CHAPITRE IV: Séries chronologiques
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- Marthe Beauchamp
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1 CHAPTRE V: Séries chronologiques - Généraliés 1) Définiion On aelle «série chronologique» oues suie emorelle d observaions chiffrées, les observaions son effecuées à des inervalles de ems réguliers (années, mois, jours, ) On noera ar x la valeur rise ar la grandeur X à la dae e ar T la dae de la dernière observaion Exemle : Les données son obenues à arir des données rimesrielles endan années consécuives On considère la série suivane : x On eur rerésener ces données à l aide d un ableau à double enrée de la manière suivane : corresond au rang du rimesre corresond au rang de l année Les observaions son ériodiques e la ériode es égale à 4 L éude d une série chronologique erme d effecuer des révisions, c es-à-dire d esimer des valeurs fuures, x non disonible, auremen di our Dans nore exemle T, les valeurs x h ne son as disonibles h 1,2, Pour que ceci soi ossible, il es nécessaire que le comoremen général à l aide d un modèle mahémaique basé sur rois comosanes essenielles : a) Le mouvemen conjoncurel (ou exra-saisonnier) ou la endance (ou rend) Cee comosane, noée y, décri le mouvemen de croissance général de la série b) Le mouvemen saisonnier : cee comosane, noée s, décri les variaions saisonnières de la série, qui corresonden à des flucuaions ermanenes, e se roagen de la même manière à des inervalles réguliers e, décri les aléas, les c) Le mouvemen erraique : cee comosane, noée flucuaions accidenelles de faible amliude dues à des causes muliles difficieles à individualiser - Noaions : Modélisaion d une chronique à endance linéaire x : valeur brue de la série au ems y : la endance
2 s : le mouvemen saisonnier de ériode e : les aléas On adoe courammen les deux schémas suivans : - Un modèle à coefficiens saisonniers addiifs : x y s e - Un modèle à coefficiens saisonniers mulilicaifs : 1 x y s e 1) Choix du modèle On uilise la méhode grahique : - Si les variaions saisonnières se rerouven d année en année avec une amliude consane, alors on reien le modèle addiif - Si les variaions saisonnières son roorionnelles au niveau aein ar la série, alors on oe our le modèle mulilicaif La méhode grahique : lorsque le grahe ne erme as de rancher dans le raique, on rivilégie le modèle mulilicaif La méhode grahique se base sur les «courbes annuelles suerosées» x Modèle addiif x Modèle mulilicaif Trimesre Trimesre ème année 2 ème année 1 ère année
3 x() Alicaion : Grahe de la série brue : grahe de la série brue x() Courbe annuelle suerosée : courbe annuelle suerosée année 1 année 2 année On reien le modèle mulilicaif car les courbes annuelles suerosées ne son as arallèles 2) Esimaion réliminaire de la endance Lorsque la endance es linéaire, la méhode la lus simle e la lus uilisée es le lissage ar moyenne mobile La moyenne mobile cenrée d ordre es noée M
4 - Si es imair (c es-à-dire 2m 1), alors : 1 M x m x m 1 x m 1 x m - Si es air (c es-à-dire 2m), alors : 1 x m x m M x m 1 x m llusraion numérique : x Calculons : M x 1 x x 1 Pour 1, on a : Pour 2 Pour Pour 4 Pour 5 Pour 6 1 M es non-définie car 0 1, on a : M x x x x es non disonible M x 2 x x 4 M 4 5, on a :, on a :, on a : M 5 116, on a : M es non-définie car 7 6 x es non disonible On a alors : x M M M 4 1 es non-définie car 1, on a : M 4 2 es non-définie car 0 1 x, on a : M x x x Car : Pour 1, on a : Pour 2 Pour Pour 4, on a : x es non disonible x es non disonible 1 x x2 x6 M 4 4 x x4 x Proriéés d une moyenne mobile : a) Une moyenne mobile es oéraeur linéaire, c es-à-dire : M X X M X M X - - M X M X
5 x() b) Une moyenne mobile de longueur d ordre arrêe une foncion ériodique de ériode c) Une moyenne mobile ransforme une foncion affine de la forme y a b en elle même e en une série d) Une moyenne mobile ransforme la série des aléas disersée ou lus lisse Série brue : x Série : M moins 2 x 2 1 x Grahe : série brue série M4() ) Esimaion du mouvemen saisonnier Hyohèses fondamenales sur le mouvemen saisonnier : s k s, c es-à-dire, s es une foncion ériodique de ériode Exemle : Pour 4 e 1, on a : s1 4 s1 s1 24 s9 Sur ou inervalle de longueur, la somme des aires au-dessus de la endance es égale à la somme des aires en dessous => Hyohèse de conservaion des aires (HCA) Courbe de endance
6 On a alors : somme des aires en dessous = somme des aires au dessus 1) Le modèle addiif : x y s e a) On calcule les écars saisonniers : s x M b) Esimaion réliminaire des coefficiens saisonniers s en imosan à s de vérifier la ériodicié, soi ar la médiane, soi ar la moyenne, en ne reenan qu une seule valeur c) Esimaion définiive des coefficiens saisonniers s en imosan à la loi des aires, c es-à-dire remlaçan Par exemle : s s j1 s s ar s s s de vérifier 0, our une inervalle de longueur, en j1 s j1 4 s s s ) Le modèle mulilicaif : 1 x y s e d) On calcule les écars saisonniers : 1 x s M e) Esimaion réliminaire des coefficiens saisonniers 1 s en imosan à 1 s de vérifier la ériodicié, soi ar la médiane, soi ar la moyenne, en ne reenan qu une seule valeur
7 f) Esimaion définiive des coefficiens saisonniers 1 s en imosan à 1 s vérifier la loi des aires, c es-à-dire, en remlaçan j1 1 s ar 1 s s de 1s 0, our une inervalle de longueur 1 s Par exemle : 1 s s 1 j1 4) Désaisonnalisaion d une chronique s Définiion : On aelle série corrigée des variaions saisonniers (série CSV) la série obenue de la manière suivane : z x s x z 1 s z rerésene l esimaion définiive de la endance Alicaion numérique : s s , our un modèle addiif, our un modèle mulilicaif Modèle addiif : Modèle mulilicaif : z x s z x z 1 s
8 Rerésenaion Grahique : 4 2 x(), z() serie brue modele adiif modele mulilicai ) Prévisions : Effecuer une révision consise à esimer à arir des valeurs xt h avec 1,2, 1 ère éae : La endance décrie ar z éan linéaire, on eu donc remlacer foncion ẑ a b qui es l équaion de la droie d ajusemen D z 2 ème éae : xˆ T h zˆ T h st h si le modèle es addiif ou xˆ T h zˆ T h 1 st h si le modèle es mulilicaif Déerminaion de a e de b : cov z, a e b z a V () Alicaion numérique : Cas du modèle mulilicaif : h ( z e éan les moyennes resecives de z ar une z e de ) Déerminons les révisions du 1 er rimesre e du 2 ème rimesre de la 4 ème année, c es-à-dire cov z, x ˆ 1 e x ˆ 14 On déermine ẑ a b, avec a e b z a V () z 1 cov z, z z Or on a : z E :
9 z 7419 Puis enfin : Nous avons donc : cov z, De lus : V ( )= 1 1 Nous ouvons alors rouver a e b : Nous avons alors l équaion de la droie d ajusemen b a e D : z Alors nous ouvons rouver : zˆ E zˆ E nous ouvons en déduire : x ˆ 1 z ˆ 1 1 s 1 z ˆ x ˆ 14 z ˆ 14 1 s 14 z ˆ z ˆ
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