Xu Š N de terme géérl u est dte sére à termes postfs s u 0 pour tout N. L sute (S ) des sommes prtelles est doc crosste. Proposto 2.2 Sot (Pu ) ue sére à termes postfs. Alors : (Pu ) est covergete s, et seulemet s l sute (S ) est mjorée Comprso de deux séres à termes postfs : Théorème 2.4 Soet (Pu ) et (Pv ) deux séres à termes postfs. O suppose qu à prtr d u cert rg N o u v, lors : Xv Xu Šcoverge = Xu Xv Šdverge = Šcoverge Šdverge. 1. Cosdéros l sére de terme géérl : u = L sére (Pu ) est à termes postfs. O : u = 1 ( + 1)(2 + 1) 1 ( + 1)(2 + 1) 1 3, N L covergece de l sére de Rem P1 3Šetre celle de (Pu ). 2. Cosdéros l sére de terme géérl : u = 1 1 L sére (Pu ) est à termes postfs. O : u = 1 1 1, N L dvergece de l sére hrmoque X1 etre celle de (Pu ) Crtère de covergece de D Alembert Théorème 2.5 Sot (Pu ) ue sére à termes postfs tel que u 0 pour N. Alors, lm u +1 u < 1 = Xu lm u +1 u > 1 = Xu Šcoverge. Šdverge. lm u +1 u = 1, o e peut re coclure. 1. Soet les sutes de termes géérux u =!, v =! (où 0).

17 2 Séres 17 Il vet que Pr coséquet, u +1 u = + 1 et v +1 = 1 ( + 1) = v + 1 = lm u +1 u = lm + 1 = 0 < 1 et lm v +1 v = lm = e > 1. Pr sute e vertu du crtère de covergece de D Alembert : L sére Xu Šest covergete et 2. Soet les sutes de termes géérux l sére Xv Šest dvergete. u = 1, v = 1 2. O : lm u +1 = lm + 1 = 1 et lm v +1 ( + 1)2 = lm u v 2 = 1. Pourtt L sére X1 2 est covergete et l sére X1 dvergete. est 3.3. Crtère de covergece de Cuchy Théorème 2.6 Sot (Pu ) ue sére à termes postfs telle que l sute qu t ue lmte fe. Alors, lm qu < 1 = Xu lm qu > 1 = Xu Šcoverge. Šdverge. lm qu = 1, o e peut re coclure. = Soet les sutes de termes géérux 1 2 u, v = 2 + k (où k 0). Il vet que Èu = 1 = et Èv = 2 Èk = 2 k = 2 e k Log Pr coséquet, lm Èu 1 = lm = 1 e < 1 et lm Èv = lm 2 = 2 > 1. Log e k Pr sute e vertu du crtère de covergece de Cuchy : L sére Xu Šest covergete et l sére Xv Šest dvergete.

18 2 Séres 18 Comprso des crtères de D Alembert et de Cuchy : Proposto 2.3 Sot (u ) ue sute de ombres réels postfs. Alors, +1 ( l) l = lm u = l = lm qu. u 4. Séres à termes quelcoques 4.1. Séres lterées Défto 2.9 Ue sére Xu Šest dte lterée s, et seulemet s, ses termes sot ltertvemet postfs et égtfs à prtr d u cert rg 0. Autremet dt, Xu Šest dte lterée s u u +1 < 0 pour 0. Proposto 2.4 Ue sére Xu Šest lterée s, et seulemet s, u = ( 1) v ou be u = ( 1) +1 v vec v > 0 pour L sére de terme géérl u = ( 1) Log pour 2, est ue sére lterée. 2. L sére de terme géérl u = ( 1) s 1 pour 1, est ue sére lterée. Théorème 2.7 Sot Xu Šue sére lterée. S l sute v = u est décrosste et coverge vers 0, lors l sére Xu Šest covergete. 1. Sot l sére de terme géérl u = ( 1) C est ue sére lterée O : u = est décrosste et lm = 0. L sére Xu Šest doc covergete. 2. Sot l sére de terme géérl u = ( 1) C est ue sére lterée. O : l sute u = 1 est décrosste et lm 1 = 0. L sére lterée X( 1) est ppelée sére hrmoque lterée, elle est covergete Séres bsolumet covergetes Défto 2.10 Ue sére Xu Šàtermes réels est dte bsolumet covergete s, et seulemet s, l sére X u Šest covergete. Sot α > 1, l sére X( 1) est bsolumet covergete. α Théorème 2.8 Toute sére bsolumet covergete est covergete.

19 2 Séres 19 L récproque est fusse e géérl : l exste des séres covergetes qu e sot ps bsolumet covergetes, d où l défto : Défto 2.11 S l sére Xu Šcoverge ms que X u Šdverge, lors l sére Xu Šest dte sem-covergete. Sot 0 < α 1, l sére X( 1) est sem-covergete. Remrque α Tous les crtères utlsés pour les séres à termes postfs peuvet être utlsés comme crtères de covergece bsolue. 5. EXERCICES

20 3 Mthémtques fcères 1. Les térêts smples Les questos trtés ds cette prte coceret les opértos fcères à court terme, c està-dre celles dot l durée ormle excède ps u. Pour ce type d opértos l prtque ormle est celle d térêt smple. Déftos Nous précsos c certes otos courtes ds le mode des ffres. L térêt est le prx pyé pr l empruteur u prêteur pour utlser u cptl pedt u temps doé. C est le loyer de l somme prêtée. Il s gt d ue dépese pour l empruteur et d u reveu pour le prêteur. L vleur omle d u cptl est celle reteue à ue dte détermée chose comme orge des temps. L vleur cquse pr u cptl est l vleur omle ugmetée des térêts cqus pedt le temps couru u-delà de l dte chose comme orge des temps. L vleur ctuelle d u cptl, u cotrre, se déterme vt s dte d échéce. L térêt qu l covet de retrcher de l vleur omle pred le om d escompte. Le tux d térêt est le rpport etre l térêt et l somme prêtée ou emprutée. O se plce ds le cs du plcemet ou de l emprut de C utés moétres (drhms, euros, dollrs,... ) pour ue durée détermée de d. Au bout de l durée fxée, l empruteur rembourse u prêteur ue somme S. L térêt I est l dfférece etre S et C : Le tux d térêt t est le rpport etre I et C : I = S C t = I C = S C C = S C 1 L térêt est vrble selo l lo de l offre et de l demde, du mott du prêt, de l durée et du tux d térêt. Le tux d térêt s exprmer le plus souvet e % pour l durée cosdérée : % uel, % mesuel, etc.

21 3 Mthémtques fcères 21 Remrque : Le tux d térêt uel est l térêt produt pr u cptl de 1 uté moétre (géérlemet 100 dh) plcé pedt ue uté de temps (géérlemet l ée comptée pour 360 jours). S o récupère 1, 15 uté moétre près u, o dt que le tux d térêt uel est de 0, 15 ou ecore 15 %. Clcul de l térêt smple Ds le cs de l térêt smple, le cptl reste vrble pedt toute l durée du prêt, l empruteur dot verser à l f de chque pérode l térêt dû. L térêt smple est drectemet proportoel u tux d térêt uel pour ue uté de cptl, u mott du cptl plcé, à l durée du plcemet du cptl. L durée de plcemet étt exprmée e ées, l formule de clcul de l térêt est l suvte : I C t : l térêt smple rpporté pr le cptl, : le cptl plcé, : le ombre d ées de plcemet, : tux d térêt de 100 dh pour u O : I = C t 100 Clculos l térêt produt pr u cptl de dh plcé pedt 3 s à u tux égl à 14 %. Ds ce cs, o : C = dh, t = 14 % et = 3 s. Alors : I = = dh Ds l prtque, l térêt est clculé e focto du ombre du jour de plcemet. L ée est prse pour 360 jours et les mos sot comptés pour leur ombre de jours exct. S j désge l durée e jours, l formule de clcul de l térêt devet : I = C t j S m désge l durée e mos, l formule de clcul de l térêt devet : I = C t m Quel est l térêt produt à térêt smple pr u plcemet d ue somme d rget de dh u tux de 11 % pedt 75 jours. Ds ce cs, o : C = dh, t = 11 % et j = 75 jours. Alors : I = = 352, 92 dh

22 3 Mthémtques fcères 22 Sot u cptl de dh plcé à térêt smple du 13 mrs u 20 jullet de l même ée u tux uel de 11, 5 %. Clculer l térêt produt pr ce plcemet. Ds ce cs, o dot compter le ombre excte de jours ds chque mos, l dte tle exclue et l dte fle cluse. O : C = dh, t = 11, 5 % et j = 129 jours. Alors : I = , = 844, 77 dh Prtque du clcul des térêts Lorsque l durée du plcemet est exprmée e jours, l térêt est : I = C t j, e dvst umérteur et déomteur pr t, o obtet : I = C j t, Le produt C j est ppelé ombre et désgé pr N. Le quotet /t est ppelé dvseur fxe correspodt u tux t et désgé pr D. L formule du clcul de l térêt devet : I = N D Elle est ppelée méthode des ombres et des dvseurs. Clculos l térêt de dh pedt 33 jours u tux de 9 %. N = C j = = D = t = 9 = Doc I = N D = = 46, 2 Vleur cquse L vleur cquse du cptl près pérodes de plcemet est l somme du cptl et des térêts ggés. S ous désgos pr (V ) l vleur cquse lors : Sot V = C + I = C + C t 100 V = C 1 + t 100 Cette relto est juste s l durée est exprmée e ées.

23 3 Mthémtques fcères 23 Clculos l térêt et l vleur cquse d u plcemet à térêt smple de dh pedt 40 jours à u tux de 9 % pr. Ds ce cs, o : C = dh, t = 9 % et j = 40 jours. Alors : D où : ou ecore I = = 250 dh V = = dh V = =25 000(1, 01) = dh Tux moye de pluseurs plcemets Soet tros cptux C 1, C 2 et C 3 plcés à des tux respectfs t 1, t 2 et t 3 pedt des durées dfféretes j 1, j 2 et j 3. Cptl Tux Durée C 1 t 1 j 1 C 2 t 2 j 2 C 3 t 3 j 3 L térêt globl procuré pr les tros plcemets est le suvt : I G = C 1 t 1 j 1 + C 2 t 2 j 2 + C 3 t 3 j 3 = C 1 t 1 j 1 + C 2 t 2 j 2 + C 3 t 3 j 3 Le tux moye de ces tros plcemets est u tux uque oté t m, qu pplqué à l esemble de ces tros plcemets doe le même térêt globl. Sot I G = C 1 t m j 1 + C 2 t m j 2 + C 3 t m j 3 (1) De (1) et (2), l vet C 1 j 1 + C 2 j 2 + C 3 j 3 = t m 36 3X 000 3X C k t k j k k=1 t m = (2) k=1 px px k=1 C k j k Cette formule peut être géérlser fclemet à p plcemets e remplçt le ombre 3 pr le ombre p ds l formule c-dessus. t m = k=1 C k t k j k C k j k Il s gt de l moyee rthmétque des tux podérée pr les ombres N k vec N k = C k j k.

24 3 Mthémtques fcères 24 Clculos le tux moye des plcemets suvts : dh plcés pedt 30 jours à 7 % ; dh plcés pedt 60 jours à 10 % ; dh plcés pedt 50 jours à 9 %. O : t m = ( ) + ( ) + ( ) ( ) + ( ) + ( ) = 9, 3 %. Escompte L escompte peut être déf comme l opérto pr lquelle u bquer met à l dsposto de so clet le mott d u effet de commerce vt so échéce sous déducto de l térêt. Le mott pyble à l échéce costtue l vleur omle de l effet. L térêt prélevé pr le bquer escompteur pred le om d escompte. L vleur ctuelle est l vleur omle mos l escompte. S ous désgos pr : C : l vleur omle de l effet, vleur scrte sur l effet et pyble à échéce ; j : l durée de l escompte ; t : le tux de l escompte ; E : le mott de l escompte ; V e : l vleur escomptée j jours vt l échéce. Alors, le mott de l escompte est : E = C t j L vleur ctuelle de l effet V e s écrt comme sut : sot ecore V e = C E V e = C C t j = C 1 t j Combe le bquer remettr-t-l à so clet s l lu escompte e 29/11/2005 u effet de dh pybles u 20/02/2006, e scht que le tux égl à 9 %. Dte de égocto 29/11/2010 Dte d échéce 20/02/2011 tux 9 % 83 jours

25 3 Mthémtques fcères 25 O : C = , t = 9 et j = 83. D où : Doc, E = C t j V e = C E = = dh = = dh Prtque d escompte Ds l prtque, l remse d u effet à l escompte etrîe des frs fcers, e plus de l escompte propremet dt. Ces frs compreet pluseurs commssos. L esemble de l escompte et des commssos s ppelle l go. D ue mère géérle, l go se compose de : l escompte, dverses commssos, l txe sur l vleur joutée (TVA). Au Mroc, l TVA est de 7 %, elle est pplquée drectemet sur l esemble de l go (hors txe) qu se compose le plus souvet de : l escompte, commssos d cceptto et de courrer qu sot fxes et pr bordereu d escompte. Remrque : Il est à oter que l durée réelle de l escompte est prfos mjorée d u ou de pluseurs jours (ppelés courmmet jours de bque). Sot u effet de commerce de dh échét le 27 jullet 2005 et escompté le 10 vrl de l même ée, ux codtos suvtes : Tux d escompte : 13 % ; Commsso de mpulto : 2 dh pr effet ; TVA : 7 % ; Ter compte d u jour de bque. Clculos l vleur ctuelle de l effet. O : j = jour de l bque = 109 jours. C = dh. Doc E = = 1 397, dh. (Commsso de mpulto). + 97, 96 dh. (TVA.7 %) Ago (TTC) = 1.497, 28 dh. L vleur ette est l somme effectvemet mse à l dsposto du vedeur de l effet de commerce vt so échéce. Vleur ette = Vleur omle Ago (TTC). Repreos l exemple de l effet de l opérto précédete : L vleur ette = , 28 = , 72 dh.

26 3 Mthémtques fcères Les térêts composés O dt qu u cptl est plcé à térêt composé lorsqu à l f de l premère pérode, l térêt smple de l premère pérode est jouté u cptl, o prle lors de cptlsto des térêts. L cptlsto des térêts est géérlemet uelle, ms elle peut être semestrelle, trmestrelle ou mesuelle. Temps de plcemet est u ombre eter de pérodes Désgos pr C 0 le cptl tl, pr le ombre de pérodes et pr C le cptl déftf cqus à l f de ème pérode. E mtère d térêt composé, o trvlle vec = t pour fclter l 100 formule ( est le tux pr uté moétre pr pérode). C 0 0 C 1 1 C 2 2 C 3 3 C 1 1 C Le tbleu suvt doe les vleurs cquses e f de pérodes. Pérode Cptl plcé e Itérêts pyés e f de Vleur cquse e f début de pérode pérode de pérode 1 C 0 C 0 C 1 = C 0 + (C 0 ) = C 0 (1 + ) 2 C 1 = C 0 (1 + ) C 1 = [C 0 (1 + )] C 2 = C 1 + (C 1 ) = C 0 (1 + ) 2 3 C 2 = C 0 (1 + ) 2 C 2 = [C 0 (1 + ) 2 ] C 3 = C 2 + (C 2 ) = C 0 (1 + ) 3 Doc, e géérle l vleur cquse près pérode est : C = C 0 (1 + ) Remrques : Les vleurs cquses pr u cptl C 0, u bout de 1, 2,..., pérodes, formet ue sute géométrque de rso (1 + ), de premer terme C 0 (1 + ). L térêt I rpporté pr u cptl C 0 plcé pedt ées est égl à C C 0, c est-à-dre à : I = C 0 (1 + ) C 0 = C 0 (1 + ) 1. Clculos l vleur cquse du cptl de dh plcé pedt 4 s u tux uel de 8 % à térêts composés. E effet, o : C 0 = dh, = 4 et = 0, C 4 =? % D où : C 4 = C 0 (1 + ) = (1 + 0, 08) 4 = , 89 dh Il est utle de oter que l vleur cquse peut se clculer sot drectemet à l de d ue clcultrce sot à l de des tbles fcères.

27 3 Mthémtques fcères 27 Remrque : Ds l formule dot l vleur cquse à tux d térêts composés, l y cocordce etre les tux et les pérodes cosdérées. E effet, le ombre de pérodes est e ées s est u tux uel ; le ombre de pérodes est e semestres s est u tux semestrel ; le ombre de pérodes est e trmestres s est u tux trmestrel ; le ombre de pérodes est e mos s est u tux mesuel. Clculos l vleur cquse du cptl de dh plcé pedt 1 s u tux trmestrel de 2 % à térêts composés. E effet, o : C 0 = dh, 1 = 4 trmestres et = 0, C 4 =? % D où : C 4 = C 0 (1 + ) = (1 + 0, 02) 4 = , 33 dh Temps de plcemet est u ombre frctore de pérodes Le temps de plcemet est peut être frctore pr exemple 5 s et 7 mos. Pr exemple, o veut svor quelle est l vleur cquse u bout de 5 s et 7 mos d u cptl C 0 plcé à térêts composés u tux de 6 %. C 0 C =? 8 % O dstgue lors deux solutos : l solutos rtoelle et l soluto commercle. Soluto rtoelle Posos = k + p q Au bout de k ées, le cptl obteu pr u plcemet tl de C 0 drhms ser : C k = C 0 (1 + ) k Clculos les térêts smples produts pr le cptl C k pedt l frcto p q uel : de l ée u tux C k p q = C 0(1 + ) k p q d où : C = C 0 (1 + ) k + C 0 (1 + ) k p q = C 0 (1 + ) k1 + p q

28 3 Mthémtques fcères 28 Clculos l vleur cquse d u cptl de dh plcé pedt ue pérode de 5 s et 7 mos à 8 %, cptlsto uelle. Ds ce cs, o cosdère que l vleur cquse u bout de 5 s reste plcée à térêt smple pedt 7 mos. C 5+ 7 = C 0(1 + ) = (1 + 0, 08) , = , 67 dh Soluto commercle Elle cosste à géérlser l formule des térêts composés u cs où est ps u ombre eter de pérodes. L formule est l suvte : C k+ p q = C 0(1 + ) k+ p q Repreos l exemple précédet, ms vec l méthode commercle C = (1 + 0, 08) = , 51 dh Tux proportoels et tux équvlets Tux proportoels Deux tux correspodt à des pérodes dfféretes sot dts proportoels lorsque leur rpport est égl u rpport de leurs pérodes respectves. Au tux uel de 6 %, pr exemple, correspod le tux semestrel proportoel de 3 %, le tux trmestrel proportoel de 1, 5 % et le tux mesuel proportoel de 0, 5 % Remrque : E térêts smples deux tux proportoels produset sur u même cptl les mêmes térêts u bout du même temps. Il e est ps de même ds le cs des térêts composés. Clculos l térêt smple produt pr u cptl de dh plcé pedt ue ée u tux uel de 6 %. Pérodes de plcemet Tux Vleur cquse 1 ée 6 % , 06 = dh 2 semestres 3 % , 03 2 = dh 4 trmestres 1, 5 % , = dh 12 mos 0, 5 % , = dh Mtet, repreos le même exemple ms e utlst les térêts composés

29 3 Mthémtques fcères 29 Pérodes de plcemet Tux Vleur cquse 1 ée 6 % (1, 06) 1 = dh 2 semestres 3 % (1, 03) 2 = dh 4 trmestres 1, 5 % (1, 015) 4 = , 36 dh 12 mos 0, 5 % (1, 005) 12 = , 78 dh E térêts composés et à tux proportoels les vleurs cquses pr u même cptl pedt ue même durée ugmetet qud les pérodes de cptlsto deveet plus pettes. D où le recours u tux équvlets. Tux équvlets Deux tux sot équvlets lorsqu à térêt composé, ls boutsset pour u même cptl à l même vleur cquse pedt l même durée de plcemet. De mère géérle, deux plcemets défs respectvemet pr leurs tux ( 1 et 2 ) et pr leurs pérodes (P 1 et P 2 ). Les plcemets sot effectués à tux équvlet s ls boutsset pour u même cptl C 0 à l même vleur cquse. C est-à-dre : C 0 (1 + 1 ) P 1 = C 0 (1 + 2 ) P 2 Quel est le tux semestrel équvlet u tux uel de 9 %. Le tux uel est = 9 % et le tux semestrel est s =? O st que : D où : C 0 (1 + ) 1 = C 0 (1 + s ) 2 (1 + ) = (1 + s ) 2 = 1 + s = 1 + = s = = s =p1 + 0, 09 1 sot s = 0, Vleur ctuelle L vleur ctuelle est l somme C 0 qu l fut plcer ujourd hu à térêt composé pour obter C près pérode de plcemet. C est le processus verse de l cptlsto qu s ppelle ctulsto. C 0 = C (1 + ) Quelle somme fut-l plcer mtet à térêt composé u tux uel de 7 % pour obter u bout de 4 s ue vleur déftve de dh? = C 0 (1, 07) 4 = C 0 = (1, 07) 4 d où : C 0 = , 14 dh

30 3 Mthémtques fcères Equvlece de 2 effets (ou 2 de cptux) Equvlece à térêts smples De même qu u crécer peut égocer u effet de commerce vt so échéce, le débteur peut uss rembourser ue dette vt so échéce. Il sufft pour le débteur de s etedre vec le crécer sur ue dte de pemet et ue formule d evluto de l dette à cette dte. Défto 3.1 Deux effets (ou deux cptux) sot équvlets s, escomptés à ue dte doée (dte d équvlece), u même tux, et ds le même système d escompte leurs vleurs ctuelles sot égles. Soet deux effets de vleurs omles C 1 et C 2 yt ujourd hut à courr respectvemet j 1 et j 2 jours u tux d escompte t, l codto d équvlece, ds l escompte commercl s exprme pr l églté suvte : C 1 C 1 t j 1 = C 2 C 2 t j 2 U commerçt souhte remplcer le 16 vrl u effet de dh rrvt à échéce le 26 m, pr u utre échét le 15 ju. Détermer l vleur de l effet de remplcemet, le tux uel d térêt est de 12 %. Étt doées les vleurs suvtes : C 1 : l vleur omle de l effet. C 1 = dh ; C 2 : l vleur omle de l effet de remplcemet (c est l vleur recherchée), j 1 : durée d escompte reltf à l effet. j 1 = 26 m 16 vrl = 40 jours ; j 2 : durée d escompte reltf à l effet de remplcemet. j 2 = 15 ju 16 vrl = 60 jours ; t : tux d escompte. t = 12 % (α) Dte d équvlece 16 vrl 40 jours m C 2 =? 15 ju tux 12 % 60 jours l equvlece des deux effets u 16 vrl s écrt : = C 2 C , , 56 = C 2 1 C 2 = , 81 dh O peut réécrre l formule (α) e utlst l méthode des ombres et dvseurs. E effet, l formule (α) ous doe : D où : C 1 C 1 j 1 D = C 2 C 2 j 2 D vec : D = C 1 (D j 1 ) = C 2 (D j 2 ) t

31 3 Mthémtques fcères 31 Ds l prtque, l oto d équvlece (α) permet de remplcer u effet pr u utre yt ue échéce dfférete. Ett doée l vleur omle C 1 d u effet, l équto d équvlece à 4 cous. Géérlemet, à l de de cette équto o peut clculer : l vleur omle de l effet équvlet ; l échéce de l effet équvlet ; l dte d équvlece ; le tux d équvlece. A quelle dte u effet de vleur omle dh à échéce du 18 vrl est-l équvlet à u effet de , 77 dh à échéce du 17 ju de l même ée? tux d escompte 12, 5 %. Dte d équvlece? j 1 jours vrl 60 jours , ju tux 12, 5 % (j ) jours O : C 1 = , C 2 = , 77, t = 12, 5, D = 2880 et j 2 = j D où : s se qu doe C 1 (D j 1 ) = C 2 (D (j )) C 2 j 1 = (C 2 C 1 )D 60C 2 = D 60 C 2 C 1 C 2 C 1 j 1 = 22, 971 sot 23 jours vt le 18 vrl c est-à-dre le 26 mrs de l même ée. Défto 3.2 U effet (ou cptl) est équvlet à l somme de pluseurs utres, s escomptés à ue dte doée (dte d équvlece), u même tux, et ds le même système d escompte, l vleur ctuelle de l effet (ou cptl) uque est égle à l somme des vleurs ctuelles des utres effets (ou cptux). Sot u effet de vleur omle C et 3 effets de vleurs omles C 1, C 2, C 3 yt respectvemet j, j 1, j 2, j 3 jours à courr à l dte d escompte ; l équvlece se trdur pr l églté suvte : C C t j = C 1 C 1 t j 1 + C 2 C 2 t j 2 + C 3 C 3 t j 3 O souhte remplcer le 15 ju, les tros effets c-dessous pr u effet uque Effet Vleur omle Echéce E dh 20 oût E dh 15 jullet E dh 20 septembre

32 3 Mthémtques fcères 32 Quelle est l échéce de l effet de dh remplçt les effets E 1, E 2 et E 3 vec u tux d escompte de13 %. Ds ce cs, o : C 1 = 5 000, C 2 = 4 000, C 3 = , C = , t = 13 % et j 1 = 20 oût 15 ju = 66 jours, j 2 = 15 jullet 15 ju = 30 jours, j 3 = 20 septembre 15 ju = 97 jours j est le ombre de jours séprt l dte d équvlece (15 ju) et l échéce de l effet uque. D où l équto d équvlece : sot j = , 6555 j = 3 956, , , 67 j = 102, 257 sot 103 jours L échéce de l effet uque ser le 15 ju +103 jours sot le 26 septembre de l même ée. Théorème 3.1 S deux effets sot équvlets à ue dte doée, ls e l étet ps vt cette dte et e le serot plus près. Equvlece à térêts composés L équvlece à térêts composés se déft ds les codtos que l équvlece à térêts smples pr l églté des vleurs ctuelles. Géérlemet l équvlece à térêts est pplquée à des opértos à moye et log terme. Défto 3.3 Deux effets (ou deux cptux) sot équvlets à térêts composés à ue dte doée (dte d équvlece), s escomptés à térêts composés et u même tux, ls ot à cette dte l même vleur ctuelle. Soet deux cptux de vleurs omles C 1 et C 2 pybles respectvemet ds 1 et 2 pérodes, u tux. L équvlece de C 1 et C 2 (à l époque zéro) se trdut pr l églté : C 1 (1 + ) 1 = C 2 (1 + ) 2 U effet de dh échét ds 3 s dot être remplcé pr u utre échét ds 7 s. Clculos l vleur omle C de l effet de remplcemet scht que le tux d escompte 13 %. A l dte d équvlece, l églté s écrt : sot C(1, 13) 7 = (1, 13) 3 C = (1, 13) 4 = , 92 dh A l époque zéro, les deux effet de vleurs omles dh et , 92 dh ot l même vleur ctuelle, à u tux de 13 %. Défto 3.4 U cptl est équvlet, à térêts composés et à ue dte doée (dte d équvlece), à u groupe de cptux, s u même tux d escompte, l vleur ctuelle de ce cptl est égle à l somme des vleurs ctuelles de cptux costtut le groupe.

33 3 Mthémtques fcères 33 Sot u cptl de vleur omle C pyble ds pérodes et u groupe de tros cptux de vleurs omles C 1, C 2, C 3, pybles respectvemet ds 1, 2 et 3 pérodes. L équvlece u tux, à l époque zéro, se trdut pr l églté : C(1 + ) = C 1 (1 + ) 1 + C 2 (1 + ) 2 + C 3 (1 + ) 3 O souhte remplcer les tros effets suvts : dh ds 2 s ; dh ds 6 s ; dh ds 4 s ; pr u effet uque de vleur omle C pyble ds 5 s vec u tux de 11 %. Clculos l vleur omle C de ce cptl. A l époque zéro, l églté de l équvlece est : C(1, 11) 5 = (1, 11) (1, 11) (1, 11) 6 C(1, 11) 5 = , 24 C = , 24(1, 11) 5 C = , 09 dh 4. Les utés O désge sous le terme géérl d utés des sommes pybles à des tervlles de temps costts. L tervllede temps séprt le pemet de deux utés est l pérode. L pérode peut être l ée, le semestre, le trmestre, le mos ; ds ces cs o prle de semestrltés, de trmestrltés, de mesultés. Les utés peuvet être versées : sot ds le but de costtuer u cptl, ce sot les utés de plcemet ou de cptlsto ; sot ds le but de rembourser ue dette, ce sot les utés d mortssemet ou remboursemet. Les utés peuvet être versées : e début de pérode : c est le cs géérlemet, pour les utés de plcemet ; dés l sgture du cotrt, u premer versemet est effectué ; e f de pérode : c est le cs les utés de remboursemet ou des utés d mortssemet ou des utés de cptlsto, le premer remboursemet tervet à l f de l premère pérode. Autés costtes de f de pérode Vleur cquse O ppelle vleur cquse pr ue sute d utés costtes de f de pérode, l somme des utés (A ) exprmée mmédtemet près le versemet de l derère uté.

34 3 Mthémtques fcères 34 (1 + ) 1 (1 + ) 2 (1 + ) S o ote pr : A : l vleur cquse pr l sute des utés : l uté costte de f de pérode : le ombre de pérodes (d utés) : le tux d térêt pr pérode de cptlsto O lors: 1 A = + (1 + ) + (1 + ) (1 + ) 2 + (1 + ) 1 = 1 + (1 + ) + (1 + ) (1 + ) 2 + (1 + ) Il s gt de l somme des premers termes d ue sute géométrque de premer terme, de rso géométrque q = (1 + ). L formule devet doc : A = (1 + ) 1 (1 + ) 1 sot A = (1 + ) 1 Clculos l vleur cquse, u momet du derer versemet, pr ue sute de 15 utés de dh chcue ; tux 10 % l. A 15 = , , 1 = , 86 dh Remrque : L tble fcère N 3 fourt l vleur du terme (1 + ) 1 Elle représete l vleur cquse d ue sute d utés de 1 dh. Retrouvos l vleur A 15 de l exemple précédet à l de de l tble fcère N 3. Au crosemet de l lge correspodt à = 15 et de l coloe correspodt u tux = 10 %, o lt (1, 1) , 1 = 31, E multplt pr o trouve A 15 = , 86 dh

35 3 Mthémtques fcères 35 Vleur cquse exprmée p pérodes près le derer versemet Sot V p l vleur cquse de l sute des utés costtes de f de pérode exprmée p pérodes près le derer versemet. A V p p Pour le clcul de l vleur cquse l mporte de se stuer, d bord, u momet du derer versemet, esute, o pplque les térêts composés u mott A. V p = A (1 + ) p sot O peut doc écrre V p = (1 + ) 1 (1 + ) p = (1 + )+p (1 + ) p V p = (1 + ) +p 1 (1 + )p 1 Vleur ctuelle O ppelle vleur ctuelle d ue sute d utés costtes de f de pérode, l somme des utés ctulsées (A 0 ) exprmée à l dte orge. (1 + ) (1 + ) +1 (1 + ) 2 (1 + ) S o ote pr : A 0 : l vleur ctuelle pr l sute des utés : l uté costte de f de pérode : le ombre de pérodes (d utés) : le tux d térêt pr pérode de cptlsto O lors: A 0 = (1 + ) 1 + (1 + ) (1 + ) +1 + (1 + ) Il s gt de l somme des premers termes d ue sute géométrque de premer terme (1 + ) 1, de rso géométrque q = (1 + ) 1. L formule devet doc : A 0 = (1 + ) 1 1 (1 + ) 1 (1 + ) 1

36 3 Mthémtques fcères 36 sot Autremet, o st que à l pérode o : 1 (1 + ) A 0 = A = (1 + ) 1 O cherche à évluer l sute d utés à l orge. A l dte 0 o ur : A 0 = A (1 + ) ce qu permet de retrouver l formule précédete. = (1 + ) 1 (1 + ) Clculer l vleur ctuelle d ue sute de 10 utés de dh chcu. Tux d escompte : 9 % l. 1 (1, 09) 11 A 0 = = , 98 dh 0, 09 Vleur ctuelle exprmée p pérodes vt l dte d orge Sot V p 0 l vleur ctuelle de l sute des utés costtes de f de pérode exprmée p pérodes vt l dte d orge (époque 0). V p 0 A 0 p Pour le clcul de l vleur ctuelle l mporte de se stuer, d bord, à l époque 0, esute, o pplque les térêts composés u mott A 0. sot O peut doc écrre V p 0 V p 0 = A 0(1 + ) p (1 + ) = 1 (1 + ) p = (1 + ) p (1 + ) p V p 0 = 1 (1 + ) p 1 (1 + ) p Autés costtes de début de pérode Vleur cquse S o cosdère que les flux sot versés e début de pérode, o obtet le grphque suvt :

37 3 Mthémtques fcères 37 (1 + ) (1 + ) 1 (1 + ) 2 (1 + ) O lors: B = (1 + ) + (1 + ) (1 + ) 1 + (1 + ) Il s gt de l somme des premers termes d ue sute géométrque de premer terme (1 + ), de rso géométrque q = (1 + ). L formule devet doc : sot B = (1 + ) (1 + ) 1 (1 + ) 1 B = (1 + ) (1 + ) 1 Clculos le cptl costtué u près le derer versemet, pr ue sute de 10 utés de dh chcue. Tux : 8 % l. B 10 = , 08 (1, 08)10 1 0, 08 = , 44 dh Vleur ctuelle Il s gt c de se stuer u momet du premer versemet. (1 + ) +1 (1 + ) 2 (1 + ) O lors: B 0 = + (1 + ) 1 + (1 + ) (1 + ) +2 + (1 + ) +1 Il s gt de l somme des premers termes d ue sute géométrque de premer terme, de rso géométrque q = (1 + ) 1. L formule devet doc : 1 (1 + ) + ) 1 (1 + ) B 0 = = (1 1 (1 + ) 1 (1 + ) 1 (1 + ) 1 sot B 0 = (1 + ) 1 (1 + )

38 3 Mthémtques fcères 38 Clculos l vleur ctuelle, u momet du versemet du premer terme, pr ue sute de 15 utés de dh chcue. Tux : 10, 5 % l. 5. Les empruts dvs 1 (1, 105) 15 B 0 = = , 61 dh 0, 105 U emprut dvs est u emprut ordre fst l objet d u cotrt etre u prêteur et u empruteur. Il y qu u seul prêteur, l est doc dvsble, d où le qulfctf dvs. Le remboursemet de cet emprut s effectue géérlemet, pr utés de f de pérode. Chque uté est composée de deux élémets : U remboursemet d ue prte du cptl empruté (dette). Ce remboursemet porte le om d mortssemet. Ue prte térêt clculée sur l bse du tux d térêt coveu etre les deux prtes et du cptl restt dû dépedt. Le remboursemet d u emprut déped du mode d mortssemet utlsé ( fe, pr utés costtes ou pr mortssemet costt). D ue fço géérle le tbleu d mortssemet se présete comme sut : Cptl Itérêt Cptl restt Pérode dû u début de l Amortssemet Auté dû e f de pérode pérode de pérode 1 C 0 I 1 = C 0 M 1 1 = C 0 + M 1 C 1 = C 0 M 1 2 C 1 I 2 = C 1 M 2 2 = C 1 + M 2 C 2 = C 1 M 1 p C p 1 I p = C p 1 M p p = C p 1 + M p C p = C p 1 M p C 1 I = C 1 M = C 1 + M C = C 1 M Avec : C 0 I p : le cptl empruté sot le mott de l dette. : térêt de l p ème pérode. M p : mortssemet de l p ème pérode. p C p : uté de l de l p ème pérode. : cptl restt dû e f de l p ème pérode Remrques Le tbleu précédet est vlble quelle que sot l lo d utés pour lquelle ous vos formulé ucue hypothèse.

39 3 Mthémtques fcères 39 Après le pemet du ème mortssemet M, le cptl restt dû est égl à zéro : C = C 1 M = 0 sot M = C 1 doc l dette o remboursée vt le pemet de M est égle à M. Le cptl C étt ul, l e résulte uss que = C 1 + M = C 1 + C 1 sot = C 1 (1 + ) c est-à-dre l derère uté est égle u derer mortssemet ugmeté de ses térêts. Relto etre le cptl empruté et les mortssemets Les mortssemets servet à rembourser l dette doc leur somme est égle u cptl empruté : C 0 = M 1 + M M (3.1) Relto etre les utés et les mortssemets Formos l dfférece etre deux utés cosécutves de rg quelcoque p+1 et p : p+1 p = C p + M p+1 (C p 1 + M p ) Or, o l relto suvte : C p = C p 1 M p E remplçt ds l églté c-dessus C p pr s vleur, ous obteos : p+1 p = C p 1 M p + M p+1 C p 1 M p ce qu ous doe p+1 p = M p+1 M p (1 + ) (3.2) Cette formule est vlble quelle que sot l lo d utés. S les utés sot costtes, l égltés p+1 p etrîe : M p+1 = M p (1 + ) ce qu ous permet d éocer l proprété suvte : Proposto 3.1 S les utés sot costtes, les mortssemets successfs formet ue sute géométrque (M ) crosste de rso (1 + ). Ds ce cs, l est téresst de revor l formule (3.1) dot ue relto etre le cptl empruté et les mortssemets : C 0 = M 1 + M M = M 1 + M 1 (1 + ) + M 2 (1 + ) A 1 (1 + ) 1

40 3 Mthémtques fcères 40 Il s gt de l somme de terme d ue sute géométrque de premer terme M 1 et de rso (1 + ). Nous obteos: ou ecore C 0 = M 1 (1 + ) 1 M 1 = C 0 (1 + ) 1 s, o clculer le premer terme M 1 de l sute géométrque (M ). S les mortssemets sot costts, chcu d eux est égl à : (3.3) (3.4) L formule (3.1) doe : C 0 p+1 p = C 0 C 0 (1 + ) = C 0 ce qu ous permet d éocer l proprété suvte : Proposto 3.2 S les mortssemets sot costts, les utés successves formet ue sute rthmétque décrosste de rso C 0. Relto etre les utés et le cptl empruté L premère lge du tbleu de bse ous doe : C 1 = C 0 M 1 et 1 = C 0 + M 1 d où ous obteos : C 1 = C 0 ( 1 C 0 ) = C 0 (1 + ) 1 De l même mère, de l deuxème lge, ous tros: C 2 = C 1 ( 2 C 1 ) = C 1 (1 + ) 2 E remplços C 1 pr s vleur obteue plus hut, l vet : C 2 = C 0 (1 + ) 2 1 (1 + ) 2 De proche e proche, ous obtedros successvemet : C 3 = C 0 (1 + ) 3 1 (1 + ) 2 2 (1 + ) 3 C 4 = C 0 (1 + ) 4 1 (1 + ) 3 2 (1 + ) 2 3 (1 + ) 4 C 5 = C 0 (1 + ) 5 1 (1 + ) 4 2 (1 + ) 3 3 (1 + ) 2 4 (1 + ) 5

41 3 Mthémtques fcères 41 et flemet C = C 0 (1 + ) 1 (1 + ) 1 2 (1 + ) 2 3 (1 + ) 3 1 (1 + ) or C = 0. D où l relto : C 0 (1 + ) = 1 (1 + ) (1 + ) (1 + ) (1 + ) + (3.5) ou e multblos les deux membres de l églté pr (1 + ) : C 0 = 1 (1 + ) (1 + ) (1 + ) (1 + ) ( 1) + (1 + ) (3.6) Ces deux formules trduset l équvlece etre l somme emprutée C 0 et les utés du servce de l emprut ctulsées u tux. L premer églté (3.5) trdut l équvlece à l époque, l deuxème églté (3.6) trdut l équvlece à l époque 0. C Les formules (3.5) et (3.6) sot vlbles quelle que sot l lo d utés. S les utés sot costtes de vleur commue, l formule (3.5) devet : C 0 (1 + ) = (1 + ) 1 + (1 + ) 2 + (1 + ) (1 + ) + le deuxème membre de l églté représete l somme de premers termes d ue sute géométrque de premer terme et de rso (1 + ). D où : C 0 (1 + ) = (1 + ) 1 Multplos les deux membres de l églté pr (1 + ), ous obteos: 1 (1 + ) C 0 = (3.7) Cette derère expresso trdut l églté de C 0 à l somme ctulsée de utés costtes de f de pérode. L formule suvte obteu de l précédete permet l obteto de l uté costte à prtr du cptl empruté C 0 : = C 0 1 (1 + ) (3.8)

42 3 Mthémtques fcères 42 Remboursemet e ue seule fos Le remboursemet du cptl d u emprut s effectue e ue seule fos, à l f du cotrt. Le mott de l térêt (I) versé à chque échéce, prévue pr le cotrt, est égl u mott empruté multplé pr le tux d térêt. L stuto se présete comme sut: C 0 I I I I I C 0 + I Le tbleu d mortssemet se présete comme sut : Cptl Itérêt Cptl restt Pérode dû u début de l Amortssemet Auté dû e f de pérode pérode de pérode 1 C 0 I 1 = I = C 0 1 = I C 1 = C 0 2 C 0 I 2 = I = C 0 2 = I C 2 = C 0 1 C 0 I 1 = I = C 0 1 = I C 1 = C 0 C 0 I = I = C 0 C 0 = I + C 0 C = 0 U emprut de vleur C est remboursble à l f de l 10 ème ée. L empruteur s egge à verser à l f de chque ée l térêt I de l dette u tux de % l. Motrer que juste près le p ème versemet l dette est toujours l même (vec 1 p < 10). O I = C. Le solde S p à l époque p est l dfférece etre l vleur cquse du cptl empruté (débt) et l vleur cquse des dfférets versemets effectués vt l époque p (crédt). Sot : S p = C(1 + ) p I (1 )p 1 = C (1 + ) p C (1 + )p 1 = C Remboursemet pr utés costtes Sot C 0 le cptl tl et le tux d térêt. Ds le cs du remboursemet pr utés costtes, l somme de l térêt de l pérode et de l mortssemet est ue costte. Pour costrure le tbleu d mortssemet o peut procéder de deux fços dfféretes : O clcule d bord l uté pr l formule (3.8). Pour l premère lge, o clcule l térêt I 1 = C 0, pus le premer mortssemet M 1 = I 1. Esute, o dédut le premer mortssemet du cptl tl (C 0 M 1 ). Nous dsposos ujourd hut de l vleur de l dette u début de l deuxème pérode (C 1 = C 0 M 1 ), ce qu ous permet d etmer l deuxème lge et s de sute... Cptl Itérêt Cptl restt Pérode dû u début de l Amortssemet Auté dû e f de pérode pérode de pérode 1 C 0 I 1 = C 0 M 1 = I 1 C 1 = C 0 M 1 2 C 1 I 2 = C 1 M 2 = I 2 C 2 = C 1 M 2