Les calculatrices sont autorisées

Transcription

1 Les calculatrces sot autorsées NB : S u caddat est ameé à repérer ce u peut lu sembler être ue erreur d éocé, l le sgalera sur sa cope et devra poursuvre sa composto e expluat les rasos des tatves u l a été ameé à predre PROBLEE Notatos et déftos Das tout le problème, et p désget deux eters aturels o uls p, ( C) des matrces à lges et p coloes à coeffcets complexes ( C) désge l esemble désge l esemble des matrces carrées d ordre à coeffcets complexes I désge la matrce detté d ordre L esemble des eters comprs etre et sera oté, O appellera matrce coloe d ordre toute matrce complexe à lges et coloe s, C est l esemble des matrces coloes d ordre, Sot ( ) ue sute de matrces de p, ( C) Pour, et j p, o appelle [, ] coeffcet sur la -ème lge et la j-ème coloe de la matrce B B j O dra u ue telle sute ( ) coverge vers la matrce ( [ ]),, j, p,lm [, j] = B[, j] = de ( C), j p p, j le lorsue : O otera das ce cas B = lm Par exemple, s o pose pour tout eter >0 : alors :, = cos [ ] cos e =, +, [, ] = e, [, ] =, [, ] = et lm + 0 = /7

2 Prélmare O déterme das ce prélmare tros résultats u serot utles pour les uestos 6 et 7 de la parte I Pour la uesto P, le détal des calculs devra fgurer sur la cope Pour les uestos P et P3, o pourra fare usage de la calculatrce et e metoer ue les résultats termédares utles O déft les tros matrces, et 3 par : = 6 7 0, 3 6 = (où = ) et 3 = P Doer les valeurs propres de et justfer ue est dagoalsable P Doer les valeurs propres de et justfer ue est dagoalsable P3 Justfer ue 3 est dagoalsable, et doer ue matrce versble P, ue matrce dagoale D telles ue P P= D Détermer P 3 Parte I Gééraltés sur les sutes matrcelles Etude du cas dagoalsable Soet S et T deux matrces de ( C) p, ( C) p, et soet ( ) V et ( W ), deux sutes de matrces de covergetes respectvemet vers les matrces S et T, et sot λ C Prouver alors ue la sute ( +λ ) V W N coverge vers S+λT Sot r u eter aturel o ul et : ( ) ( ) V ue sute de matrces de ( C), covergete vers S ; p, W ue sute de matrces de ( C) Prouver alors ue la sute ( VW ) est covergete vers ST 3 Sot B ue matrce de ( C) ( C) ( P P), covergete vers T pr, Dédure du I ue s ( ) est ue sute de matrces de, covergete vers B, et s P est ue matrce versble d ordre, alors la sute P BP coverge vers Prouver égalemet ue s et Y sot deux matrces coloes d ordre, alors la sute de matrces coloes ( + Y) coverge vers B + Y N /7

3 4 O suppose, das cette uesto 4 seulemet, ue est ue matrce carrée dagoale d ordre, de coeffcets dagoaux λ,, λ (u peuvet être complexes) : Pour, λ 0 = ( 0) λ désge la -ème pussace de : O s téresse alors à la sute 4 Prouver ue s pour tout, sa lmte? 4 Prouver ue s l exste, 0 = I N = +, des pussaces de o a tel ue λ <, alors la sute λ >, alors la sute coverge Quelle est e coverge pas 43 Sot λ u ombre complexe de module tel ue la sute de ombres complexes ( λ ) coverge vers u ombre complexe z 43 Justfer ue z E remaruat ue la sute ( λ ) coverge auss vers z, motrer ue λ= E dédure ue la sute de matrces,,( ou ) 5 otrer ue s ( C) vérfe λ<, alors la sute coverge, s et seulemet s : λ < λ = est ue matrce carrée dagoalsable, dot chaue valeur propre λ coverge vers la matrce ulle 6 Détermer s les sutes de matrces ( ), ( ) et ( 3 ) coverget et doer leurs lmtes évetuelles (les sot les tros matrces défes das la parte prélmare) O pourra fare usage de la calculatrce 7 Les résultats de cette uesto 7 e sot pas utlsés das la sute du problème 7 Sot ue matrce carrée dagoale d ordre, de coeffcets dagoaux λ,, λ otrer ue la sute de matrces ( S ) défe par : k S = a ue lmte, otée k = 0 k! exp ( ), u o détermera 3/7

4 7 otrer ue s est ue matrce carrée dagoalsable avec matrce dagoale (d ordre ) et GL S k! P C, alors la sute k k = 0 = PDP, où D est ue défe par S exp, et ue : exp Pexp ( D) P = 73 Calculer exp ( 3 ) où 3 est défe das le prélmare (o pourra utlser la calculatrce pour fare certas produts matrcels) Parte II Sutes arthmétco-géométrues matrcelles Etat doées ( C) et B ( C) coloes d ordre par :,, o déft par récurrece ue sute ( ) est ue matrce coloe doée d'ordre = + B 0 N, + O suppose de plus ue est pas valeur propre de otrer ue I est versble Démotrer u l exste ue uue matrce coloe S, telle ue S + B = S de matrces 3 Prouver alors ue : N, = S + S 0 4 E dédure ue s est dagoalsable et s toutes les valeurs propres λ de vérfet λ <, alors : lm = S Parte III pplcato à la dffuso de la chaleur das ue tge O cosdère, das cette parte, ue tge homogèe découpée e + petts segmets de logueurs detues, umérotés de 0 à /7

5 O suppose les segmets assez petts pour cosdérer la température comme costate sur chacu d etre eux à u stat doé O appelle F( k, t ) la température à l stat t 0 du segmet k 0, + O fat les hypothèses suvates : uméroté k avec près u tervalle de temps τ > 0 (caractérstue de la logueur des segmets et de la matère de la tge) la température à l stat t+τ, d u segmet autre ue les deux segmets extrêmes, a pour température la moyee des températures à l stat t des deux segmets adjacets : + t R, k,, F( k, t+τ ) = F( k, t) + F( k+, t) Le segmet uméroté 0 est mateu à la température de 0 C et le segmet uméroté + est mateu à la température de 00 C : + t R, F 0, t = 0 et F +, t = 00 ( ) O suppose ef u à l stat 0 le segmet uméroté + est à la température de 00 C et ue tous les autres sot à la température de 0 C : k 0,, F( k, 0) = 0 F( +, 0) = 00 Doer ue matrce carrée d ordre, et ue matrce coloe B ( C) ( +τ) F, t F, t + t R, = + B F(, t+τ) F(, t) Pour, o déft la matrce coloe par : tels ue :, (, τ) F = F(, τ) Justfer alors ue pour tout eter aturel o a : + = + B 3 O suppose = 4 das cette uesto 3 Ecrre das l u des lagages de calcul formel du programme (PLE ou THETIC par exemple) ue procédure permettat de calculer e focto de O duera le lagage utlsé 3 Doer, à l ade de la calculatrce, ue valeur umérue de 0 O doera le résultat avec ue précso de 0 - sur chaue coordoée 4 Sot R O ote U la matrce coloe : 5/7

6 4 Prouver ue : U = 0 s( ) = 0 O supposera par la sute ue s( ) 0 U ( ) ( ) s s = s( ) 4 otrer ue s λ est u réel tel ue U U = λ, alors cos λ = 43 Récprouemet, doer les valeurs de ] 0, π [ pour lesuelles U cos = U 44 E dédure ue est dagoalsable et doer ue matrce versble P GL matrce dagoale D ( R), telles ue P P= D Justfer ue les valeurs propres de apparteet à ]-,[ R et ue 5 l ade de la parte II, justfer u l exste ue uue matrce coloe S telle ue S = S+B, pus ue lm = S Quelle terprétato physue pouvez-vous doer de S? 6 Détermer explctemet S Iterprétez le résultat Parte IV Etude de la sute des pussaces d ue matrce réelle désge, pour toute la sute, ue matrce carrée réelle d ordre O appelle (E,,E ) la base caoue de ( R) O mut ( R), orme de la matrce coloe Y O otera ue t de so produt scalare usuel ; o ote, x = x et = Y ( t désge la trasposée de ) = x la = Y le produt scalare des matrces coloes et Y otrer ue la sute ( ) coverge s et seulemet s pour tout k,, la sute ( E k ) de matrces coloes coverge O pourra trodure les coloes,, E dédure ue la sute, ( R) la sute de matrces coloes ( ) 3 Démotrer ue : C C de la matrce coverge s et seulemet s pour toute matrce coloe coverge 6/7

7 3 S l exste k [ 0, [ tel ue ( R) vers la matrce ulle O pourra établr ue ( R) k,,, alors la sute,,, k 3 S l exste k ], + [ tel ue ( R) coverge pas k 4 Pour toute matrce coloe ( R), o pose ( ) coverge,,, alors la sute e, ϕ = Sot g l edomorphsme assocé à t otrer ue : R ϕ t t = = g,, 5 Justfer ue t est semblable à ue matrce dagoale dot les coeffcets dagoaux serot otés λ,,λ 6 Prouver u l exste ue base orthoormale B=(u,,u ) de ( R) vecteur de coordoées (y,,y ) das B o at : ϕ ( ) = λy E dédure ue les λ sot tous postfs ou uls = de sorte ue pour tout 7 O pose désormas k 0 = λ m et k = maxλ Prouver à l ade de la uesto 3 ue : 7 S k <, alors la sute 7 S k 0 >, alors 8 O repred la sute ( ), coverge vers la matrce ulle e coverge pas défe das la parte II, et o suppose ue k < otrer ue est pas valeur propre de et ue pour tout eter o a : 0 S k S 9 O repred les otatos de la parte III, avec = 4 Détermer à l ade de la majorato cdessus u eter 0 tel ue pour 0 o at S E dédure ue pour 0 et pour tout, o a k (, ) k résultat S F k τ S + (les S k désget les coordoées de S) Iterpréter ce k F de l éocé 7/7