Exercices sur la convexité

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1 églté de Pocelet Eercces sur l coveté Sot ue octo dée covee sur u tervlle = [ ; b] ( < b) à vleurs ds, de clsse C Démotrer que l o : b b b Étuder l coveté de l octo : l e E dédure que pour tout -uplet,,, ( ) de réels posts ou uls o : 3 Sot ue octo covee dée sur u tervlle = ] ; [ (, Démotrer que est lpchtzee sur tout tervlle J = [ ; b] clus ds dctos : O e et b ds tels que < < b < b Démotrer que pour tout couple ( ; y) d élémets de J tels que y, o : ' ' y b b ' y b b' Coclure 4 Sot u eter turel Démotrer que! E dédure que :! o 5 Sot : [ ; ] ue octo covee ) à vleurs ds Démotrer que l octo dée pr () = () + ( ) est décrosste sur ; et crosste sur ; 6 Sot et y deu réels quelcoques ds [ ; + [ y Comprer l et l l y ; précser le cs d églté 7 ) Démotrer que l somme de deu octos covees sur u tervlle est covee ) Détermer les octos à l os covees et cocves sur u tervlle o vde, o rédut à u sgleto 3 ) Sot ue octo e sur O suppose qu l este deu octos covees et g dées sur telles que l o t + g = Démotrer que et g sot es Sot ue octo covee sur, de clsse C sur ' ) O suppose qu l este u réel tel que Démotrer que présete u mmum globl e ) O suppose qu l este u réel strctemet post tel que '' Démotrer que présete u mmum globl sur dctos : Démotrer que E dédure lm ' ' ' Détermer de même lm ' Étblr que rélse ue bjecto de ds et coclure 9 Sot ue octo covee sur à vleurs ds ) O suppose que est mjorée u vosge de + Démotrer que est décrosste dcto : Rsoer pr l bsurde e cosdért deu réels et b tels que < b et () < (b) b Juster que pour tout réel > b, o : et étuder lm b ) O suppose que est mjorée u vosge de Démotrer que est crosste 3 ) Este-t-l des octos covees sur et mjorées? Sot ue octo covee o costte dée sur tervlle (o vde, o rédut à u sgleto) à vleurs ds O suppose que est dérvble sur et que dmet u etremum locl e u réel e dstct des etrémtés de Précser l ture de cet etremum Peut-o détermer l ture de cet etremum lorsque est ue etrémté de? Sot ue octo covee dée sur tervlle = [ ; b] ( < b) à vleurs ds ) Démotrer que ttet s bore supéreure e ou b ) Démotrer que s dmet u etremum locl e u réel de, lors dmet u mmum globl e

2 * Sot ue octo covee dée sur Démotrer que l octo g : dmet ue lmte L e + 3 Sot ue octo covee sur u tervlle (o vde, o rédut à u élémet) O,, j ) O ote C l représetto de ds le pl mu d u repère orthoormé Sot et deu réels quelcoques ds tels que < O ote A et B les pots de C d bscsses respectves et Étuder l posto de C pr rpport à l drote (AB) ) O suppose que = ] ; b[ où et b sot deu réels és tels que < b Démotrer que est morée sur 4 Démotrer que pour tout -uplet j j j dcto : Poser s,,, ( ) de réels strctemet posts o : t 5 O cosdère les octos : t t et g : t t ) ) Pr quelle trsormto du pl le grphe de g se dédut-l de celu de? b) Écrre ue relto smple etre g t et t ' ) Doer le tbleu de vrto de (O pourr étuder u ) 3 ) Étuder l cocvté de '' ' dctos : Pour t >, o écrr u vu v où u et v à détermer et o étuder les vrtos ' de u v et u v) 4 ) Représeter grphquemet les grphes de et g ds u même repère (uté : cm) 6 églté de Jese ) Sot ue octo cotue sur l tervlle = [ ; ] et ue octo covee cotue sur o et vec les sommes de Rem Comprer ) Sot h ue octo cotue sur l tervlle = [ ; ] à vleurs ds O pose A = h ( ) d ) Démotrer que l o : A h( ) d + A b) Quel est le cs d églté? c) O suppose que h est l dérvée d ue octo crosste de clsse Doer ue terprétto géométrque de l églté du ) t C dée sur [ ; ] à vleurs ds 7 Sot ue octo covee sur u tervlle o vde Sot,,, des réels quelcoques ds ( * ) Comprer et Sot ue octo covee dées sur O ote g l octo dée pr g e e Démotrer que g est covee * à vleurs strctemet postves, deu os dérvble 9 Sot ue octo covee dée sur tervlle = [ ; b] ( < b) à vleurs ds Démotrer que dmet u mmum sur ttet e ou b Sot ue octo dée sur O ote g et h les octos dées sur * à vleurs ds * pr ) Sot et b deu réels strctemet posts és O ote le tu de g e et b le tu e b de h g et h Démotrer que pour tout réel strctemet post, o : ) Démotrer que g est covee s et seulemet s h est covee Sot q ue octo cotue de telle que pour tout réel t, o t q(t) Démotrer que toute soluto o detquemet ulle de l équto déretelle ue os églté de Hölder y'' q t y s ule u plus ) Sot u et v deu réels posts Sot p et q deu réels strctemet posts tels que l o t : p q p q u v Démotrer que l o : uv p q ) Sot et g deu octos dées et cotues sur = [ ; ] à vleurs postves Démotrer que l o : p q p q g g dcto : pplquer le ) u octos u et v dées pr u p p et v g g q q

3 3 Sot ue octo covee de clsse C sur l tervlle [ ; + [ Démotrer que pour tout eter turel o : ( ) d ' ' 4 Détermer lm dcto : Utlser l coveté pour ecdrer cette somme 5 Sot et g deu octos de clsse () = g () et (b) = g (b) et pour tout [ ; b] Démotrer que l o : g C sur u tervlle [ ; b] où et b deu réels tels que < b vért g Questos de cours Lemme des petes (éocé et démostrto) Comprsos de moyees 3 Focto covee deu os dérvble sur u tervlle 4 Méthode des trpèzes 5 Méthode de Newto 6 Courbe u-dessus de ses tgetes 7 L dérvée d ue octo covee dérvble sur u tervlle est crosste sur cet tervlle Précser l octo pete de l octo crré (o se plce e u réel é) terpréter l églté trgulre comme églté de coveté

4 Solutos Corrgé 3 Utlser l crossce de l octo pete O utlse l coveté de l octo vleur bsolue sur 4 O utlse l cocvté de l octo l : l l l l 5 Fre ue gure (crossce de l octo pete) 6 Sot et y deu réels quelcoques ds [ ; +[ y y l est crosste sur ] ; +[ y Doc l l y y l l y D où l l l y l l y (cr y Doc l l l y l l y ) Autre ço : Hdddee Rbh le mrs y l l y y l l y l est covee doc l doc l l l y L derère églté provet de l comprso etre les moyees rthmétque et géométrque de deu ombres posts ou uls 7 ) covee doc covee doc cocve doc doc est costte sur (o utlse le t qu ue octo crosste et décrosste sur ue prte de, qu est ps écessremet u tervlle, est costte)

5 Doc est e sur 3 ) dée : = - g est covee et cocve doc est e 4 L églté qu l ut démotrer s écrt doc : s s s s s s s O pplque l églté clssque etre l moyee rthmétque et l moyee hrmoque u ombres s s s s s s s s s s s 6 ) ) Utlser l coveté de l octo sur c) L logueur d u rc de courbe est toujours supéreure ou égle à l logueur de l corde L logueur de l courbe est éreure ou égle à l somme des logueurs des segmets [AB] et [BC] vec A( ; ()), B ( ; ()), C( ; ()) (o le vot très sémet sur u pett grphque) ) Clculs ) g covee h covee 3 Démotros que pour tout eter turel o : ( ) d ' ' églté de guche : Méthode géérle églté de guche : Cosdérer l corde sur l tervlle [ ; + ] églté de drote : Cosdérer les tgetes u pots d bscsses respectves et + Pus cosdérer ( ) d et ( ) d vec les tgetes + ' e e e g ' e g " e e e ' e 4 O e dédut que g est covee e ' e 3 3 e '' e e e e '' e 4 O : ( ) d ( ) ( )

6 E écrvt toutes ces égltés pour =,,,,, o obtet : L tgete u pot d bscsse + pour équto : y = ( + ) ( ( + )) + ( +) ( ) d ( ) d () () () () C D '( ) ( ) ( ) '( ) ( ) 4 ( ) '( ) L re du trpèze est égle à : '( ) 4 ( ) O : ( ) d ( ) d ( ) ( ) E ddtot toutes ces égltés membre à membre, o obtet : ( ) d L églté de guche est doc démotrée ( ) ( ) '( ) '( ) O doc ( ) d E écrvt toutes ces égltés pour =,,,,, o obtet : ( ) d () () '() '() églté de drote : ( ) d () () '() '() + L tgete u pot d bscsse pour équto : y = () ( ) + () A ( ) B '( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) '( ) '( ) E ddtot toutes ces égltés membre à membre, o obtet : ( ) d '() '( ) Doc ( ) d ' ' '( ) ( ) '( ) 4 ( ) L re du trpèze est égle à : '( ) 4 ( ) O : ( ) d