FONCTIONS NUMÉRIQUES DÉFINIES SUR UN INTERVALLE CONTINUITÉ, CONTINUITÉ UNIFORME. APPLICATIONS

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1 FONCTIONS NUMÉRIQUES DÉFINIES SUR UN INTERVALLE CONTINUITÉ, CONTINUITÉ UNIFORME. APPLICATIONS SOMMAIRE. Cotuté.. Défto de l cotuté e u pot.. Crctérsto de l cotuté pr les sutes. Eemple : s e peut ps se prologer pr cotuté e.3. Défto de l cotuté sur u tervlle 3.4. Théorème des vleurs termédres 3.5. Corollre : mge d'u tervlle pr ue pplcto cotue 5. Cotuté uforme 5.. Défto de l cotuté uforme sur u tervlle. Eercce : s ƒ est u-cotue, elle dmet ue lmte fe 5.. Théorème : les foctos lpschtzees sot uformémet cotues 6.3. CNS pour qu'ue focto dérvble sot lpschtzee Théorème de Hee. Eercce : s ƒ cotue sur [, + [ dmet ue lmte fe e +, lors ƒ est u-cotue 8 3. Applctos 3.. Ue focto cotue sur u segmet est borée et ttet ses bores 3.. Théorème du pot fe 3.3. Sommes de Rem Appromto d'ue focto cotue sur u segmet pr des foctos e escler 7 4. Aee : étude de quelques foctos usuelles 8 Cotuté, u-cotuté. Applctos Pge G. COSTANTINI

2 . Cotuté.. Défto Soet ƒ ue focto défe sur u tervlle I et I. O dt que ƒ est cotue e lorsque : ε +, η +, I, ( η ƒ() ƒ() ε) Cette défto revet à dre : ƒ cotue e ƒ dmet ue lmte e égle à ƒ().. Théorème Crctérsto de l cotuté pr les sutes Soet ƒ ue focto défe sur u tervlle I et I. Les deu ssertos suvtes sot équvletes : () ƒ cotue e () Pour toute sute ( ) d'élémets de I : lm = + lm ƒ( ) = ƒ() + Démostrto () () Supposos ƒ cotue e. Sot ( ) ue sute d'élémets de I. Sot ε +. Comme ƒ est cotue e, o : η + tel que : ( η ƒ() ƒ() ε) Ms l sute ( ) coverge vers. Doc pour ce réel η c-dessus, o peut trouver N tel que : N η O doc, pr trstvté des mplctos : N ƒ( ) ƒ() ε Cec prouve que l sute (ƒ( )) coverge vers ƒ(). () () Rsoos pr cotrposto et motros : o () o (). Supposos ƒ o cotue e. Costrusos ue sute ( ) d'élémets de I qu coverge vers ss que l sute (ƒ( )) coverge vers ƒ(). Pusque ƒ 'est ps cotue e : ε +, η +, I, ( η et ƒ() ƒ() > ε) E prtculer vec η = ( * ), l este ds I tel que : et ƒ( ) ƒ() > ε L sute ( ) s défe coverge vers (pr ecdremet) et l sute (ƒ( )) e coverge ps vers ƒ() (pusque l'écrt ƒ( ) ƒ() est moré pr u réel strctemet postf) Pr cotrposto, o obtet l'mplcto souhtée. D'où le théorème. Cotuté, u-cotuté. Applctos Pge G. COSTANTINI

3 Remrque : ce théorème est fu s I \ I. Cosdérer, pr eemple, l focto "prte etère" sur I = [, [ vec = et l sute ( ) défe pr =. Cette sute ted vers, ms l sute (E( )) étt ulle s lmte est E(). Il se peut même que l sute (ƒ( )) dverge : predre ƒ : ] ; ] et l sute ( ) : *. Cepedt, ous verros plus lo que s ƒ est uformémet cotue, l covergece de ( ) vers ue bore de I etrîe celle de (ƒ( )). Eemple : Sot λ [, ]. Sot ƒ l focto défe sur pr : ƒ() = Démotrer que ƒ 'est ps cotue e. O cosdère les deu sutes (u ) et (v ) défes pr : O : Or, ƒ(u ) = et ƒ(v ) = doc u = π + π lm ƒ(u ) = et + S ƒ étt cotue e, o devrt vor : s λ lm u = + s s = et v = π + π lm v = + lm ƒ(v ) = + lm ƒ(u ) = ƒ() + C'est-à-dre : De même, o devrt vor : C'est-à-dre : D'où ue cotrdcto. Doc ƒ 'est ps cotue e. = λ lm ƒ(v ) = ƒ() + = λ.3. Défto Sot ƒ ue focto défe sur u tervlle I. O dt que ƒ est cotue sur I lorsque : I, ƒ est cotue e Notos que l cotuté (smple) est ue oto locle (chque η de l défto.. est dépedt de ).4. Théorème des vleurs termédres Sot I u tervlle. Soet et b ds I. Sot ƒ ue pplcto cotue sur l'tervlle I et à vleurs ds. Sot λ u réel comprs etre ƒ() et ƒ(b). Il este c ds [, b] tel que : ƒ(c) = λ. Cotuté, u-cotuté. Applctos Pge 3 G. COSTANTINI

4 Démostrto : Déjà, s ƒ() = ƒ(b) lors écessremet λ = ƒ() = ƒ(b) et le théorème est vr e chossst c = ou c = b. Ds toute l sute, o peut doc supposer : ƒ() < ƒ(b). (Qutte à poser g = ƒ s ƒ() > ƒ(b)). Notos : X = { [, b] tels que ƒ() λ} Cet esemble X est o vde. E effet, ƒ() λ, doc X. Cet esemble X est mjoré pr b (pusque X est u sous esemble de [, b]). Doc X dmet ue bore supéreure c. (Et c [, b]) Motros que ƒ(c) λ : Comme c = sup X, l este ue sute ( ) d'élémets de X qu coverge vers c. Comme les sot ds X, o : ƒ( ) λ Or, ƒ est cotue e c, doc pr pssge à l lmte : Motros que ƒ(c) λ : ƒ(c) λ Déjà, s c = b lors ƒ(c) = ƒ(b) λ uquel cs l démostrto s'chève. Supposos désorms que c < b. Comme c = sup X, o : ]c, b], X, c'est-à-dre ƒ() > λ Sot (y ) ue sute d'élémets de ]c, b] qu coverge vers c. O doc : ƒ(y ) > λ Or, ƒ est cotue e c, doc pr pssge à l lmte : ƒ(c) λ Bl : o doc ƒ(c) = λ, ce qu chève l démostrto. Autre démostrto à l'de du théorème des segmets emboîtés : Supposos ƒ() < ƒ(b). (Qutte à poser g = ƒ so) Sot u le mleu de [, b]. Notos = et b = u s ƒ(u) λ. Notos = u et b = b s ƒ(u) < λ. As, o toujours : ƒ( ) λ ƒ(b ) E rétért ce procédé, o costrut, pr récurrece, ue sute de segmets emboîtés : [, b] [, b ]... [, b ]... b De plus, pr costructo, l logueur de [, b ] est. Les segmets [, b ] ot doc des logueurs qu tedet vers. Les sutes ( ) et (b ) sot doc djcetes. Notos c leur lmte commue. Motros que ƒ(c) = λ. O, pour tout * : ƒ( ) λ ƒ(b ) Pr pssge à l lmte : Or, ƒ est cotue, doc : lm ƒ( ) λ + + ƒ(c) λ ƒ(c) lm ƒ(b ) Doc ƒ(c) = λ. Cotuté, u-cotuté. Applctos Pge 4 G. COSTANTINI

5 Atteto : le théorème e s'pplque ps s et b I (ds le cs où I 'est ps fermé). Cosdérer, pr eemple, l focto "prte etère" E qu est cotue sur [, [. O E() = et E() =. Ms l 'este ps de réel c tel que E(c) =... Applcto : toute focto polyomle (à coeffcets réels) de degré mpr dmet ue rce réelle..5. Corollre Sot ƒ ue pplcto cotue sur u tervlle I et à vleurs ds. Alors ƒ(i) est u tervlle. Démostrto : o utlse c le ft que les tervlles de sot les covees de. Soet y et y ds ƒ(i) vec y y. Il s'gt de motrer tout élémet λ de [y, y ] est élémet de ƒ(i). Comme y et y sot ds ƒ(i), l este et b ds I tels que ƒ() = y et ƒ(b) = y. Comme I est u tervlle, o [, b] I. Comme ƒ est cotue sur [, b] (pusque [, b] I), o, d'près le théorème des vleurs termédres : λ [y, y ], c [, b] tel que ƒ(c) = λ. D'où : Doc ƒ(i) est be u tervlle. λ ƒ(i). Cotuté uforme.. Défto Sot ƒ ue focto défe sur u tervlle I. O dt que ƒ est uformémet cotue (ou ƒ est u-cotue) sur I lorsque : ε +, η +, (, y) I : ( y η ƒ() ƒ(y) ε) L oto de cotuté uforme est globle (η e déped que ε) Il est clr que l cotuté uforme sur I etrîe l cotuté sur I. Pr cotre, l récproque est fusse : l'pplcto 'est ps uformémet cotue sur. (Vor ee) Eercce : comportemet d'ue focto uformémet cotue u vosge d'u pot Sot ƒ ue focto u-cotue sur u tervlle I du type ], b[ (b étt f ou o). Sot ( ) ue sute d'élémets de I qu coverge vers. Alors l sute (ƒ( )) coverge.. E dédure que ƒ dmet ue lmte fe à drote e. Soluto :. Fos ε +. Comme ƒ est uformémet cotue sur I, o : η +, (p, q), ( p q η ƒ( p ) ƒ( q ) ε) Ms pusque ( ) coverge, elle est de Cuchy. Doc : N, (p, q), (p > q N p q η) Cotuté, u-cotuté. Applctos Pge 5 G. COSTANTINI

6 O lors pr trstvté des mplctos : N, (p, q), (p > q N ƒ( p ) ƒ( q ) ε) Ce qu motre que l sute (ƒ( )) est de Cuchy ds complet doc coverge vers u cert réel l.. Fos ε +. Comme ƒ est uformémet cotue sur I, o : η +, I,, ( η ƒ() ƒ( ) ε) Comme l sute ( ) coverge vers : η N,, ( N ) Comme l sute (ƒ( )) coverge vers l : N,, ( N ƒ( ) l ε) Pour N, o lors : η η η < + + η η Posos η' =. As, pour m{n, N }, o : η < η ƒ() l ƒ() ƒ( ) + ƒ( ) l ε Ce qu prouve que ƒ() ted vers l lorsque ted vers pr vleurs supéreures. U des térêts de cet eercce résde ds l cotrposée de l questo : S ƒ est défe sur I = ], b[ (b R ) et 'dmet ps de lmte fe e, lors ƒ 'est ps u-cotue sur I. As, des foctos telles que, l et s e sot ps uformémet cotues sur +. Le théorème suvt doe ue codto suffste pour qu'ue focto sot uformémet cotue :.. Théorème Applcto lpschtzee Sot ƒ ue focto lpschtzee sur u tervlle I ( k +, (, y) I : ƒ() ƒ(y) k y ). Alors ƒ est uformémet cotue sur I. Démostrto Sot ƒ ue focto lpschtzee sur I. Sot ε +. Posos η = k ε. Soet et y ds I tels que y η. O lors : Cec prouve que ƒ est uformémet cotue sur I. ƒ() ƒ(y) k y ε Eemple : ƒ :. L focto ƒ est mpre et pour tout (, y) +, o : + y ƒ(y) ƒ() = = + y + y y ( + )( + y) Doc ƒ est -lpschtzee sur + doc elle l'est uss sur (pusque ƒ mpre). O doer d'utres eemples e ee. Cotuté, u-cotuté. Applctos Pge 6 G. COSTANTINI

7 Remrques : l récproque du théorème.. est fusse. L'pplcto est uformémet cotue sur + ms o lpschtzee. (Vor ee) pr cotrposto, o : ƒ o u-cotue sur I ƒ o lpschtzee sur I Eercce : Comportemet globl d'ue focto uformémet cotue. Sot ƒ : + ue pplcto uformémet cotue. Alors, l este des réels et b tels que : +, ƒ() + b Preuve : Fos ε =. Pr hypothèse : η +, (, y) R +, y η ƒ() ƒ(y) Sot +. Sot u eter turel o ul tel que : η Remrque : cet eter este toujours, l sufft de chosr pr eemple = E η +. Pour tout k,, l'hypothèse d'uforme cotuté ous permet d'écrre : Idée : o subdvse l'tervlle [, ] e trches de lrgeurs féreures à η. ( k + ) k ƒ ƒ E sommt ces égltés pour k llt de à, ous obteos : Ms d'près l'églté trgulre : k = ( k + ) k ƒ ƒ ƒ() ƒ() k = ( k + ) k ƒ ƒ O doc : ƒ() ƒ() E η + η + E prtculer : ƒ() η + + ƒ() Il sufft de poser = η et b = + ƒ() pour chever l démostrto. Remrque : o peut rechercher des mjortos ffes plus précses e chossst u ε plus pett. Applcto : pr cotrposto, o : S ƒ : + 'est ps mjorée pr ue focto ffe sur +, lors elle 'est ps u-cotue sur +. Pr eemple, les foctos polyômes de degré supéreur ou égl à e sot ps u-cotues sur +. Cotuté, u-cotuté. Applctos Pge 7 G. COSTANTINI

8 Remrque : o u résultt logue sur. Ms ps d'eteso possble à tout eter. E effet l focto vleurs bsolue est uformémet cotue sur (pusque -lpschtzee) et pourtt elle 'est mjorée pr ucue focto ffe sur..3. CNS pour qu'ue focto dérvble sot lpschtzee : Sot ƒ dérvble sur u tervlle I. Alors : ƒ est lpschtzee sur I ƒ' est borée sur I Démostrto : Supposos ƒ lpschtzee sur I : k +, (, y) I : ƒ() ƒ(y) k y Sot I. Comme : y I ƒ ( y) ƒ( ) k k y O dédut, pr pssge à l lmte lorsque y ted vers : k ƒ'() k Cec, quelque sot I. Doc ƒ' est borée sur I. Supposos ƒ' borée : M +, t I, ƒ'(t) M. Sot (, y) I. D'près l'églté des ccrossemets fs pplquée à ƒ sur le segmet [, y] : ƒ(y) ƒ() M y Doc ƒ est M-lpschtzee. Évdemmet, pr cotrposto, o pour ƒ dérvble sur I : ƒ est o lpschtzee sur I ƒ' 'est ps borée sur I Eemple : rgch est o lpschtzee sur ], + [. E effet, pour >, rgch' = qu 'est ps borée sur ], + [..4. Théorème de Hee Toute focto umérque cotue sur u segmet I est uformémet cotue sur ce segmet I. O rppelle qu'u segmet est u tervlle fermé boré. Démostrto : Sot ƒ ue focto cotue sur I. Supposos ƒ o uformémet cotue sur I. Alors : ε + tel que : η +, ( ; y) I tel que : ( y η et ƒ() ƒ(y) > ε) E prtculer, e chossst η = ( * ), Cotuté, u-cotuté. Applctos Pge 8 G. COSTANTINI

9 *, ( ; y ) I tel que : ( y et ƒ( ) ƒ(y ) > ε) () Comme I est boré, les sutes ( ) et (y ) s défes le sot églemet. D'près le théorème de Bolzo-Weerstrss, o peut doc e etrre des sous-sutes qu coverget. Sot σ : * * ue pplcto strctemet crosste telle que l sute ( ) Notos l s lmte. (O écessremet l I pusque I est fermé). Fos ε' +. O doc : σ coverge. ( ) N,, ( N σ() l ε ) Ms, d'utre prt, pour tout *, o d'près () : ( ) σ y σ ( ) σ( ) Comme σ( ) ted vers, o : Pour tout m(n, N ), o lors : N,, ( N σ( ) ε ) Cec prouve que l sute ( ) ( ) y σ() l y σ() σ() + σ() l ε + ε ε' y σ coverge églemet vers l. Or, ƒ étt cotue sur I, o peut ffrmer (d'près le théorème.) que les sutes ( ƒ ( )) et ( ƒ( )) coverget vers ƒ(l). Doc : N,, ( N ƒ( yσ( ) ) ƒ ( σ( ) ) ε) Ce qu cotredt (). Cocluso : ƒ est uformémet cotue sur le segmet I. σ ( ) y σ ( ) Eercce : Soet u réel et ƒ ue pplcto cotue sur [, + [ dmettt ue lmte fe e +. Alors ƒ est uformémet cotue sur [, + [. Soluto : Sot ε +. Notos l l lmte de ƒ e +. O doc, pr hypothèse : A +, [, + [, ( A ƒ() l ε) Pr lleurs, d'près le théorème de Hee, ƒ est uformémet cotue sur le segmet [, A] : η +, (, y) [, A], ( y η ƒ() ƒ(y) ε) Cotuté, u-cotuté. Applctos Pge 9 G. COSTANTINI

10 Motros que ƒ est uformémet cotue sur [, + [. Sot (, y) [, + [. Supposos y (ce 'est ps ue perte de géérlté) et y η (pour le η c-dessus) Dstguos tros cs : y A Ds ce cs, comme ƒ est uformémet cotue sur [, A], l vet : ƒ() ƒ(y) ε ε A y Ds ce cs, comme ƒ dmet ue lmte fe l e +, o pr l'églté trgulre ƒ() ƒ(y) ƒ() l + ƒ(y) l ε A y Alors A y η Coupos e ƒ(a) : ƒ() ƒ(y) ƒ() ƒ(a) + ƒ(y) ƒ(a) ε Bl : o prouvé : ε +, η +, (, y) [, + [, ( y η ƒ() ƒ(y) ε) D'où l'uforme cotuté de ƒ sur [, + [. 3. Applctos 3.. Théorème Focto cotue sur u segmet Sot I = [, b] u segmet de et ƒ : I ue pplcto cotue. Alors ƒ est borée sur I et ƒ ttet ses bores. C'est ue pplcto du théorème des segmets emboîtés et du théorème de Bolzo-Weerstrss. Démostrto :. Motros : ƒ borée sur I Supposos ƒ o borée sur I. Sot c le mleu de I. Posos = et b = c s ƒ o borée sur [, c]. Posos = c et b = b so. E rétért ce procédé, o costrut, pr récurrece, ue sute de segmets emboîtés : [, b] [, b ]... [, b ]... Sur chcu de ces tervlles, ƒ est, pr costructo, o borée. b De plus, pr costructo, l logueur de [, b ] est. Les segmets [, b ] ot doc des logueurs qu tedet vers. Les sutes ( ) et (b ) sot doc djcetes. Notos leur lmte commue. Cotuté, u-cotuté. Applctos Pge G. COSTANTINI

11 Comme ƒ est cotue e, o (vec ε = ) : η +, I : ( η ƒ() ƒ( ) ) C'est-à-dre : η +, I : ( η ƒ( ) ƒ() ƒ( ) + ) Doc ƒ est borée sur ] η, + η[. Comme les segmets [, b ] ot des logueurs qu tedet vers, o : ε +, N * : ( N b ε) Doc, pour u cert N, les segmets [, b ], N, sot coteus ds ] η, + η[. Or, ƒ 'est ps borée sur [, b ] d'où ue cotrdcto. Doc ƒ est borée sur I.. Motros : ƒ ttet ses bores O vet de vor que ƒ est borée sur I. Notos M = Motros qu'l este ds I tel que ƒ( ) = M. Comme M est l bore supéreure de ƒ sur I : sup ƒ et m = I f ƒ. I ε +, I : M ε < ƒ() M E prtculer, vec ε = : I : M < ƒ( ) M L sute (ƒ( )) coverge doc vers M. E outre, l sute ( ) est borée. D'près le théorème de Bolzo-Weerstrss, o peut doc e etrre ue sous sute qu coverge vers u cert réel. Notos σ : * * ue pplcto strctemet crosste telle que ( ) σ coverge vers. ( ) L focto ƒ étt cotue e, o : M = Doc ƒ ttet so mmum. O démotre, de même, que ƒ ttet so mmum. lm ƒ ( ) ( ) + σ = ƒ( ). 3.. Théorème Pot fe Sot I u tervlle fermé o vde. Sot ƒ : I I ue pplcto cotrctte sur I. Alors : ) ƒ dmet u uque pot fe l ds I. O peut remplcer l'hypothèse "ƒ : I I cotrctte" pr "ƒ : I cotrctte et telle que ƒ(i) I " O rppelle que "ƒ cotrctte sur I " sgfe : k [, [, (, y) I, ƒ(y) ƒ() k y ) u I, l sute u : défe pr u I N, u =ƒ ( u ) + coverge vers l. Démostrto Remrquos u prélble que, u étt ds I et I étt stble pr ƒ, l sute (u ) est be défe et :, u I Cotuté, u-cotuté. Applctos Pge G. COSTANTINI

12 Estece d'u pot fe : Motros, pr récurrece sur, l proprété : () : u + u k u u O évdemmet (). Motros que pour tout, () ( + ) : Sot. Supposos (). Alors : u + u + = ƒ(u + ) ƒ(u ) ƒ cotrctte k u + u ƒ( I) I ( ) k + u u D'où ( + ). Du prcpe de rsoemet pr récurrece, o dédut :, () : u + u k u u Dédusos-e que (u ) est de Cuchy : Sot ε +. Sot (p, q) vec q > p. Notos r = q p. O : u q u p = u p+r u p = p+ r p u + u p+ r p u u + p+ r p k u u Or : p+ r k u u = k p u u p r k Et comme k [, [, l sére géométrque de terme géérl k coverge et est mjorée pr k. D'où : p k u q u p k u u Et ef, toujours prce que k [, [ : E coséquece : p k k p p k N, p, (p N k u u ε u q u p ε) Ce qu prouve que l sute (u ) est de Cuchy. Et comme est complet, (u ) coverge. Notos l s lmte. Comme I est fermé, o l I. Or, ƒ est cotue e l (pusque cotrctte sur I) doc, d près le théorème.. : l = ƒ(l) O doc prouvé que ƒ dmet u pot fe l ds I et que (u ) coverge vers l. Ucté du pot fe : Supposos : l, l' I, ƒ(l) = l et ƒ(l') = l' Cotuté, u-cotuté. Applctos Pge G. COSTANTINI

13 Comme ƒ est cotrctte sur I : ƒ(l) ƒ(l') k l l' l l' k l l' ( k) l l' Or, k [, [, doc : l l' l = l' Remrques : L'hypothèse "I fermé" 'est là que pour ssurer l I. S o st déjà, pr lleurs, que l I (e prtque, o prfos déjà clculé l e résolvt l'équto ƒ(l) = l), cette hypothèse devet utle. Le théorème du pot fe e s'pplque ps s l'o remplce l'hypothèse "ƒ cotrctte sur I " pr l'hypothèse "ƒ -lpschtzee sur I ". Voc u cotre-eemple : I = [, + [ ƒ : I I + Soet et y ds I vec < y. Comme ƒ est crosste sur [, + [, o : ƒ(y) ƒ() ƒ(y) ƒ() y + y y y y Ce qu prouve que ƒ est -lpschtzee sur I. Cepedt ƒ ' ps de pot fe sur I. (L'équto ƒ() = ' ps de soluto) Eemple : y Cƒ Étuder l covergece de l sute défe pr : u [, + [ u = + u + O trodut l pplcto ƒ défe sur [, + [ pr : Î, ƒ() = + u O φ Pot fe de ƒ : ƒ() = + = et = = φ = + 5 O motre fclemet que ƒ est dérvble sur ], + [, crosste sur [, + [, pus que : ƒ([, + [) = [, + [ [, + [ L tervlle I = [, + [ est doc stble et l sute (u ) est be défe. Cotuté, u-cotuté. Applctos Pge 3 G. COSTANTINI

14 De plus : Î +, ƒ () = D près l églté des ccrossemets fs : + (, b) Î + +, ƒ(b) ƒ() b Doc ƒ est -lpschtzee sur I, doc cotrctte sur I. E outre : ƒ( + ) = [, + [ + Doc + est stble pr ƒ. D près le théorème du pot fe, l sute (u ) défe pr u R+ u = + u + coverge doc vers φ. Ef, s u Î [, ] lors u Î + et d près ce qu précède, (u ) coverge ecore vers φ Sommes de Rem Cotete : ƒ est ue pplcto cotue défe sur u segmet [, b] et à vleurs ds. σ = ( ) est ue subdvso de [, b]. (Cel sgfe : = < <... < = b) h est le ps de l subdvso σ. (C'est-à-dre : h = m( ),, ξ [, + ]. + ) O ppelle lors somme de Rem ssocée à (ƒ, σ, (ξ ) ) le réel : ( + ) ƒ( ξ ) Théorème lm h ( + ) ƒ( ξ ) b = ƒ ( ) d Démostrto : Motros que l dfférece suvte peut être redue uss pette que voulue : b ƒ ( ) d + ( + ) ƒ( ξ ) = E psst u vleurs bsolues, o l mjorto suvte : b ƒ ( ) d ( ƒ( )d ( + ) ƒ( ξ ) + ) ƒ( ξ ) + + = ( ƒ( ) ƒ( ξ )) ƒ( ) ƒ( ξ ) d Or, du théorème de Hee pplqué à ƒ cotue sur le segmet [, b], o dédut : d C'est-à-dre : ƒ uformémet cotue sur [, b] (et doc uss sur chque [, + ]) ε +, η +, (, y) [, b] : ( y < η ƒ() ƒ(y) < ε) Pour ue subdvso σ de ps h tel que : < h < η, o ur : Cotuté, u-cotuté. Applctos Pge 4 G. COSTANTINI

15 [ +, ], ξ + h < η Ce qu etrîer : Ds ces codtos, o peut écrre : ƒ() ƒ(ξ ) < ε b ƒ ( ) d ( + ) ƒ( ξ ) + εd = ε ( = ε(b ) + ) Cec prouve be que : lm h ( + ) ƒ( ξ ) b = ƒ ( ) d Toute tégrle d'ue focto cotue sur u segmet est doc ue lmte de somme de Rem. Remrque : le résultt c-dessus reste vlble s ƒ est cotue pr morceu. Il sufft de refre l même démostrto vec des subdvsos dptées à ƒ. Cs prtculer d'ue subdvso régulère : Pour *, o prtculrse : = + b et ξ =. (Doc h = O lors : + = b b ) D'où : lm + b b ƒ + = b ƒ ( ) d Cs prtculer des foctos défes sur [, ] : L formule c-dessus devet lors : lm + ƒ = b ƒ ( ) d Remrque : e prtculrst : = + b et ξ = + O lors : lm + b b ƒ + ( + ) = b ƒ ( ) d lm + b ƒ b + = b ƒ ( ) d D'où uss : lm + ƒ = b ƒ ( ) d Eemples :. Étuder l lmte de l somme :. + Cotuté, u-cotuté. Applctos Pge 5 G. COSTANTINI

16 O cosdère l'pplcto ƒ défe sur [, ] pr ƒ() =. + O lors : lm + + = d + lm +. Étuder l lmte de l sute (u ) défe pr : u = = l + ( + ) O cosdère l'pplcto ƒ défe sur [ ; ] pr ƒ() = ( + ). O lors : lm + + = ( + ) d lm + ( + ) = 3. Détermer l lmte suvte : Pour tout *, o : lm + ()!! ()! l =! l k l k l = k = k = l k l = k = + k = k = + l k + l k = D'où ( )! l! = k l + k= O cosdère mtet l'pplcto ƒ défe sur [, ] pr ƒ() = l( + ) O lors : lm D'où : + l + = l( + )d = [( + )l( + ) ( + ) ] = l = l 4 lm + ( )!! = 4 e Cotuté, u-cotuté. Applctos Pge 6 G. COSTANTINI

17 3.4. Appromto d'ue focto cotue sur u segmet pr des foctos e escler Théorème Sot ƒ ue pplcto cotue sur u segmet [, b]. Sot ε +. Il este des pplctos e esclers ϕ et ψ telles que : ϕ ƒ ψ sur [, b] et ψ ϕ ε sur [, b] Démostrto Pour tout *, o déft ue subdvso régulère {,,..., } du segmet [, b] pr : k,, k = + k b Comme ƒ est cotue sur [, b], elle l'est uss sur chcu des segmets [ k, k+ ] ( k ), doc y est borée, ce qu permet de défr : M k = sup ƒ () t et m k = t [ k, k+ ] f ƒ() t t [ k, k+ ] O déft lors des pplctos e escler ϕ et ψ sur [, b] pr : et : k,, t [ k, k+ [, ϕ(t) = m k et ψ(t) = M k ϕ(b) = m et ψ(b) = M As, o be : ϕ ƒ ψ sur [, b] Pr lleurs, ƒ étt cotue sur le segmet [, b], elle y est uformémet cotue (théorème de Hee) : ε +, η +, (, y) [, b], ( y η ƒ() ƒ(y) ε) Sot η le réel obteu pour le réel ε fé ds les hypothèses. O st que le ps de l subdvso est : Sot k, et (, y) [ k, k+ ]. O doc : b y k+ k b Chosssos u ps plus f que η, obteu pour les eters qu vérfet : E b η + As : y η De l cotuté uforme de ƒ, o dédut lors : ƒ() ƒ(y) ε Cette derère églté étt vlble pour tous et y de [ k, k+ ]. E prtculer pour u tel que ƒ() = M k et u y tel que ƒ(y) = m k (estet be cr ƒ ttet ses bores) : M k m k ε D'où ψ ϕ ε sur chque [ k, k+ ] et doc sur [, b] Remrque : cette démostrto peut être dptée u foctos cotues pr morceu sur le segmet [, b]. Cotuté, u-cotuté. Applctos Pge 7 G. COSTANTINI

18 4. Aee : étude de quelques foctos usuelles O vu que : Pr cotrposto : ƒ lpschtzee ƒ uformémet cotue ƒ cotue ƒ o cotue ƒ o uformémet cotue ƒ o lpschtee Focto ƒ ƒ cotue? ƒ uformémet cotue? ƒ lpschtzee? sur ou o (vor démostrto c-dessous) sur + ou ou (vor démostrto c-dessous) l sur + ou o (vor démostrto e eercce secto..) o o (vor démostrto c-dessous) o sur + ou o (vor démostrto e eercce secto..) o + sur ou ou ou (vor démostrto e secto..) s sur * ou o (vor démostrto e eercce secto..) o s sur ou ou ou Quelques preuves No cotuté uforme de sur Preos ε =. Pour tout η +, o e chossst u réel > η et y = + η : y = η et y η + η > η > 4 C'est-à-dre : y η et y > ε O be prouvé : ε +, η +, (, y), ( y η et Doc l focto 'est ps uformémet cotue sur. y > ε) Uforme cotuté de sur + Ue églté be prtque : Pour tout (, y) + vec y, o : y y Preuve : Pr crossce de t t sur +, l vet : D'où le résultt. ( + y ) = y + ( + y y y y Cotuté, u-cotuté. Applctos Pge 8 G. COSTANTINI

19 Sot ε +. Pour η < ε, o : Sot (, y) + tel que y η. Alors y y ε D'où l cotuté uforme de sur +. 'est ps lpschtzee sur + S elle l'étt, l estert u réel K + tel que pour tout (, y) + +, o t : y K y S K =, cel etrîert y = pour tout (, y) + +, ce qu est bsurde. S K +, l sufft de chosr = et y = 4K pour vor ue cotrdcto. Cotuté, u-cotuté. Applctos Pge 9 G. COSTANTINI