F est le module de la force u est le verseur

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1 écque - Chptre rof. Crme Bucur 3. SYSTEES DE CES. L CE L'étt d'équlbre ou de mouvemet d'u corps déped du crctère des terctos de ce corps vec d'utres corps, c'est-à-dre des pressos, des ttrctos ou des répulsos qu'l éprouve à l sute de ces ctos récproques. L grdeur qu mesure - du pot de vue qutttve - l'cto mécque récproque des corps mtérels est ppelée e écque " force". Les grdeurs, qu'o est meé à cosdérer e écque peuvet être dvsées e deu ctégores: grdeurs sclres qu sot complètemet crctérsées pr leur vleur umérque et grdeurs vectorelles qu, outre leur vleur umérque, sot ecore crctérsées pr leur drecto, pr leur ses ds l'espce et pr leur pot d pplcto. L force est ue grdeur vectorelle, crctérsée pr les élémets suvts : - l vleur umérque (l'testé ou le module) ; pour détermer le module de l force o compre s grdeur à celle d'ue force prse pour uté ; cette uté est le Newto ; - l drecto, doée pr le verseur (u vecteur t le module égl à l'uté) ; - le ses ; - le pot d'pplcto. Grphquemet, l force est représetée, fg.., pr u segmet de drote oretée et o peut écrre: u (.) u où est le module de l force u est le verseur g..... Les sstèmes de référeces L posto d u pot mtérel, d u corps ou d u sstème de pots et/ou de corps, ds l espce e peut être défe que pr rpport à d utres corps. U corps qu sert à repérer l posto du corps evsgé s ppelle repère. CIT DE E SITE

2 écque - Chptre rof. Crme Bucur 4 our décrre u mouvemet, o ssoce u repère u sstème de référece (ou sstème de coordoées) quelcoque. Les coordoées permettet de défr l posto d u pot, d u corps, d u sstème de pots et/ou de corps, ds l espce.... Sstème de coordoées crtésees drot. Le plus utlsé sstème de référece ds l écque théorque est le sstème de coordoées crtésees, drot. Ce sstème des es perpedculres. Les es sot défs pr les verseurs pour, j pour et k pour, fg.... U sstème est ppelé sstème drot s l rotto l plus courte, vue depus l'etrémté postve de, met e coïcdece vec, s'effectue ds le ses cotrre u gulles d'ue motre. drote k guche. b. g..... Sstème de coordoées ENET Ce sstème, fg...b, est pplqué lorsque l trjectore est comme à l vce. L posto du pot est détermée pr l coordoée curvlge «s» qu'est l dstce le log de l trjectore (courbe) de l orge jusqu à le pot. Les es sot : - l e tget, de verseur ; - l e orml prcpl, de verseur, drgé vers le cetre de courbure; - l e borml, de verseur, qu est ormle sur les utres. L grdeur est le ro de courbure du pot... L projecto d'ue force sur u e j s L projecto d'ue force sur u e est l grdeur sclre égle vec le produt sclre etre le vecteur force et le verseur de l'e, fg..3. CIT DE E SITE C ρ ()

3 écque - Chptre rof. Crme Bucur 5 Sos ue force et u e crctérsé pr le verseur u : u u ucos(,u) cos(,u) cos(,u) (.) Il e résulte de cette défto que les projectos d'ue force doée sur des es quelcoques, ms prllèles et de même ses sot égles etre elles. Cette remrque fclter le clcul de l projecto d'ue force sur u e o coplre vec l force. L projecto de l force sur l'e ser désgée pr le smbole u. s, pour les forces représetées sur l fgure.3, ous uros : u cos Q u Qcos Qcos (.3) g..3 vot sur le dess, fg..3, que l projecto d'ue force sur u e est égle à l logueur du segmet comprs etre les projectos de ses etrémtés, logueur prse vec le sge postf ou égtf...3. Le théorème des projectos g..4 u Q Q u L projecto de l résultte d'u sstème de forces cocourtes sur u e Δ quelcoque, de verseur u, est égle à l somme lgébrque des projectos des forces sur le même e, fg u CIT DE E SITE u

4 écque - Chptre rof. Crme Bucur 6 u u u... u... u pr / pr / pr /... pr /... pr /..4. L'epresso ltque de l force our se doer ue force sous forme ltque l est écessre de chosr u sstème d'es de coordoées, pr rpport uquel serot détermés l drecto et le ses de l force ds l'espce. S l'o coît le module d'ue force et les gles,,, que l drecto de l force forme vec les es de coordoées,,, les projectos X, Y, Z, (ou,, ), de l force sur les es sot coues, fg..5. Effectvemet, de l formule (.3) l e résulte que: g..5 X cos(, o) cos Y cos(, o) cos Z cos(, o) cos (.4) S o décompose l force suvt les drectos des es, les compostes obteues ( X ), ( Y j), ( Z k ) serot umérquemet égles u projectos de l force sur ces es. Doc, s les projectos de l force sur les es de coordoées sot coues, le vecteur de l force peut être costrut géométrquemet selo l règle du prlléléppède, fg..5. E cocluso, chque force peut être eprmée du pot de vue ltque de l mère suvte: X Y j Zk (.5) EQUE: Il fut observer que s o coît l'epresso ltque (.5) d'ue force, o peut détermer seulemet le module de l force, s drecto et so ses pr les reltos suvtes : CIT DE E SITE

5 écque - Chptre rof. Crme Bucur 7 X Y Z (.6) X Y Z cos(,o) ; cos(,o) ; cos(,o) (.7) L'epresso ltque (.5) de l force e doe ps des précsos e ce qu cocere l drote - support du vecteur force...5. Les opértos élémetres d équvlece e écque démotre tous les théorèmes et toutes les équtos de l Sttque à prtr de pluseurs ffrmtos tles qu'o ccepte ss démostrto mthémtque et qu'o ppelle omes (ou opértos élémetres d équvlece) e écque. Les omes de l écque sot le résultt des géérlstos de ombreuses epéreces et observtos sur l'équlbre et sur le mouvemet des corps, géérlstos mtes fos cofrmées pr l prtque. Les opértos élémetres d équvlece sot des coséqueces des los fodmetles e écque et du modèle de solde prft. ETIN. ETIN. ETIN 3. U sstème de forces cocourtes est équvlet vec leur résultte. Ue force peut être remplcée pr ses compostes S deu forces gsset sur u corps solde prft, celu-c e peut se trouver e équlbre que ds le cs ou ces deu forces sot de même testé, de ses opposés et t l même drote support, fg..6.. L'opérto 3 déft le plus smple des sstèmes de forces équlbrées qu est u sstème de forces équvlet à éro, cr l'epérece motre qu'u corps lbre sur lequel gt ue force uque, e peut ps se trouver e équlbre.. ct. B CIT DE E SITE g..6 b.

6 écque - Chptre rof. Crme Bucur 8 CNCLUSIN : L'cto d'u sstème de forces sur u corps solde prft e chger ps, s l'o joute à ce sstème u sstème équlbré, fg..6.b. L cocluso déft le ft que deu sstèmes de forces qu dffèret l'u à l'utre pr u sstème équlbré sot équvlets. ETIN 4 : Ue force qu gt sur u corps prft peut chger le pot d pplcto ds u utre pot stué sur l drote-support de l force ss modfer l étt du corps...6. L force - vecteur glsst L'effet mécque d'ue force qu gt sur u corps solde prft ser le même s l posto du pot d'pplcto de l force chge ds u utre pot stué sur l drote-support du vecteur force. Effectvemet, sot ue force, fg..7, gsst sur u corps solde prft et pplquée u pot B? B ct. g..7 reos sur l drote-support de l force u pot rbtrre B et pplquos e ce pot deu forces égles et de ses cotrre et. Cel e chge ps l'effet mécque de l force sur le corps. s l dstce etre et B reste toujours costte (solde prft), doc les forces du pot et du pot B, selo l'ome 3, formet u sstème de forces équvlet à éro. E déftve, sur le corps 'gr que l force, ms pplquée u pot B. s, le vecteur qu représete l force peut être cosdéré comme pplqué e u pot quelcoque de l drote - support de l force. Doc, l force gsst sur u solde prft est u vecteur glsst. ** Les prmètres sclres dépedts écessres pour défr l force sot e ombre de 5: - le module, - l drecto cos, cos, cos, (ms de ces tros vleurs seulemet deu sot dépedtes) - les coordoées, du pot ou l drote - support de l force coupe le pl, fg CIT DE E SITE B

7 écque - Chptre rof. Crme Bucur 9 g..8 Les projectos X, Y, Z de l force sot doc écessres, ms ps suffstes pour défr l force comme vecteur glsst. Il fut trodure ue utre oto, celle du momet de l force pr rpport à u pot.. LE ENT D'UNE CE T À UN INT u r g..9 (cos,cos,cos) =X +Yj +Zk Le momet d'ue force pr rpport à u pot est égl u produt vectorel d'u vecteur r qu joge le cetre à u pot quelcoque de l drote - support, pr l force ellemême. d (, ) Le momet d'ue force pr rpport u pot, fg..9, est u vecteur t toutes les proprétés d'u produt vectorel r (.8) r s r, u d u (.9) d Le vecteur est pplqué u cetre, le module égl u produt de l dstce d pr le module de l force, l drecto perpedculre u pl B et le ses d près l règle de l m drote (le vecteur est drgé du coté depus lequel o vot l rotto de l force utour du pot s'effectuer ds le ses cotrre u gulles d'ue motre). L dmeso de cette grdeur phsque est: (L LT - ) = L T -. CIT DE E SITE

8 écque - Chptre rof. Crme Bucur L'uté de mesure du momet d'ue force est le ewto mètre (N m ou dn m, etc.). roprétés : () Le momet d'ue force pr rpport à u pot est ul s le pot se trouve sur l drote - support de l force, fg... g.. () L relto (.8) qu déft le momet d'ue force pr rpport à u pot cotet u vecteur r qu le le pot vec u pot quelcoque stué sur l drote - support de l force. our prouver que le vecteur momet reste le même, dfféremmet de l posto du pot sur l drote - support de l force o v chosr deu pots stués sur cette drote support : le pot (vecteur de posto r ) et le pot B (vecteur de posto r ). Etre ces deu vecteurs, fg.., este l relto évdete : g.. Le momet de l force pr rpport u pot est : (le produt vectorel r = r r B qu peut être écrt uss B B B B B B B B est égl à éro, cr les vecteurs sot coléres). L lo de l vrto du momet S le pot pr rpport duquel o déterme le momet chge de posto, le momet d'ue force vre. our étblr cette lo de vrto o cosdère u utre pot, fg... Le momet de l force pr rpport à ce ouveu pot est : où r B B CIT DE E SITE

9 écque - Chptre rof. Crme Bucur r g.. Le produt vectorel représete le momet. obtet l lo pour l vrto du momet de l force vec l vrto du pot pr rpport duquel l est clculé (.) L'epresso ltque du vecteur momet Cosdéros coues les epressos ltques des vecteurs.3 : r obtet X j Y Z Y Z X r (X, Y, Z) (,, ) k Z g..3 et, fg. j k X Yj Zk Z Y j Z X k Y X Y X (.) où : X, Y, Z représetet les projectos de l force suvet les es du sstème de référece,,, les coordoées d'u pot stué sur l drote - support de l force, pr rpport u même sstème de référece. CIT DE E SITE

10 écque - Chptre rof. Crme Bucur Il fut observer que,, représetet les projectos sur les es,, du momet de l force clculé pr rpport u pot, pot qu pprtet à tous ces tros es. LICTIN.. : Détermer le momet de l force pr rpport u pot, fg.... Détermer le momet de force pr rpport u pots, B et C. Le module de l force est 4 (,,) C Soluto : ou u B B B ( ) ( ( (3 ) g... ) ( ( ( ) (3 ) j ( )k B B ) ( ) B B ) j ( ) B ( B )k 3 j ( )k 4 3 j ( )k ub 4 3 j k 4 C j 3 k 6 j k ) 3 j ( )k 4 B prce que les pots et B sot stués sur l drotesupport de l force j k C 6 j k 6 j 3k u B B(,3,) CIT DE E SITE

11 écque - Chptre rof. Crme Bucur 3 C C j 3 3 k 6 j 3k.3 LE ENT D'UNE CE T À UN XE Sot u e (du verseur u ) et ue force, fg..4. Le momet de l force pr rpport à u e est l projecto sur cet e du momet de l force clculé pr rpport à u pot quelcoque de l'e. u g..4 Il e résulte: u u (.3) Doc, le momet d'ue force pr rpport à u e est ue grdeur sclre eprmée pr le produt mte des vecteurs, et u. Ds cette défto o ps précsé l posto du pot doc, l fut prouver que le pot peut être u pot quelcoque de cet e. v cosdérer et ces deu pots et clculer les momets et u ; u ; u u u prce que le produt mte u est égl à éro (les vecteurs et u sot coléres). r r Le momet de l force pr rpport à u e est égl à éro s l drote - support de l force et l'e se trouve ds u même pl (le produt mte est ul s deu vecteurs se trouvet ds le même pl) - s l force est prllèle ou etrecrose l'e, fg..5. CIT DE E SITE

12 écque - Chptre rof. Crme Bucur 4 g..5 EQUE : () our résoudre les problèmes de l Sttque ds le cs d'u sstème rbtrre de forces, l est écessre d'utlser l proprété suvte du momet de l force pr rpport à u e: le momet d'ue force pr rpport à u e est l grdeur lgébrque égle u module du momet de l composte de l force ds u pl perpedculre à l'e, clculé pr rpport u pot où l'e etrecrose le pl, fg..6. g..6 our prouver cette proprété o pred deu compostes de l force : - l composte prllèle u pl (pl qu est perpedculre à l'e) ; - et l composte prllèle à l'e. peut écrre les reltos suvtes : p ; r r' ' ou ' ' bservto : ' est l composte ds le pl Il e résulte: r u r ' ' ( ) u r ' u r ' u ' u ' () u r ' u r ' u r r d I ' ' r ' ' ' u CIT DE E SITE

13 écque - Chptre rof. Crme Bucur 5 Tros termes de cette somme sot égu à éro (produts mtes vec deu vecteurs coléres). ' ' ' peut écrre : r' u r' cos d () Etre le momet de l force pr rpport à u pot et les momets de l même force pr rpport à tros es rectgulres, cocourts e l e este ue relto évdete cr le momet de l force pr rpport u pot est le vecteur : où,, r j k, sot les projectos sur les es du momet de l force clculé pr rpport u pot, pot qu pprtet à tous les tros es. Doc,,, représetet les momets de l force pr rpport u es, et, fg..7. g..7 LICTIN.. : Détermer le momet des forces pr rpport u pot e clcult les compostes du momet pr rpport des es,,, fg k g... r j CIT DE E SITE 6

14 écque - Chptre rof. Crme Bucur 6 Soluto : j k LICTIN.3. : Détermer le momet des forces pr rpport u pot e clcult les compostes du momet pr rpport des es,,, fg...3. Soluto : j k 3 g CIT DE E SITE

15 écque - Chptre rof. Crme Bucur 7.4 CULES DE CES U sstème de deu forces prllèles, de même module, de ses cotrre gsst sur u corps solde prft est ppelé CULE DE CES, fg..8. Sot et, u couple stué ds u pl. Ce sstème de forces l résultte égle à éro ms, évdemmet, ce sstème 'est ps e équlbre (vor l opérto 3). L'cto d'u couple u de forces sur u solde se rédut à u cert effet de rotto qu déped = couple du momet résultt de ce sstème de forces, momet qu 'est ps égl à éro. d pl du couple g..8 Le momet du couple pr rpport à u pot quelcoque est : r ( ) r B () (r B r ) B observe que le momet d'u couple e déped ps de l posto du pot, doc le momet d'u couple est u vecteur lbre. Le module B s B, d S u est le verseur orml sur le pl du couple, o peut écrre : B r r B (-) du (.5) Ce vecteur le module égl u produt de l'testé d'ue de ses forces pr l dstce d etre les drotes - supports, l drecto perpedculre u pl d'cto du couple et le ses tel que l rotto du couple, vue depus l'etrémté du vecteur, s'effectue ds le ses cotrre à celu des gulles d'ue motre (le ses trgoométrque). rppelle que le pot d'pplcto peut être u pot quelcoque de l'espce. CIT DE E SITE

16 écque - Chptre rof. Crme Bucur 8 Deu couples de forces sot équvlets s ls ot le même vecteur momet, fg..9 (le vecteur momet est u vecteur lbre doc deu couples équvlets se trouvet ds le même pl ou ds des pls prllèles). g..9.5 L EDUCTIN D'UN SYSTEE DE CES T À UN INT. TSEU d d c = c d = d le même drecto et ses SYSTEES DE CES EQUIVLENTES Sot u sstème quelcoque de forces gsst sur u corps mtérel solde prft (les forces sot des vecteurs glssts). Il est écessre de coître l'effet mécque produt pr ce sstème e chque pot du corps. ** dt que deu sstèmes de forces sot équvlets s'ls ot le même effet mécque ds u pot quelcoque du corps. ** D'utre prt, pour u sstème doé de forces est utle de détermer u sstème équvlt plus smple t le même effet mécque ds tous les pots du corps mtérel. our résoudre ces deu problèmes o dot trodure ue utre oto, celle de l réducto d'u sstème de forces. L'opérto pr lquelle o déterme l'effet mécque d'u sstème de forces e u pot quelcoque d'u corps mtérel s'ppelle l réducto du sstème de forces pr rpport à ce pot. Sot l force pplquée u pot d'u corps solde prft, fg.... coît l'effet de cette force ds tous les pots stués sur l drote - support de l force. Doc, o cherche l'effet de cette force ds u pot, dfféret des pots de l drote - support de l force. CIT DE E SITE

17 écque - Chptre rof. Crme Bucur 9. b. c. g.. L 'cto de l force pplquée ds le pot du solde e ser ps modfée s l'o pplque e u utre pot du corps, dsos le pot, u sstème de forces équvlet à éro comme le sstème de deu forces équlbrées et. Le sstème de tros forces obteu est précsémet composé de l force, ms pplquée ds le pot et d'u couple de forces, et, fg...b. Le couple est équvlet à u momet, (le momet du couple). Le momet de ce couple est u vecteur qu'o peut cosdérer comme pplqué e, le module égl u produt ( d ), l drecto perpedculre u pl détermé pr le pot et l drote - support de l force doée et le ses d'près l règle coue. observe que ce momet représete le momet de l force pplquée e pr rpport u pot, fg...c. E cocluso, l'effet mécque e de l force pplquée e est le suvt : - UNE CE égle à l force doée et - UN ENT qu est le momet de l force (pplquée e ) pr rpport u pot. Sot u sstème rbtrre de forces,,...,,..., gsst sur u solde prft, fg...? r (-) ( ) g.. d ( ) ( ) CIT DE E SITE

18 écque - Chptre rof. Crme Bucur 3 E u pot, l'effet mécque de ce sstème est crctérsé pr : - LE VECTEU ESULTNT, l somme géométrque des forces, comme s ces forces étet pplquées e ; - LE VECTEU ENT ESULTNT, l somme géométrque de tous les momets des forces, clculés pr rpport u pot. X j k Y j,, j, k (.7) L'esemble des vecteurs et s'ppelle LE TSEU T U INT du sstème des forces doées. v oter ce torseur de l mère suvte : Z k X Y j Z k LICTIN.4. : Détermer le torseur du sstème de forces pr rpport u pot, fg...4. Soluto : j k g...4 CIT DE E SITE

19 écque - Chptre rof. Crme Bucur 3 j k 3 j k 3 ( ) ( ) j ( )k 3 j k j k 3 j k 3 5 j k Le vecteur reste costt s o chge le pot pr rpport duquel o ft l réducto du sstème de forces. Le vecteur vre s o chge le pot de réducto, cr, fg..: r r g.. CIT DE E SITE

20 écque - Chptre rof. Crme Bucur 3 (.8) est costte e rpport de l somme Il e résulte l lo de l vrto du momet: (.9) EQUES : - Il fut observer que seul le vecteur e représete ps l effet totl du sstème de forces doé pusque, à elle seule, elle e remplce ps le sstème. C'est pour ç qu'o 'ppelle VECTEU ESULTNT ou VECTEU INCIL, qu est le résultt d'ue opérto d'équvlece. L oto de "somme de forces" ou de "résultte", obteue pr l'ome du prllélogrmme, s'pplque seulemet pour u sstème de forces cocourtes; - L relto (.9) doe les proprétés de l vrto du momet résultt d'u sstème de forces s le pot de réducto chge de posto: - s le vecteur et, le momet résultt est égl à éro e chque pot; - s le vecteur, le momet résultt reste le même e chque pot de réducto (le vecteur est u vecteur lbre); 3 - e des pots stués sur ue drote prllèle à l drote - support du vecteur résultt d'u sstème de forces, le vecteur momet résultt, reste costt. Je vous propose de vous fre l démostrto pour cette remrque, fg..3. CIT DE E SITE r r r g..3

21 écque - Chptre rof. Crme Bucur 33 THEEES D'EQUIVLENCE Lorsqu'o rédut u sstème quelcoque de forces gsst sur u corps solde à u pot rbtrre, ce sstème se remplce pr deu vecteurs: le vecteur résultt et le vecteur momet résultt. Ces vecteurs représetet l'effet mécque du sstème de forces doé e ce pot. peut éocer deu théorèmes d'équvlece: * our u pot d'u corps mtérel solde prft, le sstème de forces gsst sur ce corps est équvlet u torseur du sstème doé, clculé pr rpport u pot. * Deu sstèmes de forces qu ot le même torseur pr rpport à u pot sot équvlets..6 LES INVINTS D'UN SYSTEE DE CES T U INT DE EDUCTIN I II I I vu que e chget le pot pr rpport duquel o effectué 'opérto de réducto, les vecteurs - vecteur résultt et - vecteur momet résultt ot u comportemet dfféret: le vecteur résultt reste costt et le vecteur momet résultt vre d'près l lo (.9). ppelle le vecteur l vrt vectorel d'u sstème de forces pr rpport u pot de réducto. Le deuème vrt d'u sstème de forces pr rpport u pot de réducto s'ppelle l'vrt sclre et l est le produt sclre. our prouver l costce de l vrt sclre, o v multpler l relto (.9) vec le vecteur (produt sclre): s le produt mte est égl à éro t deu vecteurs coléres. Doc: CIT DE E SITE (.) II II

22 écque - Chptre rof. Crme Bucur 34 L coséquece de cette proprété est que l projecto du momet résultt sur l drecto du vecteur reste costte pour tous les pots de réducto: cos, o ote : cos, Doc, est costt cr c'est u rpport de deu vrts. E cocluso u sstème quelcoque de forces deu vrts: - L'INVINT VECTIEL - le vecteur résultt ; - L'INVINT SCLIE - le produt sclre.7 TSEU INIU. L'XE CENTL Sot u sstème quelcoque de forces gsst sur u solde. se pose l questo de détermer l vleur mme du torseur et de trouver les pots pr rpport desquels le torseur cette vleur. st que le torseur du sstème de forces vre vec l vrto du pot pr rpport duquel l est clculé. Cette vrto se produt à cuse du momet résultt. S o pred e cosdérto les compostes du momet, fg..4 : - - l composte sur l drecto du vecteur ; - N - l composte sur ue drecto perpedculre à l drecto du vecteur. observe que seulemet l composte N vre vec le pot de réducto, l'utre composte,, est vrble. Ds les pots ou l composte N est égle à éro, le momet ue vleur mme qu est égle à l composte. E cocluso, l composte du momet, sur l drecto du vecteur résultt représete LE ENT INIU : LE TSEU INIU est l'esemble des vecteurs et CIT DE E SITE m m m m

23 écque - Chptre rof. Crme Bucur 35 g..4 Ds les pots où le torseur de réducto l vleur mme, le vecteur résultt et le vecteur momet résultt sot prllèles. our obter le leu géométrque des pots de réducto où le torseur est mmum o v poser l codto que, e ces pots, les vecteurs et soet coléres. Sot u pot de ce leu géométrque, fg..4. Le momet résultt l'epresso ltque: ( ) X j Y k Z ( ) j () k X Z j Y Xk Z Y L'epresso ltque du vecteur est: X Yj Zk L codto pour que les vecteurs et soet coléres s'eprme pr l relto suvte: l e cetrl X N Z Y (,,) X Y Z j Z Y k X (.3) Le sstème de deu équtos doé pr l relto (.3) représete ue drote, ppelée L'XE CENTL du sstème de forces. CIT DE E SITE L'XE CENTL d'u sstème de forces est le leu géométrque des pots pr rpport uquels le torseur de réducto est

24 écque - Chptre rof. Crme Bucur 36 mmum. Ds ces pots, les vecteurs composts du torseur, sot coléres m THEEE D'EQUIVLENCE: U sstème quelcoque de forces est équvlet à so torseur mmum t comme drote - support l'e cetrl cr, le sstème de forces et l'esemble des vecteurs et m ot le même torseur pr rpport u pot, (fg..4). Le torseur mmum représete l plus smple epresso à lquelle peut être rédut u sstème de forces ds l 'espce.8 CS DE EDUCTIN. SYSTEES EQUIVLENTES. Sot u sstème quelcoque de forces. Les cs possbles de réducto sot: CS I:, ; le sstème se trouve e équlbre. Ce cs ser étudé pedt toute l Sttque. CS II:, ; le sstème est équvlet à u couple t le momet égl à, fg..5. Doc, le couple dot se trouver ds u pl perpedculre u vecteur et le d momet du couple dot vor le même module et le même ses que - d. L'e cetrl 'este ps. g..5 CS III:, ; le sstème de forces est équvlet à ue force uque qu psse pr le pot. L drote support de l résultte est l e cetrl, fg..6. l e cetrl = CIT DE E SITE g..6

25 écque - Chptre rof. Crme Bucur 37 CS IV:, ; ds ce cs l deu possbltés: ) ; les vecteurs et sot perpedculres. Le momet mme m. Le sstème de forces est équvlet à ue force uque qu comme drote - support l'e cetrl (ms e psse ps pr le pot ), fg..7.. observe que le cs III est u cs prtculer de ce cs. b) ; le sstème de forces est équvlet à so torseur mmum t comme drote - support l'e cetrl, fg..7.b, déommé dmo. LICTIN.5. : édure le sstème de forces, fg...5 : g...5. b. g..7 Soluto : L force du module 5 se décompose : j k L résultte Le momet Le produt sclre l e cetrl 5 j k = 3 6 j k l e cetrl CIT DE E SITE 3

26 écque - Chptre rof. Crme Bucur 38 L e cetrl ; ; Le cs de l réducto est IV Le sstème de forces est équvlet à ue force uque qu comme drote - support l'e cetrl LICTIN.6. : édure le sstème de forces, fg...6 :.C. 6 ( ) ( ) CIT DE E SITE g...6

27 écque - Chptre rof. Crme Bucur 39 Soluto : (3 3 3) ( ) j (3 3) k 3 j o k 3 j k Cs II de réducto, le sstème est équvlet à u couple t le momet égl à LICTIN.7. : édure le sstème de forces, fg...7 : Soluto : 3 4 Cs I de réducto, le sstème est équvlet à éro. Le sstème se trouve e équlbre. g...7 LICTIN.8. : édure le sstème de forces, fg...8 : 4 3 CIT DE E SITE g

28 écque - Chptre rof. Crme Bucur 4 m Soluto : L e cetrl ( 4) ( ) ( 4) ( ) 4 le pot j k 8 m, j k (3,,778 ; le pot 8,548,444 Cs IV b : Le sstème de forces se rédut à u torseur mmum sur l'e cetrl, dmo. ) j k 4 j k j k.c. Μ m CIT DE E SITE

29 écque - Chptre rof. Crme Bucur 4.9 LE THEEE DE VIGNN Sot u sstème de forces qu se rédut à ue force uque, le vecteur résultt. our ce sstème de forces: ; m Ce sstème est déommé «sstème de forces prtculer». L force uque est stuée sur l'e cetrl. L trsformto du sstème de forces jusqu u sstème équvlet le plus smple est représetée sur l fgure.8. Ds u pot quelcoque le sstème de forces se rédut à u vecteur résultt et u vecteur momet résultt. g..8 rce que le sstème de forces est prtculère doc, et sot perpedculres. Supposos u pot stué sur l'e cetrl. Le vecteur momet résultt du sstème de forces pr rpport à ce pot est: (.3) Ce momet est égl à éro cr le pot se trouve sur l'e cetrl (l drote - support du vecteur uque). Ds ces codtos, l relto (.3) devet : r l e cetrl peut éocer LE THEEE DE VIGNN : (.4) CIT DE E SITE

30 écque - Chptre rof. Crme Bucur 4 our u sstème de forces qu se rédut à ue force uque, le vecteur momet résultt du sstème de forces pr rpport à u pot est égl vec le momet du vecteur pr rpport u même pot. Les codtos pour lesquelles le théorème de Vrgo est vlble sot: - le sstème de forces dot être u sstème prtculer; le vecteur résultt dot être sur l'e cetrl.. SYSTEES TICULIES DE CES Les sstèmes prtculers de forces sot ; - sstème de forces cocourtes ; - sstème de forces coplres ; - sstème de forces prllèles... Sstème de forces cocourtes Les forces qu pprteet à u sstème de forces cocourtes ot les drotes - support cocourtes ds u pot. Elles ot u crctère de vecteurs lés. Sot u sstème de forces fg..9.. cocourtes ds le pot,,,...,,..., Le sstème de forces se rédut à ue résultte uque, fg..9.b sur l'e cetrl. L'e cetrl psse pr le pot d tersecto (le momet ). L résultte de deu forces cocourtes et se déterme pr l règle du prllélogrmme Le module de l résultte est doé pr l relto suvte : cos(, ) l e cetrl. b. CIT DE E SITE

31 écque - Chptre rof. Crme Bucur 43 g..9 our u ombre quelcoque de forces cocourtes, l résultte est égle à leur somme géométrque et est pplquée u pot d'tersecto; l règle du prllélogrmme utlsée pour deu forces devet ds ce cs, l règle du polgoe des forces, règle be coue d'lleurs. D'hbtude o dopte u procédé ltque pour l composto des forces. Sot u sstème de forces cocourtes,...,,...,, eprmées pr leurs compostes sur les es d'u sstème de référece : cos ; cos ; cos k j... k j... k j L résultte de ce sstème est l force : k j observe qu'etre les projectos de l résultte et les projectos des forces sur les es estet les reltos suvtes: Z ; Y ; X Cocluso: our clculer l résultte o v fre deu opértos: l - l décomposto des forces suvt les es des coordoes - l somme lgébrque des ces projectos sur chque e pour obter les projectos de l résultte suvet les es des coordoes Z k Y j X k j (.5) Le module de l résultte est: Z Y X et l drecto du vecteur CIT DE E SITE

32 écque - Chptre rof. Crme Bucur 44 est doée pr des reltos: X cos,o ; cos,o ; cos,o Y Deu sstèmes de forces cocourtes sot équvlets s'ls ot l même résultte (comme module, drecto, ses et pot d'pplcto), pr rpport u même sstème de référece. Les cs de réducto possbles sot : CS I: - sstème de forces e équlbre ; CS II : - sstème de forces équvlet à ue force uque qu psse pr le pot ; l drote - supporte de l résultte est l'e cetrl. LICTIN.9. : Détermer l résultte du sstème de forces cocurretes, fg...9 : Soluto : Z g...9 CIT DE E SITE 3

33 écque - Chptre rof. Crme Bucur j 4 j 3 6 j 3 k 6 k 9 k 5 j k j k 3 j k.. Sstème de forces coplres Les forces ds u sstème de forces coplre ot les drotes - supporte ds u pl. Le sstème de forces coplres se rédut à ue résultte uque sur l'e cetrl. Sot u sstème de forces,,...,,...,, coteues - pr eemple - ds le pl, fg..3. Le torseur de ce sstème pr rpport u pot est : j X Y j (.6) o r k k 5 j k observe que les vecteurs et sot perpedculres s les forces sot stuées ds u pl, doc: ; et o peut pplquer le 5 5 CIT DE E SITE, m

34 écque - Chptre rof. Crme Bucur 46 théorème de Vrgo. g..3 Les cs de réducto possbles sot : CS I:, - sstème de forces e équlbre ; CS II:, - sstème de forces équvlet à u couple ; CS III:, - sstème de forces équvlet à ue force uque qu psse pr le pot ; l drote - supporte de l résultte est l'e cetrl. CS IV:, et - sstème de forces équvlet à ue force uque qu e psse ps pr le pot. Cette force uque comme drote - - support l'e cetrl du sstème de forces qu, ds ce cs prtculer devet : Y X (.7) (pr l prtculrsto des termes ds l'équto.3). peut détermer l posto de l'e cetrl e pplqut le théorème de Vrgo. peut utlse l forme sclre du théorème: ( ) (.7) r d (X,Y) (X,Y) l e cetrl d ; Il deu prllèles vec u dstce d pr rpport u pot. L'e cetrl est l drote pour lquelle l résultte gsst sur elle doe le même d CIT DE E SITE

35 écque - Chptre rof. Crme Bucur 47 momet pr rpport u pot comme les forces, fg..3. g..3 EQUE : * r l relto (.6), o obtet le module du momet résultt pr rpport à u pot qu est stué ds le pl des forces, comme somme lgébrque des momets des forces, clculés pr rpport u pot. * L'équto de l drote - support du vecteur résultt doée pr l relto (.7) est obteue de l'équto de l'e cetrl. L'e cetrl est stué ds le pl des forces. Il fut observer que, ds le cs prtculer du sstème de forces coplres, e tous les pots stués sur cet e le momet mmum est égl à éro. LICTIN.. : our le sstème de forces coplre détermer le torseur de réducto pr rpport u pots et, fg... Soluto : d l e cetrl g... =k CIT DE E SITE

36 écque - Chptre rof. Crme Bucur 48 6 j Le momet e peut être clculé e deu modes : I. (9 3 4 ) k 3 k II. où ( 3 4 ) k k ( k ) ( 6 ) j j..3 Sstème de forces prllèles. Cetre des forces prllèles Les forces qu pprteet à u sstème de forces prllèles ot des drotes - supporte prllèles à u verseur u. Le sstème se rédut à ue résultte uque sur l'e cetrl. L'e cetrl est prllèle u verseur, fg..3. Sot u sstème de forces prllèles, fg..33, pr eemple, vec l'e d'u sstème de référece. Le torseur de ce sstème pr rpport u pot est : o r, j j k, k j Z k j k k =3k k k 3 k j k (.8) CIT DE E SITE

37 écque - Chptre rof. Crme Bucur 49 l e cetrl r r C C g..3 g..33 observe que les vecteurs et sot perpedculres s les forces sot prllèles, doc: et o peut pplquer le théorème de Vrgo. r u u u Les cs de réducto possbles sot : CS I:, - sstème de forces e équlbre CS II:, - sstème de forces équvlet à u couple ; CS III:, - sstème de forces équvlet à ue force uque r (Z) r C r C l e cetrl u (, ) CIT DE E SITE

38 écque - Chptre rof. Crme Bucur 5 qu psse pr le pot ; CS IV:, et - sstème de forces équvlet à ue force uque qu e psse ps pr le pot. Cette force uque comme drote - support l'e cetrl qu, ds ce cs prtculer est doée pr l'tersecto de deu pls: Z Z (.9) Cette drote, prllèle à l drecto des forces, coupe le pl (perpedculre à l drecto des forces) e u pot t les coordoées : Z ; Z v cosdérer u pot stué sur l drote - support de l résultte et t le vecteur de posto r, fg..7. Le théorème de Vrgo pr rpport u pot doe l relto suvte: r r (.3) Ds cette relto, k doc o peut écrre: r r k (.3) L'équto (.3) est stsfte ds les cs suvts : * s k - ue stuto mpossble ; * s r r ote le vecteur r rc qu est le vecteur de posto d'u pot C stué sur le support de l résultte et déommé «le cetre des forces prllèles»: CIT DE E SITE

39 écque - Chptre rof. Crme Bucur 5 r C r * s les vecteurs sot prllèles, l e este l relto: r r k où est u prmètre sclre. obtet le vecteur de posto r r où o oté pr l grdeur sclre k r C k (.3) Qud vre, le pot décrt ue drote qu psse pr le pot C, e t l drecto du verseur k. S o remplce le verseur k pr u utre verseur u qu à so tour peut vrer, l'équto (.3) représete ue fmlle de drotes cocourtes qu psset pr le pot fe C. C se psse toujours s s les forces du sstème grdet fes leurs pots d'pplcto, s les modules des forces restet costts et s seulemet leur drecto chge, les forces restt prllèles. peut éocer le théorème suvt: S ds u sstème de forces prllèles les forces ot leurs pots d'pplcto fes, leurs modules sot costts et chget seulemet de drecto e restt prllèles, l drote - support de l résultte psse toujours pr u pot fe C, ppelé CENTE DES CES LLELES. L posto du pot C est doée pr le vecteur: r (.33) CIT DE E SITE C r

40 écque - Chptre rof. Crme Bucur 5 LICTIN.. : édure le sstème de forces prllèles, fg... : 3 5 g... L e cetrl est prllèle vec l e 4 Soluto: 5 j k.c. orces prllèles dstrbuées Sos u sstème de forces prllèles dstrbuées e pl vec l vleur p p ( ), fg..34. L drecto est doée pr le verseur u. 7 j k CIT DE E SITE

41 écque - Chptre rof. Crme Bucur 53 Détermer l résultte comme module et posto. - le module : g..34 b d Sur ue dstce élémetre d o peut cosdérer l dstrbuto de forces comme costte, l résultte élémetre l forme : b p () d p() d d - l drecto : prllèle vec u - l posto : est obteue e pplquet le théorème de Vrgo e rpport du pot et d b b b d p d p () () d ; d d b p () d b p Cs prtculers :. L force ue dstrbuto costte vec l vleur p, fg..35 l b p () d p d pl et d g..35 l p d pl pl pl l CIT DE E SITE

42 écque - Chptre rof. Crme Bucur 54. L force ue dstrbuto lre vec l vleur mmum p, fg..36 p() ; p( ) p p l l l l p p( ) d p d d p l l l d et l p l p l d p l 3 p l l l 3 g..36 LICTIN.. : Détermer le torseur de réducto pr rpport du pot, fg.. Soluto : p 6 6 g... p p 4 p CIT DE E SITE 6 4

43 écque - Chptre rof. Crme Bucur 55 p 6 p 4 j p 6 6 p LICTIN.3. : édure le sstème de forces, fg...3 p Soluto : p d 8p 8p g...3 k [p 6p 6p 4p 8p k 3 p k 4 [ 8p 6p (p 4)] j 4p p 8p 6p (p 4)( )] 4p,33 8p j d=,33 k.c. CIT DE E SITE

44 7 8.3 écque - Chptre rof. Crme Bucur 56 LICTIN.4. : our le mur de soutèemet de l fg..4, détermer l ecetrcté. Soluto : G V G =,48 kn G = 9, kn p p = 4, kn = 4,7 kn V H vertcles horsotles d V = 35,68 kn H = 4,7 kn = - 5,35 knm e V e =,5 m kn 4 m G H = 4,7 kn G kn m γ b kn 4 3 m V = 35,68 kn = 35,68 kn m e = 5 cm g...4 CIT DE E SITE