ANALYSE. 4 ème année. 1.1 Calcul intégral 1

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1 ANALYSE ème ée. Clcul itégrl.. Le smole Σ.. Défiitios.. Propriétés de l itégrle défiie 7.. Le théorème fodmetl de l lse..5 Primitives..6 Méthodes d itégrtio prticulières *..7 Applictios du clcul itégrl 5..8 Ce qu il fut solumet svoir 9. Logrithmes et epoetielles.. L foctio logrithme turel.. Logrithmes e se quelcoque 5.. L foctio epoetielle 9.. Epoetielle e se quelcoque 5..5 Étude de foctios ep et log * Ce qu il fut solumet svoir 59. Équtios différetielles * 6.. Itroductio * 6.. Résolutio d équtios différetielles du er ordre * 6 Picchioe Serge -

2 .. Iterpréttio géométrique des équtios différetielles * 68.. Applictios u scieces epérimetles * 7. Solutios des eercices 76 Picchioe Serge -

3 AVANT-PROPOS Ce documet été coçu pour l eseigemet des mthémtiques dispesé u Collège de Geève e qutrième ée, e lse. Cel dit, il peut servir de support de cours pour d utres filières d eseigemet. Vous trouverez ds ce chpitre de l théorie (défiitios, théorèmes, démostrtios, etc.) et des eercices qui vous permettrot progressivemet de vous fmiliriser et de mîtriser les diverses ottios et cocepts mthémtiques. À l fi du chpitre se trouvet les solutios des eercices, des ctivités et des Q.C.M. à l eceptio de ceu fist iterveir des démostrtios. Les eercices ccompgés d u stérisque (*), sot des eercices supplémetires de développemet destiés, pr eemple, u élèves t choisi l optio, iveu vcé (MA). Pour mieu repérer les poits importts de l théorie, les défiitios sot ds u ecdré lc et les théorèmes ds u ecdré grisé. Pour vérifier votre iveu de compréhesio à l fi de l étude d u sous chpitre, vous pouvez vous référer u sectios : «Ce qu il fut solumet svoir» et «Questioire à choi multiples». Vous pouvez téléchrger ce documet u formt PDF à l dresse suivte : Pour fiir, u grd merci u collègues de divers étlissemets scolires qui ot prtgé leurs cours : Nicols Chl, Yves Drevous, Berrd Gisi, Ali Klopfestei, Murizio Llict, Berrd Leggehger, Romit Ng Guchs, Adrie Schleiig et Serge Zoutter. BON TRAVAIL! Picchioe Serge -

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5 . Clcul Itégrl.. Le smole Σ Défiitio f(k) sigifie «somme pour l'idice k llt de jusqu'à de f(k)» k= Avec :, et k des omres etiers. f(k) : epressio mthémtique fist iterveir k (e tt que omre ou idice). Eemples ) c) e) k = ) k= k= k= d) k= k= = = = k= fois k = k(k ) = ( ) + ( ) + ( ) = (idépedt de k) Eercice Clculer/développer les sommes suivtes : ) 5 i ) i= i c) i= 6 i d) i= 6 i= i e) 6 ( i + ) f) i= 8 i g) i= 8 (i ) h) ( ) i= k= k i) 8 j) k= 7 5 k ( ) ck k= k) c i i i= + l) f ( + k h ) k= Eercice Écrire à l ide de l ottio Σ : ) ) c) c c c c 5c5 6c6 + + d) f ( c ) f ( c ) f ( c ) Eercice (Propriétés de Σ) ( - ) + ( - ) + ( - ) Les églités suivtes sot-elles correctes? (Idictio : remplcer l ottio somme pr l ottio vec des poitillés : k = ) ) ( ) k k k k k= k= k= k= + = + ) = e) d) ( ) k k k k k= k= k= c k = c k c) ( k) = k k= k= k= k= m m c= c f) k= + = vec<m k k k k= k= + k= P.S. / - Clcul itégrl / N-A

6 .. Défiitios Cosidéros ue foctio f cotiue et positive sur [;]. Prolème f Clculer l ire A du domie situé sous le grphique de l foctio f, u-dessus de l e des et etre les droites = et = ( < ). A Idée I Approimer l'ire A pr l'ire d'ue série de rectgles. O frctioe l itervlle [;] e sous-itervlles dot l logueur représete l se des rectgles, et l o choisit u c i ds chque sous-itervlles dot l imge f(c i ) représete l huteur du rectgle. = < < < = f(c ) f(c ) f(c ) f = c c c = Ds cet eemple, ous vos pproimé l'ire A pr l'ire de rectgles : ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) A f c ( - ) + f c ( - ) + f c ( - ) = f c = f c Δ i i i i i i= i= oté Δ i Remrque : Il est clir que ds cet eemple l'pproimtio de A est grossière. Idée II Augmeter idéfiimet le omre de rectgles pour être plus précis. f f = rectgles = 6 rectgles Remrque : Plus le omre de rectgles est grd, meilleure est l'pproimtio de A. Si ous preos rectgles, ous uros : A f(c ) Δ vec = < < <..< - < = et Δ i = i i > i= i i Ue telle somme est ppelée somme de Riem ; elle déped évidemmet de f, mis ussi du choi de l se des rectgles (le choi des,,,...) et le choi des omres c i pour le clcul de l huteur des rectgles f(c i ). P.S. / - Clcul itégrl / N-A

7 Activité I Soit l foctio f défiie pr f ( ) =, = et =. ) O divise l itervlle [ ; ] e sous-itervlles de mêmes logueurs. Clculer l somme de Riem i= Proposer ue illustrtio du prolème. f ( c i ) Δ i e pret les i c u milieu de [ ] ; i i ) O divise mitet l itervlle [ ; ] e 5 sous-itervlles de mêmes logueurs. Clculer l somme de Riem 5 i= Proposer ue illustrtio du prolème. f ( c i ) Δ i e pret les i c u milieu de [ ] ; i i P.S. / - Clcul itégrl / N-A

8 Pour oteir l'ire ecte A ous llos predre l limite de l somme des ires de ces rectgles lorsque leurs ses devieet ussi petites que l'o veut, doc lorsque les Δ i tedet vers Δ. Cel sigifie que le omre de rectgles ted vers l'ifii, et doc que ted vers ( i ) l'ifii ( ). Défiitios L répose à otre prolème est doc : A= lim f(c ) Δ i = i i ) Si lim f(c i) Δi eiste, et qu'elle est l même pour toutes les sommes de Riem, o dit i = que l foctio f est itégrle (u ses de Riem) et o ote : ) f()d est ppelé itégrle défiie de f, depuis jusqu'à. f()d= lim f(c ) Δ i = i i Eemple : O cherche à clculer et f()d lim f(c i) = Δi pour i = f ( ) = ; Δ i = = (équidistt), i ci = + i = i =,,,..., = ; = Illustrtio : f() f Clculos déjà i i i= i= f(c i) Δi : i= i f(c ) Δ = f = = f(/) f(/) f(/) = / / /.. = / / /.. / (développemet ) (mise e évidece de/) = ( + )( + ) = 6 = (lgère) (formule de l somme des crrés ) (lgère) Filemet : d= lim + +, = = 6 P.S. / - Clcul itégrl / N-A

9 Remrques ) Le sige smolise u S stlisé pour somme. ) f ( d ) est u omre réel (ps ± ). Ce est ps ue foctio. c) Ds l epressio f ( d ), est ppelée l vrile d itégrtio, les omres et les ores d'itégrtio ; est l ore iférieure, est l ore supérieure. d) Toutes les foctios e sot ps itégrles (u ses de Riem). Théorème (Cuch) Si l foctio f est cotiue sur [;] lors f est itégrle sur [;]. e) Certies foctios discotiues peuvet églemet être itégrles, pr eemple les foctios e esclier. f) f ( d ) = f( tdt ) (l itégrle défiie e déped ps du om de l vrile d itégrtio) g) O peut se liérer de l cotrite < et evisger deu cs : Si =, o défiit f( ) d= Si >, o défiit f ( ) d = f( ) d h) O costte isémet à trvers l eemple précédt que le clcul de l itégrle défiie est difficile ; o fit ppel à u certi omre d stuces ou de coissces lgériques comme pr eemple ici, l formule de l somme des crrés des premiers omres turels. i) Pour pouvoir utiliser cette otio d itégrle défiie de fço efficce, il ous fudr trouver u moe plus simple pour l clculer. Ce moe, que ous llos étudier plus loi, est le théorème fodmetl de l lse. Eercice ) Clculer ( ) si : ) c) f ( ) f ()d = lim f ci Δi vec i = = ; : = f ( )= ; : = Δ i = c = + i pour i =,,,...,, i ; := ) f ( )= ; : = ; := ; := d) ( + ) Idictios : = et f ( )= ; : = ; : = ( + ) = ) Quelle utre méthode simple peut-o utiliser pour clculer l itégrle défiie du poit )? ) Quelle cojecture (ffirmtio que l'o pese être vrie) peut-o fire qut à d? P.S. / - 5 Clcul itégrl / N-A

10 Questio Si l foctio f est cotiue sur [;], f ( d ) ser-t-elle toujours positive? er cs : Si f est cotiue et positive sur [;] c est à dire f() [ ; ] lors f( ) d et représete l ire du domie compris etre le grphique de l foctio f, l e des et les ores = et =. Eplictios : Nous vos clculé l'ire des rectgles vec le produit f ( ci) Δ i. Si f est positive sur [;] o f( ci ) et Δ i = i i > pour i=,,,..., ce qui implique que f( c ) Δ pour i=,,,..., et doc i i i Δ i = i = lim f (c ) f ()d f(c i ) i- c i i Δ i > f ème cs : Si f est cotiue et égtive sur [;] c est à dire f() [ ; ] lors f( ) d et f( ) d représete l ire du domie compris etre le grphique de l foctio f, l e des et les ores = et =. Eplictios : Nous vos clculé l'ire des rectgles vec le produit f ( c ) Δ. Si f est égtive sur [;] i i o f( c i ) et Δ i = i i > pour i =,,,..., ce qui implique que f( c ) Δ pour i =,,,..., et doc i Δ i = i = lim f (c ) f ()d i i f(c i ) Δ i > i- c i i Remrque f Si f chge de sige sur [;], lors l ire A du domie hchuré situé etre le grphique de l foctio f, l e des et etre les droites = et = est : c A= f( d ) f ( d ) c c f P.S. / - 6 Clcul itégrl / N-A

11 Eercice 5 ) Clculer les itégrles défiies ci-dessous à l'ide d'ue représettio grphique (grphique de l foctio, ores et es). Eemple : ) e) Forme : trigle ( ) d = = 5d ) 6 d c) ( + ) d d) d d f) ( + ) d g) ( + ) d h) d = f() = = - f ) Clculer l ire A du domie compris etre le grphique de l foctio f, l e des et les ores = et =. ) f()= - ; = ; = ) f()= - + ; = - ; = c) f()= - ; = - ; = d) f()= - ; = ; =.. Propriétés de l itégrle défiie Soiet f et g deu foctios itégrles sur [;] et k, lors : ) k f( ) d= k f( ) d ) ( ( ) ( )) = ( ) ( ) ) ( f ( ) + g ( )) d= f( d ) + gd ( ) c c ) f ( d ) = f( d ) + f( d ) lors f( ) d 5) Si f ( ) [ ; ] 7) Si f ( ) g( ) [ ; ] f g d f d gd 6) Si f ( ) [ ; ] lors f ( d ) gd ( ) lors f( ) d Eemple Scht que : d =, d = et d ( P) ( ) Clculos : + d = d + d + d ( P) Hp. Alg. d d d = + 8 = + = + = = 6 Remrque ( f ( ) g ( )) d f( d ) gd ( ) et f( ) d f ( ) d / g ( ) d g ( ) P.S. / - 7 Clcul itégrl / N-A

12 Démostrtio ou eplictio des propriétés ) k f ()d = lim k f (c ) Δ = lim k f (c ) Δ i i i i Défiitio Propiété de l'itégrle i= des sommes i= = k lim f (c ) Δ = k f ()d i i Propiété Défiitio des limites i = de l'itégrle Illustrtio : L'ire grise = l'ire hchurée. f f f ( ) d = f ( ) d ) ( ) (f() + g())d = lim f(c ) + g(c ) Δ = i i i Défiitio de l'itégrle i = = lim f(c i) Δ i + g(c i) Δ i = lim f (c i) i g(c i) i Distriutivité Propiétés Δ + Δ i= des sommes i= i= = lim f (c i) Δ i + lim g(c i) Δ i = f ()d Propiétés Défiitio + g()d des limites i= i= de l'itégrle Cette propriété se lit : «L'itégrle d ue somme est égle à l somme des itégrles». Cette propriété semle évidete si l'o cosidère s sigifictio géométrique (f et g positives). Illustrtio : f+g g f L'ire sous l coure f + l'ire sous l coure g = l'ire sous l coure f + g. ) Mêmes rgumets que e ). ) Cette propriété semle évidete si l'o cosidère s sigifictio géométrique (f positive). Illustrtio : c ( ) ( ) f d f d c f ( ) + ( ) = ( ) c c f d f d f d P.S. / - 8 Clcul itégrl / N-A

13 5) et 6) Déjà étudié précédemmet. 7) Cette propriété semle évidete si l'o cosidère s sigifictio géométrique (f positive). Illustrtio : g f lors f ( d ) gd ( ) Si f ( ) g( ) [ ; ] Eercice 6 Scht que f ( ) d =, f ( ) d = et ( ) ) f ( ) d ) ( ) f d = 8, clculer : f d c) ( ) d) ( ) 8 f d f d Eercice 7 Nous vos vu que : Clculer : ) d = et d =. d ) ( ) c) ( + 6) 7 d d d) ( ) d Eercice 8 Rppel : d = et d =. Clculer les itégrles défiies suivtes ds lesquelles,, c, α, β, γ sot des omres réels, vec l seule coditio <. ) c) cd ) c d c d d) ( α + β + γ ) d e) d Esquisser u grphique! f) π cos( ) d Esquisser u grphique! P.S. / - 9 Clcul itégrl / N-A

14 Eercice 9 Vérifier l iéglité doée pr compriso vec ue utre foctio, ss clculer les itégrles : E revche, esquisser des grphiques peut être très utile! ) c), 5 d < ) d >,5 d) e d π,5 π < si( d ) < π Eercice Eprimer à l'ide d'ue seule itégrle : ) 9 5 f ( d ) + f( d ) ) 5 f ( d ) f( d ) 6 e c) f ( d ) f( d ) c d d) c 6 f ( d ) + f( d ) e) f () t dt + () f t dt f) 6 + h f (t)dt f(t)dt Théorème de l moee Si f est cotiue sur [;], lors il eiste u mois u omre c [ ; ] tel que f ( d ) = f( c) ( ) Illustrtio f f(c) Remrques c - ( ) f d ) L iterpréttio géométrique que l o peut fire de ce théorème est le suivt : «f(c) est l huteur d u rectgle de lrgeur - dot l ire égle l'ire sous l coure f, l e des et etre = et =». ) L vleur c dot prle le théorème de l moee peut e ps être uique. c) O ppelle f(c) l vleur moee de f sur [;]. c) Ue foctio discotiue e stisfit ps forcémet l coclusio du théorème de l moee. P.S. / - Clcul itégrl / N-A

15 Démostrtio ) Si f est ue foctio costte, le théorème est évidet. ) Soit f ue foctio o costte : Comme f est cotiue sur [,] fermé, le théorème des ores permet de coclure qu il eiste u omre u [ ; ] tel que f(u) = m (miimum sur [;]) et u omre v [ ; ] tel que f(v) = M (mimum sur [;]). Illustrtio f M=f(v) m=f(u) ( ) f d u v (propriété 7 des itégrles) O peut isi écrire : md f( ) d M d m ( ) f( d ) M( ) (clcul d itégrles) m f( ) d M (lgère) f ( u) f( ) d f( v) = m = M Comme f est cotiue sur [,] fermé, le théorème des ores permet ussi de coclure que l foctio pred toutes les vleurs possiles etre f(u) = m et f(v) = M c'est-à-dire que f([;]) =[m;m] et doc l vleur f ( d ). Il eiste doc u c [ ; ] tel que : f ( c) = f( d ) f( d ) = f( c) ( ) Eercice Trouver u omre c qui stisfit l coclusio du théorème de l moee, puis détermier l. ; vleur moee de f sur [ ] ) d= 7 ) 9 d = c) ( + ) d = 6 d) ( + ) d = e) 8 + d = 5 f) 8 d = P.S. / - Clcul itégrl / N-A

16 .. Le théorème fodmetl de l lse Activité II ) Soit f(t) = k k k F() f t i) Clculer l ire omrée e foctio de. Autremet dit, détermier F( ) = f( t) dt. ii) Clculer l dérivée de F. Autremet dit, détermier F (). iii) Que costte-t-o? ) Soit f(t) = t f F() t i) Clculer l ire omrée e foctio de. Autremet dit, détermier F( ) = f( t) dt. ii) Clculer l dérivée de F. Autremet dit, détermier F (). iii) Que costte-t-o? P.S. / - Clcul itégrl / N-A

17 Théorème fodmetl de l lse (Newto 6-77 et Leiiz 66-76) Soit f ue foctio cotiue sur [ ; ]. O défiit ue ouvelle foctio F pr F( ) f( t) dt Alors F est dérivle et F '( ) f ( ) [ ; ] =. = pour [ ; ] Illustrtio f Remrque Ce résultt motre que l foctio F qui clcule «l ire» située sous le grphique de l foctio f, u dessus de l e des et etre les droites t = et t = est ue foctio qui, dérivée, doe l foctio f. Démostrtio O doit démotrer que : F'() = lim = f () [ ;] Soit h >. h F() F( + h) F() h f t f(c) F( + h) F() h F( + h) F( ) représete l'ire sous l coure f de à +h, mois l'ire sous l coure f de à, c'est à dire l'ire sous l coure f de à +h. F( + h) F() F'() = lim (défiitio de l dérivée de F) h h + h f(t)dt f(t)dt = lim h h (défiitio de l foctio F) + h = lim f (t)dt h h (propriété des itégrles) = limf (c) (théorème de l moee vec < c< + h) h = lim f (c) (comme < c< + h, si h lors c ) c = f() (f est cotiue) c +h t P.S. / - Clcul itégrl / N-A

18 Eercice Soit l foctio f(t) = t + ) Clculer l ire omrée e foctio de. Autremet dit, détermier F( ) = f( t) dt. ) Clculer l dérivée de F. Autremet dit, détermier F (). f c) Que costte-t-o?..5 Primitives F() t Nous svos commet trouver, lorsque c est possile, l foctio dérivée d ue foctio f. Ce processus est ppelé «dérivtio d ue foctio». Le théorème fodmetl de l lse motre l itérêt du prolème iverse qui cosiste à trouver ue ouvelle foctio F dot f serit l dérivée. Ce processus s ppelle «itégrtio d ue foctio». L défiitio suivte e fit qu ttriuer à F u om prticulier. Défiitio Toute foctio F telle que F'( ) = f( ) [ ; ] est ue primitive de f sur [ ; ]. Illustrtio D D D D D... F f f' f''... D = Dérivtio I I I I I I = Itégrtio Eemples ) F ( ) 7 = + est ue primitive de f ( ) = cr ( ) ' F'( ) = + 7 = = f( ) ) F( ) cos( ) F'( ) = cos( ) = si( ) = f( ) = est ue primitive de f() = si() cr ( ) ' c) + F( ) = est ue primitive de f() = /{ } + ' + + ' + cr F'( ) = = ( ) = ( + ) = = f( ) Remrque Selo le théorème fodmetl de l lse, toute foctio cotiue sur [ ; ] dmet l eistece d ue primitive sur [ ; ]. Activité III i) Dériver les foctios suivtes : F( ) = G( ) = + 5 H ( ) = ii) Que peut-o remrquer? iii) Peut-o e déduire ue règle géérle? P.S. / - Clcul itégrl / N-A

19 Théorème Deu primitives d ue même foctio e diffèret que d ue costte. Autremet dit, si F et G sot deu primitives de f sur [ ; ], lors G ( ) F ( ) C [ ; ] et C = +. Démostrtio Soit F ue primitive de f lors F'( ) f( ) [ ; ] Soit G ue primitive de f lors G'( ) f( ) [ ; ] =. =. Doc F'( ) = G'( ) G'( ) F'( ) = (lgère) ( G F) ' ( ) ( ) = (propriétés des dérivées) G ( ) F ( ) = C (corollire du thm. de Lgrge) G ( ) = F ( ) + C (lgère) Défiitio / Nottio L esemle de toutes les primitives d ue foctio f sur [ ; ] se omme itégrle idéfiie de f et se ote f ( ) d. ' Autremet dit : f ( ) d= F( ) + C ou ( F( ) + C) = f( ) [ ; ] Eemples ) ( + ) d = d+ d = + + C cr ' + + C = + cr ( ) ' ) cos( ) d = si( ) + C si( ) = cos( ) d) d = d = d = + C = + C cr 5 + C = 5 ' e) + cr d = d = + C = + C = + C + + C = ' ( t + ) f) ( t+ ) dt = + C = ( t+ ) + C cr ( t + ) + C = ( t + ) ' Remrque Ue itégrle idéfiie est u esemle de foctios lors qu ue itégrle défiie est, comme ous l vos déjà vu, u omre réel. P.S. / - 5 Clcul itégrl / N-A

20 Théorème de Newto-Leiiz (lie etre primitives et clcul d ue itégrle défiie) Soit f ue foctio cotiue sur [;] et F ue primitive de f sur [;]. Alors, o : ftdt () = F ( ) F ( ) Eemples ) ) c) ( ) d= = = π π / π si( d ) = cos( ) = cos ( cos()) = + = (+ ) cos( + ) d = si( + ) = si() Remrques ) Nous vos utilisé l ottio suivte : F() - F() = F() ) Selo le théorème fodmetl de l lse, toute foctio cotiue sur [ ; ] dmet l eistece d ue primitive sur [ ; ] mis, mlheureusemet, certies foctios cotiues ot des primitives très difficiles à trouver, voire o eprimles à l ide des opértios usuelles, comme pr eemple pour l foctio e. Il 'est doc ps toujours possile d'ppliquer le théorème de Newto-Leiiz pour détermier l vleur d'ue itégrle défiie. Cepedt o peut toujours pprocher, l itégrle défiie d ue foctio cotiue à l ide de l défiitio des sommes de Riem (voir déut du chpitre). Démostrtio O sit que deu primitives e diffèret que d ue costte : G ( ) = F ( ) + C De plus, pr le théorème fodmetl o peut écrire : f ( tdt ) = F ( ) + C Si =, lors = f ( tdt ) = F ( ) + C C= F ( ) f( tdt ) = F ( ) F ( ) Si =, lors f ( tdt ) = F ( ) F ( ). P.S. / - 6 Clcul itégrl / N-A

21 Eercice Détermier l esemle des primitives des foctios suivtes. + 8 d = d+ 8 d = C = + + C Eemple : ( ) ) ( + ) d ) dz z z 5) ) (9 t t + ) dt ) ( ) d 6) ( 8 + ) d ( ) d 7) 7 ( ) d 8) ( + ) d 9) cos( udu ) si( ) d ) 5 ) d ) ( ) du ) d ) ( 5 + ) d 5) ( 5 + 6) 8 6) (( + ) + ) d 7) ( ) d 8) 6 ( + ) 9) ( ) d ) + d ) d d ( )( + ) 5 d ) 5 + d ) d ) 6 ( + ) d 5) d 6) d 7) ( 5) d 8) d 9) si( ) 9 + d ) + t ( ) d ) cos( ) 5 d ) si ( )cos( ) d ) si( )cos ( ) d ) si( )( cos( )) d 5) + d 6) 5 d + Eercice Clculer les itégrles défiies suivtes. (réposes e vleurs ectes) Eemple : ( ) d = d = = = = ) ) ( + ) d ) ( + ) d 5) ( t) dt ) ( + 5 ) v ( ) dv 6) v + d d P.S. / - 7 Clcul itégrl / N-A

22 Suite eercice 7) ) ) 6) + d 8) π si ( )cos( ) π π ( + ) d 9) + 9 d d ) ) π cos( ) d ) π ( ) + π d 7) 9) si ( ) cos( d ) ) π + d 5) ( + t( )) cos ( ) + 5 d 8) 5 (6 + ) d *) d d ( ) ( + ) d + d d Eercice 5 Clculer l ou les vleur(s) de k telle(s) que ( ) Eercice 6 O cosidère l foctio f ( ) = + + représetée ci-dessous. Le théorème de l moee ffirme que : Il eiste u mois u omre c [ ; ] k tel que f ( d ) = f( c) ( ) 5 + d = ) Estimer à l'oeil ue vleur possile du omre c et f(c). ) Clculer précisémet le omre c et f(c). Y -t-il plusieurs réposes possiles? Eercice 7 Quel est le omre c qui stisfit l coclusio du théorème de l vleur moee pour ;? l itégrle doée et quelle est l vleur moee de f sur [ ] ) d 5 ) 5 + d c) + d d) 6 d P.S. / - 8 Clcul itégrl / N-A

23 Eercice 8 ) Clculer π si( ) d ) Clculer l ire de l surfce délimitée pr l foctio sius et l e horizotl etre et π. Eercice 9 Clculer l'ire de l surfce située etre l prole f ( ) = et l'e des. Eercice Clculer l'ire de l surfce détermiée pr l prole f( ) = ( )( + ), l'e des et les droites verticles = et =. Eercice Soit l foctio f défiie pr f ( ) 9 =. ) Clculer les zéros de l foctio. ) Esquisser le grphique de f pour [-,]. c) Clculer l ire de l surfce A située etre le grphique de f, l e des et etre les droites = - et =. d) Clculer l ire de l surfce A située etre le grphique de f, l e des et etre les droites = et =. e) Clculer l ire de l surfce A située etre le grphique de f, l e des et etre les droites = et =. f) L somme des ires A + A + A correspod-elle à ( 9 ) d? Justifier. Eercice Soiet f et g les foctios défiies pr : f ( )= et g ( ) = + Détermier l ire de l surfce omrée limitée pr les coures représett f et g et l e O.. P.S. / - 9 Clcul itégrl / N-A

24 Eercice * O doe l foctio f défiie pr f() = ( -)( - ) ) Détermier les zéros de l foctio f (le grphique est là à titre idictif). ) Détermier le omre réel ( > ) de sorte que l ire du domie D soit égle à l somme des ires des domies D et D. 6 f D D - D - -6 Eercice * Détermier l epressio lgérique de l cuique f (foctio polomile de degré ) de zéros { ; ;} lorsque l itégrle etre et ommée S vut. Remrque : Le grphique est là à titre idictif. 6 S f -6 Eercice 5 * O cosidère l foctio f() = si(-). f.75 P ) Détermier l epressio lgérique de l prole P() de sorte que S = S. ) Clculer les coordoées de l'etremum. π π S.5 S.5 π π π π P.S. / - Clcul itégrl / N-A

25 Eercice 6 * O cosidère l foctio f() = et l droite d qui psse pr l origie O(,) et le poit P( ;f()). f 8 6 f() S P d S S O - ) Clculer l'ire de l surfce A, limitée pr l coure représett f et l e O.. ) Eprimer l pete de l droite d e foctio du prmètre. ) Eprimer l'équtio de l droite d e foctio du prmètre. ) Eprimer l surfce S e foctio du prmètre. 5) Eprimer l surfce S e foctio du prmètre. 6) Clculer de telle sorte que l ire de l surfce S ville l moitié de A. P.S. / - Clcul itégrl / N-A

26 ..6 Méthodes d itégrtio prticulières * Le théorème fodmetl permet de clculer des itégrles défiies à l'ide du clcul de primitives. Au stde où ous e sommes, ous svos clculer u certi omre de primitives simples (pr eemple les foctios puissces, les foctios trigoométriques simples...) mis il est difficile de clculer les primitives de : si ( ) d ou d. Les formules qui suivet vot ous permettre de clculer des itégrles de ce tpe. Formule de l'itégrtio pr prties * = f '()g()d f()g() f()g'()d Eemples * π π π π π ) si( ) d cos( ) cos( ) cos( ) si ( ) PP.. d = + = + = π g ( ) = g'( ) = f '( ) = si( ) f( ) = cos( ) ) l( d ) = l( d ) = l( ) d= l( ) = l() PP.. g ( ) = l( ) g'( ) = (tle CRM) f '( ) = f( ) = c) ( ) ( ) d.. + d PP d + = + = + + = + + = g ( ) = g'( ) = ( ) ( ) f '( ) = + f( ) = + Démostrtio * O prt de ( f ( ) g( ))' = f '( ) g( ) + f( ) g'( ) (règle de dérivtio du produit de foctios) O itègre : (( ( ) ( ))' = [ '( ) ( ) + ( ) '( )] f g d f g f g d f ( g ) ( ) = f'( gd ) ( ) + f( g ) '( d ) f '( gd ) ( ) = f( g ) ( ) f( g ) '( d ) L primitive de ( f g) est f g Propriété ) Mise e évidece ' P.S. / - Clcul itégrl / N-A

27 Formule de l'itégrtio pr sustitutio ou chgemet de vrile * ( ) g() f g () g()d = f(t)dt si t= g() g() Remrque * dt Si t = g() lors = g'() dt = g()d d Eemples * ) t ( ) d = t dt = = = Su. = t = Su. t = dt = d et = t = ) d = tdt = t = 8 Su. = t = = = = t = Su. t dt d et π π / π π = = = + = = c) d si(t) cos(t)dt cos (t)dt ( t si(t)cos(t) ) Su. P.P. t = = Su. = si(t) d = cos(t)dt et π t = = π Démostrtio * Cosidéros F ue primitive de f c'est-à-dire F'() = f(). F g ( ) = F g g = f g g = f g g, ce qui sigifie que O ( ) ( ) F g est ue primitive de ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( )( ) ( ) f g g. f g g d F g F g. Doc ( )( ) ( ) = ( )( ) ( )( ) g( ) O ussi () ( ( )) ( ) g( ) D où ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) f t dt = F g F g = F g F g. g( ) f g ( ) g ( ) d = f ( t) dt. g( ) P.S. / - Clcul itégrl / N-A

28 Eercice 7 * Détermier les vleurs des itégrles suivtes e utilist l méthode pr prties : π ) si( d ) ) cos( d ) c) π d) si( )cos( d ) e) + d f) π π si( d ) l( ) d Eercice 8 * Soit I = si ( ) d ) Clculer : I, I, I et I. ) Étlir ue formule de récurrece qui doe I e foctio de I -. c) Utiliser l formule de récurrece pour clculer I et I. Idictios : i) si ( ) = si( ) si( ) ii) si ( ) = si ( ) si( ) iii) cos ( ) = si ( ) Eercice 9 * Détermier l vleur des itégrles suivtes e utilist l sustitutio doée: ) c) e) g) + d t + d / + t d t + d = + ) + d = + d) (( + ) ) = f) t = h*) d t / + d u = + = t = + r r d = r si( t ) r Eercice * Clculez l itégrle suivte 7 d de trois mières différetes : + ) e effectut le chgemet de vrile + = t, ) e effectut le chgemet de vrile t = +, c) e effectut ue itégrtio pr prties. P.S. / - Clcul itégrl / N-A

29 Eercice * Rppel : U cercle est u esemle de poits situés à ue même distce d'u poit doé. Cosidéros u cercle de ro r cetré e (;). ) Trouver l reltio etre les coordoées et d'u poit P pprtet u cercle et le ro r du cercle. ) Détermier l epressio lgérique de l foctio f + et f - décrivt respectivemet le demi-cercle supérieur et iférieur c) Quelle est le domie de défiitio de f + et de f -? f + r (;) P(;) d) A l'ide des itégrles clculer l'ire A du cercle de ro r. Idictio : Utiliser l sustitutio suivte : = r si( t) f -..7 Applictios du clcul itégrl Aire du domie situé etre deu coures Soit f et g deu foctios cotiues telles que f() g() [ ; ] et D le domie oré limité pr les grphiques de f et de g et pr les verticles d'équtios = et =. Prolème O veut clculer l'ire A du domie D. Illustrtio f D g Propositio Soit f et g deu foctios cotiues telles que f() g() [ ; ]. L'ire A du domie D limité pr les grphiques de f et de g et pr les verticles d'équtios = et = est doée pr : ( ( ) ( )) A= f g d. Propriétés des itégrles Démostrtio = ( ) ( ) = ( ( ) ( )) A f d gd f g d P.S. / - 5 Clcul itégrl / N-A

30 Eemple Clculos l ire A du domie oré, limité pr les grphiques de f( ) = + et de g ( ) = + et pr les verticles d'équtios = et =. (( ) ( ) ) A= + + d = + = ` 8 6 f g A - Eercice Clculer l ire du domie grisé compris etre les représettios de f et g. ) f ( ) = et g ( ) = ) f ( ) = et g ( ) = ) f( ) = 5 et ( ) g = + ) f ( ) = et g ( ) = 5) 7) f( ) = + et g ( ) = + 6 6) ( ) f = et = ( ) f ( ) = et g( ) = 8) f ( ) = si( ) et g( ) = cos( ) g (o demde l'ire d'ue des surfces) P.S. / - 6 Clcul itégrl / N-A

31 Volume d'u solide de révolutio Les itégrles défiies sot ussi utiles pour clculer des volumes. Archimède utilisit déjà l méthode d ehustio pour détermier les volumes des côes et des sphères. Kepler lui ussi cherch le volume d u toeu à l ide de découpges. Défiitio O ppelle solide de révolutio u corps oteu pr rottio d ue surfce ple utour d'u e coplire etérieur ou tget à cette surfce. Eemples Ae de rottio ) E fist tourer u rectgle utour de l u de ses côtés (e tget) o otiet u clidre droit. ) E fist tourer u rectgle utour d u e de rottio etérieur cette surfce o otiet u utre solide de révolutio. C est «u eu». Ae de rottio Remrque Chque poit de l surfce egedrt u solide de révolutio décrit u cercle e tourt utour de l'e de rottio. Propositio Soit f ue foctio cotiue sur [;]. Le volume V du solide egedré pr l rottio de l surfce limitée pr le grphique de f, l'e des et les verticles d'équtios = et =, utour de l'e des est doé pr : V = π f ( ) d Eemple Cherchos le volume V du solide de révolutio egedré pr l rottio utour de l e des du domie compris etre le grphique de l foctio f ( ) = / l'e des et les droites = et =. f π π V = π d = π d d = = = π 8 = = π,9 P.S. / - 7 Clcul itégrl / N-A

32 Démostrtio de l propositio Illustrtios O prtge l itervlle [ ; ] e itervlles [ ; ] solide e «trches». de lrgeur Δ i ds le ut de découper le i i Si Δ i est ssez petit, le volume d ue «trche» est à peu près égl à V ( ) i =π f ci Δ i pour ci [ i ;i]. Il e résulte que le volume est à peu près égl à l somme de petits clidres otée Vi = V+ V + + V où V i représete i= le volume d u petit clidre. E fist tedre vers l ifii, ous oteos u omre : i i i i i i= i= i= V = lim V = lim π f (c ) Δ = π lim f (c ) Δ = π f () d et qui représete le volume cherché. Eercice Le domie délimité pr l coure d équtio = f( ), l e et les droites = et = toure utour de l e. Esquisser le corps oteu et clculer so volume. ) f( ) = + = = ) f( ) = = = ) f ( ) = < < ) f( ) = = = P.S. / - 8 Clcul itégrl / N-A

33 Eercice ) A l'ide des itégrles, clculer le volume V d'u côe circulire droit de huteur h et de ro r. ) Comprer votre résultt vec celui de l tle C.R.M. h r Eercice 5 A l'ide des itégrles, clculer le volume V de cet "t-jour". 5 Eercice 6 ) A l'ide des itégrles, clculer le volume V d'ue sphère de ro r. ) Comprer votre résultt vec celui de l tle C.R.M. Eercice 7 * ) A l'ide des itégrles, clculer le volume V d'ue clotte. ) Comprer votre résultt vec celui de l tle C.R.M. h Idictio : O coupe ue sphère de ro r pr u pl à ue distce r-h du cetre de l sphère. Eercice 8 * ) À l'ide des itégrles, clculer le volume d'ue V secteur sphérique. ) Comprer votre résultt vec celui de l tle C.R.M. Idictio : O coupe ue sphère de ro r pr u pl à ue distce r-h du cetre de l sphère. h r Eercice 9 O fit tourer utour de l e le domie délimité pr les grphiques des foctios f et g. Esquisser le corps oteu et clculer so volume V. ) f ( ) 5 = + et g ( ) = + ) f ( ) = et g ( ) = P.S. / - 9 Clcul itégrl / N-A

34 Eercice * ) À l'ide des itégrles, clculer le volume V du tore (ouée) e foctio de r et R. ) Clculer le volume V du tore (ouée) e foctio de et. c) Comprer vos résultts vec ceu de l tle C.R.M. d) Aider u ijoutier à détermier l ture d'ue gue (or, rget, roze, lu, etc.) qui l forme d'u tore. Il mesuré l gue : = cm et = cm et pesé l gue : msse 6,7 Il possède ussi l tle C.R.M. vec l msse volumique des élémets. gr P.S. / - Clcul itégrl / N-A

35 Cetre de grvité d'u domie pl * Le cetre de grvité C G d'u ojet est ue otio phsique qui est liée, etre utres choses, à l réprtitio de l msse à l'itérieur de cet ojet. C'est e ce poit qu'ue force égle u poids de l'ojet doit être ppliquée pour que celui-ci soit e équilire. Ds le cs d'ue msse homogèe et d'u chmp de grvittio uiforme, le cetre de grvité est e rpport direct vec l géométrie de l'ojet et ses es de smétrie : le cetre de grvité d'u trigle se trouve à l'itersectio de ses médies et celui d'u rectgle à l'itersectio de ses digoles. Illustrtio C G Plços deu ojets de msse m et m u etrémités d'ue tige fie de msse égligele. Prolème * O cherche l positio du cetre de grvité C G du sstème de dimesio costitué pr les msses et l tige fie (cs discret). m C G m Coditio d'équilire sttique : m + m ( ) = ( ) + = + = m m m m m m est l coordoée du cetre de grvité C G. m + m Prolème * O cherche l positio du cetre de grvité C G du sstème de dimesio costitué pr les msses et l tige fie (cs discret). m C G m Le cetre de grvité est le poit C G ( ; ) m + m = m+ m m + m = m + m tel que : est l première coordoée du cetre de grvité C G. est l deuième coordoée du cetre de grvité C G. O ote : M = m + m le momet pr rpport à l'e des. M = m + m le momet pr rpport à l'e des. P.S. / - Clcul itégrl / N-A

36 Défiitio* U corps est dit homogèe si s msse est distriuée uiformémet. msse Autremet dit pour ue plque fie si s desité ρ = = Cte surfce Eemple* Ue feuille lche et vierge de ppier A. Prolème * O cherche l positio du cetre de grvité C G d'u corps homogèe de dimesio (cs cotiu). Illustrtio f f(c i ) f(c i) m i O prtge l itervlle [ ; ] e itervlles [ ; ] plque e "élémets rectgulires". Msse de l'élémet rectgulire : m i = ρ f( ci) Δ i i c i i+ Δ i i i + de lrgeur i Δ ds le ut de découper l Msse de l plque : M = lim m = lim ρ f(c ) Δ =ρ lim f(c ) Δ = ρ f () d i i i i i i= i= i= Momet pr rpport à l'e des de l'élémet rectgulire : f( ci) f( ci) f( ci) M =m i i = ρ f( ci) Δi = ρ Δi Momet pr rpport à l'e des de l plque : i i = lim M = lim lim i ρ Δ i = ρ Δ i = ρ i= i= i= f( c ) f( c ) f ( ) M d Momet pr rpport à l'e des de l'élémet rectgulire : M =m c = ρ f( c ) Δ c = ρ c f( c ) Δ i i i i i i i i Momet pr rpport à l'e des de l plque : M = lim M = lim ρ c f(c ) Δ =ρ lim c f(c ) Δ = ρ f () d i i i i i i i i= i= i= Le cetre de grvité de l plque homogèe est le poit C G ( ; ) i tel que : M = = M f()d f()d et f ()d M = = M f()d P.S. / - Clcul itégrl / N-A

37 Eemple * Clcul du cetre de grvité d'ue plque homogèe dot l forme est u demi disque de ro r =. Trigle rectgle et théorème de Pthgore : + = r Le cercle C est décrit pr l'esemle des couples P(;) de stisfist l équtio : + = r = ± r. Doc f + () = r (demi-cercle supérieur) M = = (pr smétrie d'e ) M ( ) ( ) d d M 8 = = = = ( ) d = = M π π π d Le cetre de grvité demi disque homogèe de ro r = est le poit - f + C ; G 8. π r P(;) Théorème de Guldi * Le volume V du solide egedré pr l rottio de l surfce S utour de l'e des est égl u produit de l'ire A de cette surfce pr l logueur du chemi prcouru pr so cetre de grvité utour de l'e. Doc V = π A Eemple * Volume d'ue sphère de ro r =. π π π π π 8 V = A = = 6,76 Démostrtio * f () d f()d = V =π f ()d = π f ()d = π f()d = π A Pul Guldi ou Hkuk Guldi est u stroome et mthémticie suisse é à Sit-Gll e 577, mort à Grtz e 6. E 597, il jure l religio protestte et pred le préom de Pul. Il etre chez les Jésuites qui l'evoiet perfectioer ses mthémtiques à Rome. Il professe esuite les mthémtiques à Rome, Viee et Grtz. L'essetiel de ses trvu mthémtiques se trouvet ds so ouvrge Cetrorc (u sujet des rcetres) qui prît e volumes (65, 6, 6) ds lequel o trouve les deu règles qui portet so om. = A f + - P.S. / - Clcul itégrl / N-A

38 Eercice * ) Clculer les coordoées du cetre de grvité C G des plques homogèes. ) ) ) ) r -r r r ) Découper ds ue feuille de crto "homogèe" ue de ses plques et détermier le cetre de grvité. Esuite, esser de fire teir l plque e équilire e vous idt pr eemple d'u cro gris ie tillé! Eercice * E ppliqut le théorème de Guldi et e utilist les résultts de l'eercice précédt, clculer : ) le volume du côe circulire droit ) le volume de l sphère de ro r. de ro r et de huteur h. r h -r r c) le volume du tore (ouée) d) le volume de " l'eu" e foctio de r et R. e foctio de r, R et h. R r R r - r r - h/ h/ P.S. / - Clcul itégrl / N-A

39 Autres prolèmes e reltio vec l Phsique * Eercice * L sécurité routière pesé que le omre des ccidets de l route dimiuerit si l'o prveit à cotrôler plus efficcemet l vitesse des cmios. Elle lors proposé que tous les cmios soiet équipés d'u tchgrphe (ppreil qui eregistre l vitesse du véhicule à chque istt). Némois, o peut cridre que les ppreils ou les eregistremets e soiet modifiés fruduleusemet ds le ut de motrer que l vitesse mimle utorisée ' été dépssée à ucu momet. U moe simple de repérer les évetuels frudeurs serit de comprer l distce u compteur effectivemet prcourue et l distce clculée à prtir de l'eregistremet doé pr le tchgrphe. Ecore fut-il pouvoir clculer cette distce! Ci-dessous vous trouverez le grphique d'u eregistremet de l vitesse d'u cmio e foctio du temps, pour ue durée de heures. vitesse [km/h] temps 8h 8h 8h 9h 9h 9h h ) Estimer, le plus précisémet possile, l distce totle prcourue pr le cmio durt ces deu heures. ) Estimer l vitesse moee de ce même cmio durt ce même lps de temps. Pouvez-vous fire pprître cette vitesse moee sur le grphique? P.S. / - 5 Clcul itégrl / N-A

40 Eercice * ) Itroductio Si o cosidère l distce e foctio du temps t d'u ojet, lors l dérivée de (t) e t est défiie comme l vitesse isttée de l ojet u temps t. (t+δt) Δ (t) t Δt t+δt t Vitesse moee etre t et t + Δt = Δ t ( +Δt) t ( ) = Δt Δt Vitesse isttée u temps t = Δ t ( +Δt) t ( ) lim = lim Δt Δt Δ t Δ t ) Loi horire L foctio vitesse est défiie comme le tu de vritio istté de l distce, c est-à-dire comme l dérivée de l foctio distce, ce que ous pouvos ecore formuler : «l foctio distce est ue primitive de l foctio vitesse». vt () est l vitesse isttée à l istt t () t est l distce prcourue à l istt t ( t+δt) ( t) vt ( ) = ( t) = lim Δ t Δt () t = v() t dt C est ue coditio iitile qui permet de détermier l costte d itégrtio. De mière logue, l foctio ccélértio est défiie comme le tu de vritio istté de l vitesse, c est-à-dire comme l dérivée de l foctio vitesse, ce que ous pouvos ecore formuler : «l foctio vitesse est ue primitive de l foctio ccélértio». t () est l ccélértio isttée à l istt t vt () est l vitesse prcourue à l istt t t () = v () t = lim vt+δt vt Δ t ( ) ( ) Δt vt () = t () dt Nturellemet, c est ue coditio iitile qui permet de détermier l costte d itégrtio. P.S. / - 6 Clcul itégrl / N-A

41 Eocé c) Ue pierre est lcée vers le s à prtir d ue huteur de m. L vitesse isttée de l pierre est doée pr v() t = t + 5 où t est eprimé e secodes et v e mètres pr secode. Détermier : ) à quelle ltitude elle se trouve près secodes. ) à quel momet elle touche le sol. ) s vitesse isttée u momet de l impct u sol e kilomètres pr heure. ) l vitesse moee de l pierre sur les 5 premières secodes e kilomètres pr heure. Eocé d) L vitesse isttée v sur l piste d u petit vio est doée pr v() t = t + t où t est eprimé e secodes et v e mètres pr secode. ) Détermier l distce prcourue pedt les di premières secodes. ) Clculer l vitesse moee de cet vio sur les di premières secodes. ) Pour détermier l distce prcourue pedt les ciq premières secodes, il suffit de diviser le résultt précédet pr deu. Vri ou fu? Justifiez Eocé e) Ue voiture roult à [m/s] freie rusquemet vec ue ccélértio de -6 [ m / s ]. ) Quel temps mettr l voiture pour s rrêter? ) Quelle distce prcourr l voiture vt de s rrêter? Eocé f) U TGV lcé à [km/h] doit freier. So ccélértio est lors proportioelle u temps : t () = t m s. S il s rrête e secodes sur quelle distce -t-il freié? P.S. / - 7 Clcul itégrl / N-A

42 Eercice 5 * Ue ville est limetée e eu pr l'itermédiire d'u lc de rétetio e mot d'u rrge. Soit D(t) le déit à l'etrée du lc eprimé e még litres pr jours. ) D peut-elle être ue foctio égtive? ulle? ) Si D() t = t, clculer l qutité d'eu Q etrée ds le lc durt les premiers jours. Remrque : Si le déit est costt lors déit temps = volume c) Les ves du rrge sot fermées et l qutité iitile d'eu u temps t = est de Q() = 5 méglitres. Après comie de jours le rrge ur tteit s cpcité mimle de méglitres? d) Si les ves du rrge sot fermées le lc peut-il déorder? Si oui, de comie? Eercice 6 * U météorologue estime que l tempérture T e degré cetigrde d ue froide jourée d hiver πt πt vrie e foctio de l heure selo l foctio T() t = si 8cos où t est eprimé e heures et t = correspod à miuit. Quelle est l tempérture moee (moee des tempértures) ecte etre 6 heures et midi? Idictio : utiliser le théorème de l moee. P.S. / - 8 Clcul itégrl / N-A

43 ..8 Ce qu il fut solumet svoir Coître l sigifictio mthémtique du smole Σ Coître l défiitio de l itégrle défiie de f Coître les propriétés de l itégrle défiie de f Svoir utiliser les propriétés de l itégrle défiie pour clculer ue itégrle défiie 5 Coître et compredre le théorème de l moee 6 Coître et compredre le théorème fodmetl de l lse 7 Coître l défiitio de l primitive de f 8 Coître et compredre le théorème de Newto - Leiiz 9 * Svoir utiliser l méthode d itégrtio pr prtie pour clculer ue itégrle ok * Svoir utiliser l méthode de chgemet de vrile pour clculer ue itégrle ok Clculer vec les itégrles, l ire du domie situé etre deu coures Clculer vec les itégrles, le volume d u solide de révolutio * Clculer vec les itégrles, le cetre de grvité d u domie pl ok * Clculer vec les itégrles, les foctios (t) et v(t) à l ide de (t) ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok P.S. / - 9 Clcul itégrl / N-A

44 . Logrithmes et epoetielles.. L foctio logrithme turel p+ p Cosidéros l formule : d= + C p+ Elle est vlle pour tout p rtioel différet de -. Que se psse-t-il si p = -? + d = d = + C= + C= + C + * Nous svos que f( ) = est cotiue sur et que toute foctio cotiue sur u itervlle * fermé est itégrle. Doc il eiste u itervlle (ttetio, 'est ps u itervlle!) sur lequel f est itégrle. Et comme l'itégrle défiit ue primitive de f (voir thm. fodmetl), ous oteos le résultt : f possède ue primitive et doc, il eiste ue foctio dot l dérivée est f( ) =. Pour le momet, ous e coissos ps cette foctio. Mis ous pouvos l oter l et l'étudier à prtir de s défiitio : l() = Nous pouvos "visuliser" cette foctio l, puisqu'elle représete l'ire défiie pr l foctio f(t) = : t f dt t Remrques l( ) l( ) Aire omrée = dt = l() t 5 t ) Si < < lors l() = dt = dt t < t ) Si > lors l() = dt > t > P.S. / - Logrithmes et epoetielles / N-A

45 À prtir de cette défiitio, ous pouvos oteir les propriétés suivtes de l foctio l : ) * Df = + Nous verros u poit 9) que lim l ( ) + =. Le domie de défiitio eclut doc zéro et toutes les vleurs de <. De ce fit, il ' ps d'ordoée à l'origie. ) l() = Pr défiitio de l itégrle : l() = dt =. L foctio l dmet u zéro e =. t l() = + ) L dérivée de l foctio l est : ( ) ' * D'près le théorème fodmetl, l() est ue primitive de f( ) = * +. ) l est ue foctio cotiue et strictemet croisste sur * +. Comme l est dérivle sur S dérivée ( ) ' l() = > * +, elle est cotiue sur * +. * + ce qui implique que l() est strictemet croisste sur Remrque : Comme l() est cotiue et strictemet croisste sur * +, l() est * +. < si < < > si > 5) ( ) ( ) ( ) * l = l + l, + * Soit p + ue costte. ' ' l ( p ) = p = = l p ' ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) Propriété ) et dérivée de l compositio de deu foctios. l p = l + C C Théorème sur les primitives Détermios l costte C : posos = l ( p ) = l ( ) + C C l ( p ) = + C C C = l ( p ) C Doc l ( p ) =l ( ) + l ( p) Propriété ) Posos p = l =l + l Filemet ( ) ( ) ( ) P.S. / - Logrithmes et epoetielles / N-A

46 l l et l l l, * * = + = + 6) ( ) ( ) ( ) 6.) Posos : = l = l() = l( ) l = + l = - l( ) 6.) Posos : = l = l = l ( ) + l Propriété ) Propriété 5) E récrivt l églité. Propriété 5) = l( ) l( ) Propriété 6.) 7) ( ) * l = l(), + ( ( )) ' ( ) ' l = = = ( l ( ) ) ' Propriété ) et dérivée de l compositio de deu foctios. ( ) ( ) l = l + C C Théorème sur les primitives Détermios l costte C : posos = ( ) () l = l + C C = + C C C = C Doc l ( ) = l ( ) Propriété ) Remrque : Si * lors ( ) fois P.5) l = l(... ) = l() + l() l() = l() fois P.S. / - Logrithmes et epoetielles / N-A

47 Etudios l foctio l u ores de so domie de défiitio : Clculos doc lim l() et lim l() + 8) lim l() =+ Pour démotrer cette propriété, ous llos risoer d'près ce dessi : f Nous svos que l() = dt représete l'ire défiie etre et pr l foctio t f()= t et cette ire est supérieure à celle défiie pr les rectgles dessiés sous l coure, dot l se vut toujours et l huteur vut /. Pr eemple : l() = dt > + + t et doc i = t l() = dt > t 5 6 lim l() = lim dt > lim = lim t i 5 6 Pour clculer cette derière somme, ous llos fire l compriso etre cette somme et ue utre somme qui est plus petite, cr o remplcé certies frctios pr d'utres plus petites > fois 8 fois 6 fois Et ds chcue des prethèses o remrque que l'o otiet chque fois /, et l'o pourr oteir utt de fois / que l'o veut, cr otre somme cotiet ue ifiité de termes. Doc otre somme est plus grde que celle qui correspod à ue ifiité de / et qui ted doc vers l'ifii. cqfd! Remrque : L foctio l e possède doc ps d'smptotes horizotles. P.S. / - Logrithmes et epoetielles / N-A

48 9) lim l() = + Posos = lim l() = lim l = + + = lim ( l()) = lim l() Cr + + Propriété 6) Propriété des limites = - Propriété 8) Remrque : l foctio l possède ue A.V. e =. Défiitio Nous ppelleros logrithme turel (et ous oteros l) l foctio de * + ds défiie pr : l( ) = dt. t Représettio grphique de l foctio l À prt l(), ous e pouvos pour le momet clculer ucue imge! Mis, e coisst les limites, e scht que l foctio est cotiue et strictemet croisste * sur + et e utilist le fit que l pete de l tgete est doée pr / (doc l coure "s'pltit rpidemet"), ous pouvos esquisser l représettio grphique de l foctio l : l P.S. / - Logrithmes et epoetielles / N-A

49 .. Logrithmes e se quelcoque Le omre e U omre joue u rôle ussi importt e lse mthémtique que le omre π e géométrie, c'est le omre e, solutio de l'équtio l() =. Propositio L équtio l() = possède ue solutio et elle est uique. Démostrtio l() = dt =. t l() = dt > + + = >. t Comme l foctio logrithme turel est cotiue sur l'itervlle [ ; ], elle pred toutes les vleurs comprises etre l() = et l() >. Il eiste doc u mois u omre etre et dot le logrithme turel vut, et comme l foctio l est strictemet croisste, ce omre est uique (et ous le oteros e). f Nous svos mitet que l( e ) = et que < e <. O peut démotrer que le omre e est u omre irrtioel et que s vleur est pproimtivemet, Remrques ) Voici ue des omreuses formules permettt de clculer s vleur pproimtive : e = = ! 5 = ) e est ppelé costte d Euler (77-78) Défiitios ) O ppelle foctio logrithmique tout foctio proportioelle à l : log() = k l(). ) O ppelle se d'ue foctio logrithmique le omre tel que log() =. Aisi l est le logrithme e se e, ppelé logrithme turel. Pour u logrithme e se, ous uros : log () = k l() et = log () = k l(), d'où k = l( ) E coclusio : l( ) * log () = + l( ) et s dérivée : ( log ())' = ( l( ) ) ' l( ) l( ) = = = l( ) l( ) l( ) ' * + Les propriétés démotrées pour l (logrithme e se e) sot ussi vlles pour log. P.S. / - 5 Logrithmes et epoetielles / N-A

50 Eercice 7 ) Eprimer à l'ide d'u seul logrithme les epressios suivtes : Eemple : 5l() + 7 l(z) = l( ) + l(z ) = l( z ) ) l() l(z) = ) l() + l(z) = ) l() l() + l(z) = ) l() + l( π ) + l() l() = ) Clculer e foctio de l(), l() et l(c). c Eemple : = l = l ( ) l ( c) = l ( ) l ( c) ) = l c ) = l c ) = l c ) 5) = l( ) 6) = l = l c Eercice 8 Détermier les dérivées des foctios suivtes (évetuellemet commecer pr simplifier l écriture) : ) f( ) l( 5) = ) f ( ) l( ) = ) 5 ( ) = l( ) ) f( ) = l(( + ) ) 5) f ( ) = l( ) 6) f ( ) = l(cos( )) l( ) 7) f( ) = 8) f ( ) = l(l( )) 9) f( ) = l( ) + ) f ( ) = l( ) ) f ( ) = l( 5 ) ) f( ) = l ) f( ) = l ) f( ) = l + f Eercice 9 ) Détermier les etrem de l foctio f détermiée pr f ( ) = 8l( ) et * +. ) Soit f( ) (l( ) ) = +.Pour quelle vleur de, f -t-elle ue tgete horizotle? Eercice 5 O cosidère l surfce S délimitée pr l coure d équtio = 6 / et les droites d équtio = + et =. ) Dessier cette surfce S ds u sstème orthoormé. ) Clculer l ire de cette surfce S et le volume du corps de révolutio oteu e fist tourer l surfce S utour de l e O. P.S. / - 6 Logrithmes et epoetielles / N-A

51 Eercice 5 log log / - - Démotrer que : * ) log est strictemet croisste sur +. * ) log / est strictemet décroisste sur +. ) Si < < lors log est strictemet décroisste sur * ) Si > lors log est strictemet croisste sur +. * +. Eercice 5 Détermier l vleur des itégrles suivtes : (répose e vleur ecte) ) + d ) d ) 5 d + ) + d + 5) d 6) 7 6 d 7) π t( ) d 8) 5 d 9) d ) l( ) d ) π si( ) d *) cos( ) π l( ) d Idictios si et sg() si > = = = si< si< ) ( ) ' ) Les primitives de sot l ( ) + C * C. P.S. / - 7 Logrithmes et epoetielles / N-A

52 Eercice 5 * Voici ue utre démostrtio des propriétés 5) et 7) de l foctio l. Compléter l coloe de droite vec les rgumets écessires. * 5) ( ) ( ) ( ) l = l + l, + l ( ) = dt... t... = dt + t dt t dt + du t u = dt + t = du u =l( ) + l( )... 7) ( ) * l = l(), + ( ) l = dt... t u du... u = = du u... = l( )... P.S. / - 8 Logrithmes et epoetielles / N-A

53 Rppels Défiitio : Soit f : A B ue foctio. f : A B est ijective B u uique A tel que = f(). Défiitio : Soit f : A B ue foctio ijective. r f : B A est telle que r f () = f () = A et B r f est ppelée l foctio réciproque de l foctio f. Remrques : f dmet ue foctio réciproque de B vers A f est ue foctio ijective de A vers B. L foctio réciproque d'ue ijectio est ussi ijective. A f B.. L foctio epoetielle r f Nous voulos cosidérer l réciproque de l foctio l. Pour cel il fut tout d'ord motrer que cette réciproque eiste, doc que l est ue foctio ijective de vers. L foctio l est défiie sur Nous svos que * +. lim l( ) = et lim l( ) =+. Comme l est cotiue sur + chque élémet de u mois ue préimge pr l ds * + * + (surjectivité). Chque préimge est uique (ijectivité). Ds le cs cotrire, il eisterit deu omres et disticts t l même imge ; o urit, pr eemple, < et l( ) = l( ). * Mis ceci est ps possile, cr ous svos que l est strictemet croisste sur +, pr coséquet : < l( ) < l( ) E coclusio : L foctio l est ijective de * + vers. Nous pouvos doc défiir ue foctio réciproque de l, que ous oteros ep : Défiitio L foctio ep est l réciproque de l foctio l. * Autremet dit : = l() = ep() et + * +, À prtir de cette défiitio ous pouvos doer ue représettio grphique de l foctio ep. 6 5 ep i Rppel Ds u repère orthoormé, les grphiques d ue foctio f et de s réciproque r f présetet ue smétrie pr rpport à l droite i (grphique de l foctio idetité i() = ). Remrque L foctio ep est ue foctio ijective de vers cr elle est l réciproque de l foctio ijective l de vers. * + * l P.S. / - 9 Logrithmes et epoetielles / N-A

54 À prtir de cette défiitio, ous pouvos oteir les propriétés suivtes de l foctio ep : ) * Df = et ep( )= + cr ep est l réciproque de l foctio l qui est ijective de L foctio ep 'dmet ps de zéro. * + vers. ) ep() = (ordoée à l'origie) O ep(l()) = ep(l()) = = Défiitio de l réciproque E post = ) L foctio ep est dérivle et (ep()) = ep() O l(ep()) = [l(ep())] =[ ] Défiitio de l réciproque Deu foctios égles ot l même dérivée ep ( ) ' = ep Dérivée d ue foctio composée ( ) [ep()] = ep() E multiplit pr ep() ) L foctio ep est cotiue et strictemet croisste sur. ep est cotiue sur cr dérivle. Elle est strictemet croisste sur cr s dérivée (ep()) = ep() >. Remrque : Comme ep est cotiue et strictemet croisste sur, ep est < si < > si > 5) ( ) ( ) ( ) ep ep = ep +, ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ( )) l ep ep = l ep + l ep Propriété 5) de l foctio l ( ( ) ( )) l ep ep = + Défiitio de l réciproque ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) l ep ep = l ep + Défiitio de l réciproque ep( ) ep( ) = ep( + ) l est ijective ( ) ( ) ( l = l = ) P.S. / - 5 Logrithmes et epoetielles / N-A

55 ep( ) 6) ep( ) = et = ep( ), ep( ) ep( ) 6.) l = l(ep( )) Propriété 6) de l foctio l ep( ) l = ep( ) l = l(ep( )) ep( ) Défiitio de l réciproque Défiitio de l réciproque ( l = l = ) = ep( ) l est ijective ( ) ( ) ep( ) 6.) ep( ) = ep( ) ep( ) ep( ) ep( ) = ep( ) ep( ) Propriété 6.) ep( ) ep( ) = ep( ) Propriété 5) ep( ) ep() = ep( ), 7) [ ] ([ ] ) = ( ) l ep( ) l ep( ) Propriété 7) de l foctio l ([ ] ) l ep( ) = Défiitio de l réciproque ([ ] ) ( ( )) l ep( ) = l ep Défiitio de l réciproque [ ep( ) ] ep( ) l est ijective ( l ( ) = l ( ) = ) = Remrque : Si * P.5) lors ep ( ) = ep( ) ep( )... ep( ) = ep( ) = ep( ) fois fois P.S. / - 5 Logrithmes et epoetielles / N-A

56 Etudios l foctio ep u ores de so domie de défiitio : 8) ) lim ep() =+ et ) lim ep() = Posos = l() O : l( ) Et l( ) + Défiitio de et propriétés 8) et 9) de l foctio l ) ( ) lim ep() = lim ep l() = lim() = + ) ( ) lim ep() = lim ep l() = lim () = + + Pr ce qui précède Compriso de l foctio ep vec l'epoetielle défiie à prtir des puissces de e ) Pour, ous retrouvos ie l'idée de puissce : ep() = ep(l(e)) = e ep() = ep(+) = ep() ep() = e e = e ep() = ep(+...+) = ep()... ep() = e... e = e ) Plus géérlemet, pour : Scht que ep(l()) = et l(e) = ous pouvos oteir : e = ep( l ( e )) = ep l ( e) = ep() = c) Aisi, ous pouvos idetifier ep() et e. Nous oteros doc : ep() = e Défiitio L réciproque du logrithme turel est ppelée epoetielle (de se e ) et elle est défiie pr : ep() = e de ds. * + P.S. / - 5 Logrithmes et epoetielles / N-A