CHAPITRE III PROBABILITES

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1 HAPITRE III PROBABILITES I re B math I chatre III Probabltés Table des matères OURS A) Aalyse combatore ) Les trages au sort ) Trages avec ordre et avec réétto. 3 3) Trages avec ordre et sas réétto. 4 4) Trages sas ordre et sas réétto. 6 5) Trages sas ordre et avec réétto. 8 6) Prorétés du ombre B) Los de robablté 9 ) Varables aléatores. ) Lo bomale 4 EXERIES

2 I re B math I chatre III Probabltés OURS e cours fasat sute au cours de «Probabltés» de la classe de II e B, chatre V, l est vvemet recommadé de commecer ar révser ce derer! A) Aalyse combatore E classe de e ous avos vu que das le cas de l équrobablté la robablté d u évèemet est doé ar la formule de Lalace : «ombre de cas favorables sur ombre de cas ossbles». Pour alquer cette formule l faut doc être à même de comter ces cas «favorables» ou «ossbles», ce qu devet très vte ue tâche assez dffcle Le but de «l aalyse combatore» est de déveloer des techques de «déombremet» qu ermettet de comter les élémets de certas «grads» esembles. ) Les trages au sort La luart des exéreces aléatores euvet être terrétées comme des trages au sort de boules d ue ure qu e cotet. Exemle La questo : «Das ue course de chevaux avec 0 artcats, de combe de faços eut-o arer sur les tros remers?» eut être reformulée de la maère suvate : «De combe de faços eut-o trer 3 boules d ue ure qu e cotet 0?» Il y a deux crtères our dstguer ces trages au sort : o L ordre s l ordre das lequel o tre les boules est rs e cosdérato, o dt que c est u «trage avec ordre», so o arle d u «trage sas ordre». o La réétto s o remet chaque boule trée das l ure avat de trer la suvate, o eut trer luseurs fos la même boule : o arle alors d u trage avec réétto ou avec remse. Das la cas cotrare o arle d u trage sas réétto ou sas remse. - -

3 I re B math I chatre III Probabltés Il y a doc quatre sortes de trages au sort : o Trages avec ordre et avec réétto (OR) o Trages avec ordre et sas réétto (OR ) o Trages sas ordre et sas réétto (OR ) o Trages sas ordre et avec réétto (OR ) ) Trages avec ordre et avec réétto Exemle : ombe de ombres à deux chffres eut-o former avec les chffres, et 3? (e d autres termes : de combe de faços eut-o trer deux boules d ue ure qu e cotet tros umérotées de à 3, avec ordre : re boule trée = chffre des dzaes, e boule trée = chffre des utés, et avec réétto (ou remse), le chffre des dzaes et des utés ouvat être le même?) Réose : 9 ombres :,, 3,,, 3, 3, 3, 33 Rasoemet : our le chffre des dzaes o a 3 ossbltés :, ou 3 our le chffre des utés o a égalemet 3 ossbltés :, ou 3 au total o a doc 3 3 = 9 ossbltés Justfcato Pourquo 3 3 = 9 et o as = 6 ossbltés? be Pour comredre ourquo das ce gere de stuato l faut multler et o as addtoer our obter le total, l faut cosdérer le dagramme arbre c-cotre : e - 3 -

4 I re B math I chatre III Probabltés as gééral O fat u trage OR de boules d ue ure qu e cotet : Nombre de ossbltés our trer la re boule : Nombre de ossbltés our trer la e boule : (car remse!) Nombre de ossbltés our la e boule : Total : Défto = (dagramme e arbre!) U trage avec ordre et avec remse OR de objets arm est aelé arragemet à réétto de objets rs à. Le ombre de ces trages est oté B Nous veos de motrer que :, N B = * 3) Trages avec ordre et sas réétto Exemle : ombe de ombres à deux chffres dfférets eut-o former avec les chffres,, 3 et 4? (e d autres termes : de combe de faços eut-o trer deux boules d ue ure qu e cotet quatre umérotées de à 4, avec ordre : re boule trée = chffre des dzaes, e boule trée = chffre des utés, et sas réétto ou remse, les chffres des dzaes et des utés devat être dfférets?) Rasoemet : our le chffre des dzaes o a 4 ossbltés :,, 3 ou 4 our le chffre des utés o a lus que 4 = 3 ossbltés usqu o e eut lus trer la boule qu vet de sortr! au total o a doc 4 3 = ossbltés - 4 -

5 I re B math I chatre III Probabltés as gééral O fat u trage OR de boules d ue ure qu e cotet. Il est tout d abord évdet que our qu u tel trage exste, l faut que. Défto Nombre de ossbltés our la re boule : Nombre de ossbltés our la e boule : (car as de remse!) Nombre de ossbltés our la 3 e boule : ( ) = Nombre de ossbltés our la e boule : ( ) Total : ( ) ( ) ( + ) = + (dagramme e arbre!) U trage avec ordre et sas remse OR de objets arm est aelé arragemet de objets rs à. Le ombre de ces trages est oté Nous veos de motrer que : 0 s > ( ) ( ) ( ) s *, N A = + A as artculer : = U tel trage (o tre toutes les boules de l ure das u certa ordre) revet à rager les boules de l ure das u certa ordre : o dt qu o a fat ue ermutato des objets de l ure et ( ) ( ) Défto Le ombre ( ) ( ) 3 ( our ) A = 3. est aelé factorelle et est oté!.pour des rasos exosées lus bas o ose : 0! =! =, d où : Exemles o 5! = 0 ;.. 0! = 8800 ;! = = s s > 64 50! 3, ; 57 00! 9,

6 I re B math I chatre III Probabltés o Il y a 5! ossbltés our lacer 5 ersoes sur 5 chases. E suosat qu u ordateur très ussat «réalse» 00 mllards ( 0 ) de tels lacemets ar secode, l aurat beso our fr so traval de : Autre otato our A : o our < : 5! ,5 0 A o ( ) ( ) aées! ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +! = = (*)! ( ) ( ) ( ) A = + = = =! Doc la formule (*) marche our = s et seulemet s :!!!!!! =! = = ( ( )) o ( ) ( ) ( ) A = + = =! Doc la formule (*) marche our ( ) = s et seulemet s :!! =! =! 0! =! 0! o As o a osé 0! =! = our ouvor écrre: A =!! ( ) 4) Trages sas ordre et sas réétto Exemle : le loto O tre 6 boules d ue ure qu e cotet 49 (umérotées de à 49) sas cosdérer l ordre das lequel elles ot été trées et sas remse (o e eut as trer deux fos le même ombre). Sot x le ombre de trages ossbles : à chacu de ces trages (.ex ) o eut assocer 6! trages avec ordre (e ermutat ces 6 élémets), doc 6 6 A49 49! x 6! = A49 x = x =. As l y a 6! 43!6! faços de remlr ue grlle de loto!

7 I re B math I chatre III Probabltés as gééral Sot x le ombre de trages OR de boules d ue ure qu e cotet (avec ). E ermutat les boules d u tel trage, o obtet! trages OR. D où : Défto A! x! = A x = x =!!! ( ) U trage sas ordre et sas remse OR de objets arm (avec ) est aelé combaso (sas réétto) de objets rs à. Le ombre de ces trages est oté ou. Nous veos de motrer que : =!!! ( ) S > l y a aucue ossblté de trer objets arm sas réétto, doc o ose : > = 0. Das l éumérato des élémets d u esemble l ordre e joue as de rôle doc u trage OR eut être cosdéré comme u sous-esemble de élémets d u esemble de cardal. Par coséquet : = ombre de sous-esembles de élémets d'u esemble à élémets Exemles : 3 5! 5 = = 0,!3! 4 9! 9 = = 6, 5!4! 7! 7 = = 7, 6!! 0 39! 39 = =, etc. 39!0! - 7 -

8 I re B math I chatre III Probabltés 5) Trages sas ordre et avec réétto (hors rogramme) Exemle O chost 6 eters arm 4 eters a, b, c et d et o fat leur somme. ombe de résultats dfférets eut-o as obter au lus (s o chost.ex. a =, b = 0, c = 00 et d = 000 toutes les sommes calculées sot dfféretes, mas o vérfe faclemet que our d autres chox,.ex. a =, b =, c = 3 et d = 4, certaes sommes sot égales!)? omme l ordre des termes d ue somme e joue aucu rôle, cec revet à comter le ombre de trages OR de 6 ombres arm les eters a, b, c et d. Das u tel trage, la seule chose qu morte est le ombre de fos que chacu de ces eters a été tré. O eut doc reréseter ces trages de la maère suvate : u u u 3 u 4 où u (resectvemet u, u 3 et u 4 ) est le ombre de fos que l eter a (resectvemet b, c et d) est tré, avec 4 u = 6. = Ou ecore : u "0" u "0" u 3 "0" u 4 "0", autremet dt u trage eut être reréseté ar ue sute das u certa ordre de 6 «0» et de 4 = 3. Par exemle sgfe qu o a tré 3 fos le a, aucue fos le b, fos le c et fos le d. Das ue telle sute de = 9 symboles l faut chosr 6 laces our mettre les «0» (les 3 laces restates sot occuées ar des ), c est-à-dre das l esemble des 9 laces dsobles l faut chosr u sous-esemble de 6 laces our mettre les «0», ce qu eut se fare de dfféretes. as gééral Désgos ar 6 9! 9 = = 84 maères 3!6! D le ombre de trages OR de objets arm. D arès ce qu récède, u tel trage eut être reréseté ar ue sute de «0» et de, doc D est égal au ombre de sous-esembles de élémets (les laces our les «0») d u esemble de + élémets (usqu e tout l y a + symboles das ue sute), d où : D =

9 I re B math I chatre III Probabltés 6) Prorétés du ombre a) N = = 0 0!! E effet = 0!0! =! =! et = = = =.!! 0! ( ) ( ) O aurat u dre auss qu u esemble de élémets a sous-esemble de 0 élémet (l esemble vde) et sous-esemble de élémets (l esemble lumême!). b) N = = E effet ( ) ( ) ( )!! = = =!!! et! = =.!! ( ) c) ( ), N avec = E effet!!! = = = =!!!!!! ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).ex. =, =, etc d) Tragle de Pascal (Blase Pascal, mathématce, hysce, hlosohe et théologe, 63-66, u des tateurs du calcul des robabltés) ( ), N avec + = (*) démostrato : ( )! ( + )!( )! ( )! ( )!! ( )! ( )( )! ( ) ( ) ( )( ) ( )! ( )!! ( )( )! ( )!! ( )! + ( )( )! ( )!! ( )! + ( ) ( )!! ( )!! ( )!! ( )!! + = + = +!!!! = + = = = = = - 9 -

10 I re B math I chatre III Probabltés Dressos u tableau avec les valeurs des : o Les lges et les coloes sot umérotées :0,,, 3, etc. o se trouve à l tersecto de la -ème lge et de la -ème coloe o d arès la rorété a) la remère coloe et la dagoale du tableau serot remles de o au-dessus de la dagoale l y a que des 0 car s > doe ue forme «tragulare» à ce tableau = 0, ce qu o our les autres valeurs o utlse la formule (*) our calculer rogressvemet : = + = + =, 0 4 = = 6, 3 4 = 3 + = 4, 3 = + = 3, 5 = + 4 = 5, 3 = + = 3, 4 = + 3 = 4, 5 = = 0, etc Exercces 6-0 -

11 I re B math I chatre III Probabltés e) Bôme de Newto Soet a, b R, alors ous savos que : ( ) a + b = a + ab + b et ( ) a + b = a + 3a b + 3ab + b et ous costatos que les coeffcets des exressos des membres drots de ces égaltés sot les ombres des 3 e et 4 e lges du tragle de Pascal : ( ) 0 a + b = a + ab + b et ( ) a + b = a + a b + ab + b Formulos l hyothèse que our tout * N o a : ( ) a + b = a b + a b + a b + + a b + + a b = = 0 a b (*) et démotros-la ar récurrece : our = : ( ) 0 a b a b a b + = + = + doc (*) est be vérfée! suosos que (*) est vérfée our et motros qu alors elle l est auss our + : ( a + b) + ( a b) ( a b) ( a b a b a b a b a b )( a b) = + + = = a b + a b + a b + + a b + a b + a b + + ab + a b ( ) ( ) ( ) = a b + + a b + + a b ab + a b! = a b + a b + a b + + ab + a b La formule (*) est doc vrae our tout aelée formule du bôme de Newto. Exercces 7 35 B) Los de robablté ) Varables aléatores * N et our tous les réels a et b : elle est Sot Ω l esemble des évetualtés lées à ue exérece aléatore et : Ω [ 0,] la robablté assocée à cette exérece. Exemle U dé est jeté deux fos de sute : - -

12 {( x, y ) / x est le résultat du er jet et y celu du e jet} Ω =, Ω = l équrobablté : ( x, y) ( ( x, y) ) I re B math I chatre III Probabltés # Ω = 6 = et est Il arrve alors souvet qu o assoce à chaque élémet de Ω u certa ombre réel ar ue alcato aelée varable aléatore et otée X, Y, Z,. Exemles X : Ω R E rereat l exemle récédet o eut, ar exemle : o s téresser à la somme des deux résultats obteus : X : Ω {, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,, } avec ( ) (( )) x, y Ω X x, y = x + y o fare u jeu : s j obtes deux fos le même résultat je gage 0, so je erds. 0 s x = y Ω = s x y Y : Ω { 0, } avec ( x, y) Y( ( x, y) ) omme ous e cosdéros que les Ω fs das ce cours, ue varable aléatore e eut redre qu u ombre f de valeurs que ous oteros x. La robablté qu ue varable aléatore X ree la valeur calculat our toutes les valeurs de la varable aléatore X. Exemles E rereat les exemles récédets : o our la v.a. X : x sera otée ( ) X = x =. E x ossbles, o déft la lo de robablté x Il sufft de regarder our combe d évetualtés chaque somme x est obteue. o our la v.a. Y : x 0 6 = = 6 - -

13 I re B math I chatre III Probabltés E dessat les ots de coordoées ( ) x, das u reère orthogoal et e relat ces ots ar des segmets, o obtet le olygoe de robablté de X. Rael : Moyee arthmétque odérée o Exemle Mare a eu 43 e mathématques, 38 e fraças et 5 e géograhe. alculez sa ote moyee sachat que ces otes sot «odérées» ar les coeffcets 4 our les mathématques, 3 our le fraças et our la géograhe moyee = = , E otat x = 43, 4 3 =, x = 38, =, x3 = 5 et 3 =, o a : moyee = x + x + x = x avec o as gééral 3 3 = Soet ( x ) = ombres réels quelcoques et ( ),,..., comrs etre 0 et et dot la somme vaut : moyee arthmétque odérée des ombres ( ) 3 3 = et =,,..., 0. = ombres réels =. Alors o aelle = x = le ombre x déf,,..., ar : x = x + x x = x = O aelle esérace mathématque de la v. a. X le ombre E(X) déf ar : ( ) x E X = D arès ce qu récède ce ombre E(X) est la moyee arthmétque odérée des valeurs x, chaque x état odéré ar sa robablté. L'esérace mathématque eut doc être terrétée comme la moyee arthmétque des valeurs x s o réétat l exérece ue fté de fos! Exemles E rereat les exemles récédets : o E(X) = = = = 7, ce qu sgfe que s o réétat l exérece ue fté de fos o obtedrat e moyee ue somme de

14 I re B math I chatre III Probabltés 5 5 E Y = 0 =, ce qu veut dre qu e moyee (e jouat u très o ( ) grad ombre de fos) o gage 5 6 ar «arte». S X est u jeu et : o E(X) > 0, o dt que ce jeu est favorable (au joueur). o E(X) < 0, o dt que ce jeu est défavorable (au joueur). o E(X) = 0, o dt que ce jeu est équlbré. O aelle varace de la v. a. X le ombre v(x) déf ar : ( ) = ( ) v X x E(X) est la moyee odérée des carrés des écarts des x ar raort à E(X). Le fat de redre les carrés de ces écarts ted à doer lus d mortace aux grads écarts et de mmser l mortace des etts écarts. La dserso des valeurs autour de E(X) est alors mesurée ar u ombre aelé écart tye déf ar : x ( X) v( X) σ = Exemles E rereat les exemles récédets : 35 6 o v(x) = ( 7) + ( 3 7) + + ( 7) = et ( ) 35 σ X =,4 6 o v(y) = 0 + = σ X = 4,0 et ( ) ) Lo bomale Ue éreuve de Beroull (famlle de mathématces susses du 8 e sècle) est ue exérece aléatore qu o o 'a que deux résultats ossbles qu o covet d aeler «succès» et «échec» qu o eut rééter défmet das les mêmes codtos O ote la robablté du succès et q= la robablté de l échec

15 I re B math I chatre III Probabltés Exemles o O joue à «le ou face» et o déft sot le sot face comme u «succès», alors = q = o O jette u dé o truqué et o déft le résultat «6» comme «succès», 5 tout autre résultat comme «échec», alors = et q = 6 6 E réétat ue telle exérece fos o a : {( u, u,,u,, u ) / u succès ou échec} Ω = = O aelle lo bomale la lo de robablté de la varable aléatore X : Ω R telle que X (( u, u,, u )) = ombre de succès das ( u, u,, u ) alcul de ( ) = X = our0 : o Sot ( u, u,, u ) Ω telle que (( )) X u, u,, u =, c est-à-dre ue évetualté qu comte «succès» et «échecs». ette évetualté eut être cosdérée comme l tersecto des évèemets défs ar : e A j : "obter u j à la j éreuve" avec ( A j) = q omme ces évèemets sot déedats, o a : j= 0 (( )) j ( j ) s u est u succès j s u est u échec u, u,, u = A = A = q j= 0 j o Or l y a ossbltés our chosr «emlacemets» our les «succès», les «emlacemets» restats état réservés our les «échecs». = X = = q = o D où : ( ) ( ) Remarque : = q = ( + q) = = (d arès la formule du bôme de Newto) = 0 = 0 Exemles (rerse des deux exemles récédets) o E jouat 30 fos à «le ou face» la robablté d obter 0 fos «face» vaut : ( ) X = 0 = = 0,

16 I re B math I chatre III Probabltés o E jetat 30 fos u dé o truqué la robablté d obter 0 fos u «6» vaut : ( ) X = 0 = = 0, alculos l esérace mathématque d ue lo bomale : = 0 = =, or our tout E(X) = = = q ( ) ( ) ( ) o a :!! ( )! = = = =!! ( )!! ( )!! = =, et e osat k E(X) = q = q k k k ( ), d où : E(X) = q = + q = = k= 0 E(X) =, d où : = l vet : Exemles (rerse des deux exemles récédets) o E jouat 30 fos à «le ou face» E(X) = 30 = 5 o E jetat 30 fos u dé o truqué E(X) = 30 = 5 6 alculos la varace mathématque d ue lo bomale : ( ) = ( ( )) = ( ) v X E X q = 0 = 0 q q q = 0 = 0 = 0 = + = = = ( ) = q E(X) + + q = q + = q + k= 0 k k k ( ) ( ) = k + q e osat k = k k k k k k k= 0 k= 0 = k q + q - 6 -

17 I re B math I chatre III Probabltés ( ) ( ) ( ) ( ) = + + q = + = + = = q Exemles (rerse des deux exemles récédets) o o v(x) = 30 = 7,5 et σ (X) = 7,5, v(x) = 30 = 4,7 et σ (X) = 4,7, Formulare our la lo bomale : ( X) ( ) ( ) = X = = q = E(X) = v(x) = q σ = q Exercces 50 EXERIES ) Avec les chffres de 0 à 9, combe eut-o former de ombres à 6 chffres (le remer chffre état be sûr dfféret de 0) : a) s o admet que ces ombres euvet coter luseurs fos le même chffre? b) s o veut que les 6 chffres d u de ces ombres soet à dfférets? ) ombe de laques d mmatrculato our les votures a-t-o s chaque laque a) est costtuée de lettres suves de 3 chffres? b) est costtuée de lettres suves de 4 chffres? c) est costtuée de lettres et de 3 chffres das u ordre quelcoque? 3) ombe y a-t-l de ombres à 4 chffres tel que le chffre des mllers sot mar, le chffre des cetaes strctemet féreur à 7, le chffre des dzaes ar et le chffre des utés suéreur ou égal à 4? - 7 -

18 I re B math I chatre III Probabltés 4) U lycée de 00 élèves (640 flles et 560 garços) et de 80 rofesseurs (7 femmes et 08 hommes) veut se doter d u cosel de 0 membres, 5 élèves et 5 rofesseurs. De combe de faços eut-o rocéder s a) o mose as de codto artculère? b) o veut que le cosel at autat de membres masculs que féms? c) o veut que le cosel at au mos 4 flles et au mos 4 membres masculs? 5) De combe de faços eut-o trer ue ma de 4 cartes d u jeu de 3 cartes coteat a) ro, dame et valets? b) 3 cartes ores? c) au mos trèfle? d) dames et cœurs? e) ue carte de chaque couleur? f) 4 cartes de même valeur? g) au mos ro et au lus 3 as? h) au mos ro et au lus as? ) des cartes de deux couleurs dfféretes? j) des cartes de tros valeurs dfféretes? 6) De combe de maères eut-o chosr délégués de atoaltés dfféretes arm 4 belges, 6 fraças et 8 aglas? 7) De combe de maères ue socété de 0 membres eut-elle chosr u groue de 3 ersoes our effectuer u voyage culturel.. a) s Madame Gamma refuse de artr avec Moseur Zète? b) s Mlle Alha et M. Bêta accetet de artcer au voyage que s ls sot esemble? c) s o est soums aux deux cotrates récédetes à la fos? d) mêmes questos s o veut costtuer u groue de 4 ersoes our le voyage. 8) P. a 5 lvres d algèbre, 3 lvres de géométre et 4 lvres d aalyse. a) De combe de maères eut-l les rager sur ue étagère de sa bblothèque? b) Même questo e les regrouat ar sujet. 9) De combe de faços eut-o rager 5 boules das 7 cases a) s les boules et les cases sot dscerables, chaque case e ouvat recevor qu ue seule boule? b) s les boules et les cases sot dscerables, chaque case ouvat recevor u ombre quelcoque de boules? - 8 -

19 I re B math I chatre III Probabltés c) s les boules sot dscerables, les cases sot dscerables, chaque case e ouvat recevor qu ue seule boule? d) s les boules sot dscerables, les cases sot dscerables, chaque case ouvat recevor u ombre quelcoque de boules? 0) Voc le la d ue vlle amércae, G état la gare et H u hôtel : haque bloc est u carré de 00 m sur 00 m. Quelle est la logueur mmale d u trajet qu va de la gare à l hôtel dqué? ommet faut-l se délacer sur ce quadrllage s o e veut as déasser cette logueur mmale? ombe de trajets dfférets y a-tl our aller de la gare à l hôtel sas fare de détour? ) De combe de faços eut-o dédoubler ue classe de 30 élèves a) e deux classes de 5 élèves? b) e deux classes de 5 élèves sachat que l ue aura M. Hcks comme ttulare tads que la ttulare de l autre sera Mme Ygrac? c) mêmes questos s o veut fare 3 classes de 0 élèves. ) Avec les 9 chffres dstcts de 0, combe eut-o écrre de ombres de 5 chffres dfférets a) qu se termet ar 7? b) qu se termet ar 3? c) qu comreet 4? d) qu e comreet as 9? e) qu e comreet que des chffres mars? f) qu comreet 5 mas as 6? g) qu comreet et 5 sous la forme 5? (,ex. 758, mas as 758) h) qu comreet et 5 das cet ordre? (.ex. 9475, mas as 9547) ) qu comreet et 5 das u ordre quelcoque? j) dot deux sot ars et tros mars? - 9 -

20 I re B math I chatre III Probabltés 3) Il y a = 8 rectagles ossbles sur u damer de dmesos 3 : ombe y e a t-l sur u damer m? 4) Au oker o dsose d u jeu de 3 cartes (4 couleurs : cœurs, carreaux, trèfles et ques et 8 valeurs : as, ro, dame, valet, 0, 9, 8, 7). alculez la robablté d obter ue ma de 5 cartes format : a) u full ( 3 cartes d ue valeur et autres d ue autre valeur,.ex. 3 as et valets) b) ue qute floche (5 cartes cosécutves d ue même couleur,.ex. 8, 9, 0, valet, dame, tous carreaux) c) ue couleur (5 cartes o cosécutves d ue même couleur,.ex. 7, 9, 0, valet, as, tous carreaux) d) ue qute (5 cartes cosécutves qu e sot as d ue même couleur,.ex. 8 de trèfle, 9 de carreau, 0 de que, valet de que, dame de cœur) e) u carré (4 cartes d ue même valeur et ue autre,.ex. 4 as et u 0) 5) D u jeu de 3 cartes o tre smultaémet cartes. Quelle est la robablté d obter : a) cartes rouges? b) ques? c) cartes de même couleur (arm les 4 couleurs)? d) ro et euf? e) cartes de valeurs dfféretes? f) valet et trèfle exactemet? g) ro ou que? 6) Rereez les questos de l exercce récédet s o tre successvemet cartes e teat comte de l ordre du trage, a) sas remse. b) avec remse de la remère carte avat de trer la deuxème

21 I re B math I chatre III Probabltés 7) O dstrbue à u joueur 3 cartes d u jeu de 5 cartes. alculez la robablté qu l at das sa ma : a) 5 ques, 3 trèfles, 4 carreaux et cœur. b) Au mos cœurs? c) Au lus 3 ros? d) Au mos as et set? 8) Ue commsso euroéee est formée de 0 membres : allemads, 6 oloas et hogros. E e chosssat au hasard, quelle est la robablté qu ls aet la même atoalté? 9) Das u vllage l y a 6 bstrots. Sx vllageos décdet, sas se cocerter, de asser la sorée das u des 6 bstrots. a) Quelle est la robablté our que les sx ersoes aet chos le même bstrot? b) Quelle est la robablté our qu au mos deux ersoes aet chos le même établssemet? 0) Pour l exame oral de géograhe, le rofesseur a réalsé 60 fches roosat chacue u aragrahe de la matère à révser. haque élève dot e trer 4 au hasard. Sachat que P. a révsé qu u ters du rogramme, quelle est la robablté our qu l : a) coasse les 4 sujets trés? b) e coasse aucu des 4 sujets trés? c) coasse 3 des 4 sujets trés? d) rate so exame? ) O lace 5 èces de moae. Quelle est la robablté d obter : a) exactemet 3 faces? b) au mos 3 faces? ) Das u sac l y a 9 boules umérotées de à 9. alculez la robablté de trer a) deux boules mares ) smultaémet ) successvemet (sas remse) b) ue are et ue mare ) smultaémet ) successvemet (sas remse) 3) O tre smultaémet 3 boules d ue ure qu cotet 5 boules rouges, 3 boules blaches et 7 boules ores. Quelle est la robablté d obter : a) boule de chaque couleur? - -

22 I re B math I chatre III Probabltés b) 3 boules de même couleur? c) boules rouges et boule d ue autre couleur? d) au mos boules ores? 4) Jouer au loto cosste à chosr 6 uméros arm 49. alculez la robablté d avor : a) les 6 bos uméros. b) 5 bos uméros et le uméro comlémetare. c) 5 bos uméros. d) 4 bos uméros. e) 3 bos uméros. 5) Ue tombola comred 000 bllets our lots gagats. Quel est le ombre mmal de bllets qu l faut acheter our que la robablté de gager sot suéreure à 0,5? 6) Ecrvez lus smlemet : a) 7! 7 b) 84! 84 c) ( + )! d) e) f) ( + 3 )! ( + )( + ) 00! 99! ( + )! ( )! 7) Déveloez les bômes suvats : a) ( a + b) 7 b) ( x + 3y) 4 c) x 3 + x d) x x 6 e) ( a b) 5 f) x x

23 I re B math I chatre III Probabltés 8) Quelle est la somme des coeffcets des déveloemets de 9) Sot E u esemble de élémets, où * N. (x + y), où a) ombe y a-t-l de sous-esembles de E à 0,,, 3, élémets? * N? b) Notos (E) l esemble des sous-esembles de E. alculez le cardal de cet esemble. c) Retrouvez ce résultat e utlsat u trage au sort be chos. 30) alculez le terme e x das 3x 6 a) ( ) 0 b) x das x 4 5 x 6 0 c) x das x ( x + 7) 8 3 d) t das 3t + t 3) alculez le(s) terme(s) mleu(x) das le déveloemet de : a) ( 3x + ) b) 4k k 3 c) y 7 3) Démotrez (et comlétez celles qu sot comlètes) les formules suvates où *, N : a) = b) ( ) = 0 3 c) d) e) f) g) h) = = ( + ) = 3 0 k = our k k k = 3 ( ) = ( avec R ) = 0-3 -

24 I re B math I chatre III Probabltés 33) alcule sachat que = ) a) Démotrez les formules d Euler suvates : x x cs(x) + cs( x) e + e ( ) x R cos x = = x x cs(x) cs( x) e e ( ) x R s x = = b) Alquez ces formules our léarser (c-à-d exrmer sas exosat) s x our =, 3, 4, 5. 35) Pour chacue des exressos suvates : a) ( + ) 5 déveloez e vous servat de la formule du bôme de Newto calculez e vous servat de la formule de Movre comarez les résultats cos x et b) ( ) 6 c) ( + 3) 4 d) ( 3 ) 5 ) Das le jeu de «le ou face» o gage s o obtet «le» et o erd s o obtet «face». hosssez ue varable aléatore X et calculez E(X), V(X) et σ (X). 37) Das ue ure l y a boules ores et 8 boules blaches. S o tre ue boule blache o gage 5, s o tre ue boule ore o erd 3. hosssez ue varable aléatore X et calculez E(X), V(X) et σ (X). 38) O jette u dé o truqué et o gage 5 s o obtet le 6, s o obtet le 4 ou le 5, o erd 3 s o obtet le ou le 3, et 4 s o obtet le. La varable aléatore X est défe ar le ga du joueur. alculez la lo de robabltés de X, E(X), V(X) et σ (X) et dessez le olygoe de robabltés de X. Le jeu est-l favorable ou défavorable au joueur? ombe devrat-l gager e obteat le 6 our que le jeu sot équlbré? 39) O jette u dé et s le ombre qu sort est remer, o gage autat d euros, so o erd le ombre d euros dqué ar le dé. hosssez ue varable aléatore X et calculez E(X), V(X) et σ (X). Amerez-vous jouer à ce jeu? Fates ue roosto our chager (auss eu que ossble!) la règle de ce jeu af qu l sot be équlbré! - 4 -

25 I re B math I chatre III Probabltés 40) O tre au hasard u échatllo de 3 artcles d ue boîte qu cotet 30 artcles, dot 7 sot défectueux. alculez l esérace mathématque du ombre d artcles défectueux auquel o eut s attedre. 4) U joueur lace ue èce o truquée fos de sute. Il gage s l obtet le fos. Quelle est la robablté qu l gage a) s = 4 et =? b) s = 8 et =? c) s = et = 3? 4) Ue ure cotet 7 boules blaches et 5 boules ores. a) O tre deux boules avec remse. Quelle est la robablté de trer deux boules de couleurs dfféretes? b) O tre 0 boules avec remse ) Quelle est la robablté de trer autat de ores que de blaches? ) Quelle est la robablté de trer 7 boules ores? ) Quelle est la robablté de trer au lus 5 boules blaches? 43) Lors d u exame u étudat se vot rooser 0 questos à chox multle : 4 réoses ar questo, dot ue seule correcte. L étudat, qu e s est as du tout réaré our l exame, chost les réoses etèremet au hasard. a) Quel résultat eut-l rasoablemet (mathématquemet) esérer? b) Quelle est sa robablté de réusste (au mos 5 sur 0)? 44) Ue èce est lacée 6 fos de sute et o chost la varable aléatore X : ombre de «face». a) Détermez la lo de robabltés de X. b) alculez (X < 3). c) Quel est le ombre de «le» eséré? d) alculez v(x) et σ (X). 45) U treur attet ue cble avec ue robablté de /3. a) S l tre 6 fos, quelle est la robablté qu l attege la cble au mos 3 fos? b) ombe de fos dot-l trer our que la robablté d attedre la cble au mos ue fos sot suéreure à 0, ? 46) La robablté d obter «le» avec ue certae èce mal équlbrée est de /3. O jette cette èce 4 fos et o cosdère la varable aléatore X : lus grad ombre de «le» successfs. alculez l esérace mathématque, la varace et l écart-tye de X

26 I re B math I chatre III Probabltés 47) Deux dés sot jetés smultaémet. La varable aléatore X est la dfférece ostve des chffres obteus ar les deux dés. a) Détermez la lo de robabltés de X. b) Tracez le olygoe de robabltés. 48) O cosdère u lot de èces dot 0% sot défectueuses. O chost u échatllo de 00 èces. Quelle est la robablté de trouver das cet échatllo au lus 0 èces défectueuses? 49) O suose qu l y a équrobablté d obter ue flle ou u garço. a) Quel est le ombre moye de flles das ue famlle de 0 efats? b) Quelle est la robablté our qu ue famlle de 0 efats at : u ombre de flles égal à cette moyee? exactemet 3 garços? au mos flles? 50) U aquarum cotet 6 ossos rouges à,5 la èce et 4 ossos jaues à la èce. U clet achète 3 ossos qu l sort au hasard de cet aquarum. La varable aléatore X désge le rx à ayer our les 3 ossos. a) Etablssez la lo de robablté de la varable aléatore X. b) alculez le rx moye E(X). c) alculez l écart-tye du rx ayé